14._0-1_分布参数的区间估计 - Probability Theory and Mathematical Statistics

(0-1)分布参数的区间估计

设有一容量 $n>50$ 的大样本，它来自（0－1）分布的总体 $X, X$ 的分布律为

f(x ; p)=p^x(1-p)^{1-x}, x=0,1,

其中 $p$ 为未知参数．现在来求 $p$ 的置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间．已知 $(0-1)$ 分布的均值和方差分别为

\mu=p, \quad \sigma^2=p(1-p) .

设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是一个样本．因样本容量 $n$ 较大，由中心极限定理，知

\frac{\sum_{i=1}^n X_i-n p}{\sqrt{n p(1-p)}}=\frac{n \bar{X}-n p}{\sqrt{n p(1-p)}}

近似地服从 $N(0,1)$ 分布，于是有

而不等式

\begin{gathered} P\left\{-z_{\alpha / 2}<\frac{n \bar{X}-n p}{\sqrt{n p(1-p)}}<z_{\alpha / 2}\right\} \approx 1-\alpha . \\ -z_{\alpha / 2}<\frac{n \bar{X}-n p}{\sqrt{n p(1-p)}}<z_{\alpha / 2} \end{gathered}

等价于

\begin{gathered} \left(n+z_{\alpha / 2}^2\right) p^2-\left(2 n \bar{X}+z_{\alpha / 2}^2\right) p+n \bar{X}^2<0 . \\ p_1=\frac{1}{2 a}\left(-b-\sqrt{b^2-4 a c}\right), \\ p_2=\frac{1}{2 a}\left(-b+\sqrt{b^2-4 a c}\right), \end{gathered}

记

此处 $a=n+z_{\alpha / 2}^2, b=-\left(2 n \bar{X}+z_{\alpha / 2}^2\right), c=n \bar{X}^2$ 。于是由（6．5）式得 $p$ 的一个近似的置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间为

\left(p_1, p_2\right) .

例设自一大批产品的 100 个样品中，得一级品 60 个，求这批产品的一级品率 $p$ 的置信水平为 0.95 的置信区间．

解一级品率 $p$ 是 $(0-1)$ 分布的参数，此处 $n=100, \bar{x}=60 / 100=0.6,1-\alpha$ $=0.95, \alpha / 2=0.025, z_{\alpha / 2}=1.96$ ，按（6．7），（6．8）式来求 $p$ 的置信区间，其中

a=n+z_{\alpha / 2}^2=103.84, b=-\left(2 n \bar{x}+z_{\alpha / 2}^2\right)=-123.84, c=n \bar{x}^2=36 .

于是

p_1=0.50, \quad p_2=0.69 .

故得 $p$ 的一个置信水平为 0.95 的近似置信区间为

(0.50,0.69)