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附录A 复数

一个复数有形式

z=a+ib,z = a + i b,

其中， aa 和 bb 是实数，而 ii 是满足关系 i∘=−1i^{\circ} = -1 的形式符号．实数 aa 称为 zz 的实部，记作 Re⁡z\operatorname{Re} z ；实数 bb 称为 zz 的虚部，记作 Im⁡z\operatorname{Im} z ．复数 z=a+ibz = a + ib 的复共轭 zˉ\bar{z} 是 zˉ=a−ib\bar{z} = a - ib ．如果 z1=a1+ib1z_{1} = a_{1} + ib_{1} 和 z2=a2+ib2z_{2} = a_{2} + ib_{2} 是复数，则其加法和乘法的二元运算通过实数的相应运算自然定义为如下形式：

z1+z2=(a1+a2)+i(b1+b2),z1z2=a1a2−b1b2+i(a1b2+a2b1).z _ {1} + z _ {2} = \left(a _ {1} + a _ {2}\right) + i \left(b _ {1} + b _ {2}\right), \quad z _ {1} z _ {2} = a _ {1} a _ {2} - b _ {1} b _ {2} + i \left(a _ {1} b _ {2} + a _ {2} b _ {1}\right).

因此，加法是实部和虚部分别相加的结果，而乘法是代数展开及关系 i2=−1i^2 = -1 的结果。 z=a+ibz = a + ib 的加法逆是 −z=−a+i(−b)-z = -a + i(-b) ，而当 z≠0=0+i0z \neq 0 = 0 + i0 时， zz 的乘法逆是

1z=a−iba2+b2=aa2+b2+i(⋯ba2+b2).\frac {1}{z} = \frac {a - i b}{a ^ {2} + b ^ {2}} = \frac {a}{a ^ {2} + b ^ {2}} + i \left(\frac {\cdots b}{a ^ {2} + b ^ {2}}\right).

复数 z1z_{1} 和 z2z_{2} 的减法和除法定义为

z1−z2=z1+(−z2),z1z2=z1(1z2)=z1zˉ2z2zˉ2.z _ {1} - z _ {2} = z _ {1} + (- z _ {2}), \quad \frac {z _ {1}}{z _ {2}} = z _ {1} \left(\frac {1}{z _ {2}}\right) = \frac {z _ {1} \bar {z} _ {2}}{z _ {2} \bar {z} _ {2}}.

所有复数的集合记作 C\mathbf{C} ；加法和乘法运算是可交换的，并且 C\mathbf{C} 在这些运算下构成一个域，以实数 0=0+i00 = 0 + i0 为加法单位元，以实数 1=1+i01 = 1 + i0 为乘法单位元。实数域 R\mathbf{R} 构成 C\mathbf{C} 的一个子域； zz 的绝对值（或模），记作 ∣z∣|z| ，定义为 ∣z∣=+(zz‾)1/2|z| = + (z\overline{z})^{1/2} ，它总是一个非负实数。如果 z2≠0z_2 \neq 0 ，则商 z1/z2z_1 / z_2 为 (1/∣z2∣2)z1z‾2(1 / |z_2|^2)z_1\overline{z}_2 。容易验证，乘法运算与复共轭是可交换的， z1z2‾=z‾1z‾2\overline{z_1z_2} = \overline{z}_1\overline{z}_2 ，且复共轭的复共轭又是原来的复数。因为 Re⁡z=(1/2)(z+z)\operatorname{Re} z = (1/2)(z + z) 和 Im⁡z=(1/2i)(z−z)\operatorname{Im} z = (1/2i)(z - z) ，所以实数就是使 Im⁡z=0\operatorname{Im} z = 0 的那样一些 z∈Cz \in \mathbf{C} ，或等价地有 z=z(=Re⁡z)z = z (= \operatorname{Re} z) 。

几何上，复数域 C\mathbf{C} 可以看作一个具有原点0，一条“实轴”和一条“虚轴”的平面。因此， z=a+ibz = a + ib 可等同于有序偶 (a,b)(a, b) 。实轴 {z:Im⁡z=0}\{z: \operatorname{Im} z = 0\} 就是通常的实线，而虚轴 {z:Re⁡z=0}\{z: \operatorname{Re} z = 0\} 就是实线的 ii 倍或所有“纯虚”数。 z∈Cz \in \mathbf{C} 到实轴（虚轴）的投影是 Re⁡z(iIm⁡z)\operatorname{Re} z (i \operatorname{Im} z) 。复共轭是经实轴的反射。且 ∣z∣|z| 是复平面中原点到 zz 的Euclid距离。 C\mathbf{C} 的开(闭)右半平面是 {z∈C:Re⁡z>(⩾0)}\{z \in \mathbf{C}: \operatorname{Re} z > (\geqslant 0)\} 。而 C\mathbf{C} 的开(闭)上半平面是 {z∈C:Im⁡z>(⩾0)}\{z \in \mathbf{C}: \operatorname{Im} z > (\geqslant 0)\} 。 C\mathbf{C} 的单位圆盘是 {z∈C:∣z∣⩽1}\{z \in \mathbf{C}: |z| \leqslant 1\} ，而以 rr 为半径，以 a∈Ca \in \mathbf{C} 为中心的圆盘是 {z∈C:∣z−a∣⩽r}\{z \in \mathbf{C}: |z - a| \leqslant r\} 。

上一段用直角坐标描述了复平面 C\mathbf{C} 。同时复平面也可以有效地用极坐标来描述， z∈Cz \in \mathbf{C} 在平面的位置由 rr 和 θ\theta 所确定，其中 rr 是 zz 所在的以原点为中心的圆的半径，而 θ\theta 是按反时针方向从实线正向转到 zz 所在的从原点出发的有向射线的角度。于是 zz 的极坐标为 (r,θ)(r, \theta) ，并且通常用记号 z=reθz = r e^{\theta} 来表示，其中 eθ≡cos⁡θ+isin⁡θe^{\theta} \equiv \cos \theta + i \sin \theta 。因此，如果 z−a+ibz - a + ib 为直角坐标，且 z=reθz = r e^{\theta} 为极坐标，则从极坐标到直角坐标的变换是

a=rcos⁡θ,b=rsin⁡θ,a = r \cos \theta , \quad b = r \sin \theta ,

而从直角坐标到极坐标的变换（当 r≠0r \neq 0 时）是

r=∣z∣−(a2+b2)12,θ=arc⁡sin⁡br=arg⁡z,r = | z | - (a ^ {2} + b ^ {2}) ^ {1 2}, \quad \theta = \operatorname {a r c} \sin \frac {b}{r} = \arg z,

这里，我们一般取 0⩽θ<2π0 \leqslant \theta < 2\pi 。圆形对象常常容易用极坐标来描述。例如，C中的单位圆盘是 {reθ:0⩽r⩽1,0⩽θ<2π}\{r e^{\theta}: 0 \leqslant r \leqslant 1, 0 \leqslant \theta < 2\pi\} 。

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