14._二维连续型随机变量函数的分布 - Probability Theory and Mathematical Statistics

在实际生活中，很多变量受到两个或两个以上随机变量的影响。例如，导体的电阻公式为 $R=\rho L / S$ ，电阻率 $\rho$ 是常数，电阻受到长度 $L$ 和横截面积 $S$ 的影响；直角三角形的斜边长为 $c=\sqrt{a^2+b^2}$ ，即斜边长是两个直角边长的函数；某汽车公司生产 3 种型号的汽车，公司总收入是这 3 种汽车产量的函数。这些例子在实际生活中还有很多，因此，研究多维随机变量函数的分布有一定的应用价值．

二维连续型随机变量函数的分布

设 $(X, Y)$ 是二维连续型随机向量，其概率密度函数为 $f(x, y), Z=g(X, Y)$ 是 $(X, Y)$ 的函数，且是连续型随机变量。用类似求一元随机变量函数分布的方法来求 $Z=g(X, Y)$ 的分布函数和概率密度函数。

设 $Z=g(X, Y)$ 的分布函数为 $F_Z(z)$ ，由定义可得 $Z=g(X, Y)$ 的分布函数为

F_Z(z)=P(Z \leqslant z)=P(g(X, Y) \leqslant z)=P\left((X, Y) \in G_z\right)=\iint_{G_z} f(x, y) d x d y

其中， $G_z=\{(x, y) \mid g(x, y) \leqslant z\}$ 。根据分布函数与密度函数的关系，对分布函数求导，则有

f_Z(z)=F_Z^{\prime}(z)

例 设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度函数为

f(x, y)= \begin{cases}6 x, & 0<x \leq y<1, \\ 0, & \text { 其他. 其余 }\end{cases}

求 $Z=X+Y$ 的密度函数．

解：解（1）因为 $\Omega_z=(0,2)$ 则 $0 \leq z<1$ 时

\begin{aligned} F_z(z) & =P(Z \leq z)=P(X+Y \leq z) \\ & =\int_0^{\frac{z}{2}} d x \int_x^{z-x} 6 x d y=\int_0^{\frac{z}{2}} 6 x(z-2 x) d x=\frac{1}{4} z^3 \end{aligned}

当 $1 \leq z<2$ 时 $F_z(z)=P(Z \leq z)=P(X+Y \leq z)$

\begin{aligned} 1-\int_{\frac{z}{2}}^1 d y \int_{z-y}^y 6 x d x & =1-\int_{\frac{z}{2}}^1 3 y^2-3(z-y)^2 d y \\ & =1-\int_{\frac{z}{2}}^1 6 z y-3 z^2 d y=1-3\left[z y^2-z^2 y\right]_{\frac{z}{2}}^1=1-3 z+3 z^2-\frac{3}{4} z^3, \end{aligned}

整理得

F(x)=\left\{\begin{array}{cc} 0, & z<0 ; \\ \frac{1}{4} z^3, & 0 \leq z<1 ; \\ 1-3 z+3 z^2-\frac{3}{4} z^3, & 1 \leq z<2 \\ 1, & z \geq 2 \end{array}\right.

从计算可以看出，二维连续型随机变量函数的分布通常比较复杂，为此，我们将引入卷积公式将在下一章继续介绍