17._商的分布 - Probability Theory and Mathematical Statistics

商的分布

设二维随机向量 $(X, Y)$ 的密度函数为 $f(x, y)$ , 求 $Z=\frac{X}{Y}$ 的密度函数.由定义可得 $Z=\frac{X}{Y}$ 的分布函数为

F_Z(z)=P(Z \leqslant z)=P\left(\frac{X}{Y} \leqslant z\right)=\iint_{\frac{x}{y} \leq z} f(x, y) d x d y .

令 $u=y, v=\frac{x}{y}$ , 即 $x=u v, y=u$ . 这一变换的雅可比（Jacobi）行列式为

J=\left|\begin{array}{ll} v & u \\ 1 & 0 \end{array}\right|=-u .

于是, 代入得

F_Z(z)=\iint_{v \leqslant z} f(u v, u)|J| d u d v=\int_{-\infty}^z\left[\int_{-\infty}^{+\infty} f(u v, u)|u| d u\right] d v .

这就是说, 随机变量 $Z$ 的密度函数为

f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(u z, u)|u| d u .

特别地, 当 $X$ 和 $Y$ 独立时, 有

f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(u z) f_Y(u)|u| d u,

其中 $f_X(x) 、 f_Y(y)$ 分别为 $(X, Y)$ 关于 $X$ 和关于 $Y$ 的边缘概率密度。 例 设 $X$ 和 $Y$ 相互独立, 它们都服从参数为 $\lambda$ 的指数分布. 求 $Z=\frac{X}{Y}$ 的密度函数. 解依题意，知

f_X(x)=\left\{\begin{array}{ll} \lambda e^{-\lambda x}, & x \geqslant 0 \\ 0, & x<0 \end{array}, \quad f_Y(y)=\left\{\begin{array}{ll} \lambda e^{-\lambda y}, & y \geqslant 0 \\ 0, & y<0 \end{array},\right.\right.

因 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 故 $f(x, y)=f_X(x) f_Y(y)$ . 由商的分布, 知

f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}|y| f_X(y z) f_Y(y) d y,

当 $z \leqslant 0$ 时, $f_Z(z)=0$ ; 当 $z>0$ 时, $f_Z(z)=\lambda^2 \int_0^{+\infty} e ^{-\lambda y(1+z)} y d y=1 /(1+z)^2$ , 故 $Z$ 的密度函数为 $f_Z(z)=\left\{\begin{array}{ll}1 /(1+z)^2, & z>0 \\ 0, & z \leqslant 0\end{array}\right.$ .

例设 $X, Y$ 分别表示两只不同型号的灯泡的寿命． $X, Y$ 相互独立，密度函数依次为

f_X(x)=\left\{\begin{array}{ll} e^{-x}, & x>0, \\ 0, & \text { 其他 } ; \end{array} \quad f_Y(y)= \begin{cases}2 e^{-2 y}, & y>0, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}\right.

求 $Z=X / Y$ 的密度函数．解当 $z>0$ 时， $Z$ 的密度函数为

f_Z(z)=\int_0^{+\infty} y e^{-y z} \cdot 2 e^{-2 y} d y=\int_0^{+\infty} 2 y e^{-(2+z) y} d y=\frac{2}{(2+z)^2}

当 $z \leqslant 0$ 时，

f_Z(z)=0 .

于是

f_Z(z)= \begin{cases}\frac{2}{(2+z)^2}, & z>0 \\ 0, & z \leqslant 0\end{cases}