1.1 特征值-特征向量方程

1.1.1 记号 我们用 $M_{n}(\mathbf{F})$ 表示域 $\mathbf{F}$ 上的 $n \times n$ 矩阵，通常 $\mathbf{F}$ 取实数域 $\mathbf{R}$ 或复数域 $\mathbf{C}$ 。所讨论的问题几乎常常是一些适合于复数矩阵的情形，这时 $M_{n}(\mathbf{C})$ 简记作 $M_{n}$ ，对于复数矩阵的一般性质不感兴趣的读者，无论用实数代替复数来阐述什么内容，都很少在表述中，在代数中或在实际中做出本质区别。但是应注意，常常在讨论多项式的根和其他与“较大”的复数域有关的灵活性问题时， $\mathbf{R}$ 与 $\mathbf{C}$ 之间存在着较大的差别。通常，最好把实数矩阵看成具有特定元的复数矩阵。我们知道，有 $n$ 个实分量（相应地，复分量）的所有向量组成的集合（向量空间）用 $\mathbb{R}^{n}$ （相应地 $\mathbb{C}^{n}$ ）表示，并且都把它们看作列向量。最后， $A = [a_{ij}] \in M_{n}(\mathbf{F})$ 的转置（0.2.5）是矩阵 $[a_{ij}] \in M_{n}(\mathbf{F})$ ，记作 $A^{T}$ ，而当 $\mathbb{F} \subseteq \mathbb{C}$ 时，Hermite 伴随是 $A$ 的共轭转置 $[a_{ij}]$ ，记作 $A^{*}$ 。类似地，如果 $x \in \mathbb{F}^{n}$ ，则 $x^{T}$ 表示与 $x$ 有相同分量的行向量，而当 $\mathbb{F} \subseteq \mathbb{C}$ 时， $x^{*}$ 表示其分量为 $x$ 的相应分量取复共轭后的行向量。这里，“·”上加一杠一表示一个复纯量的复共轭（见附录 A），或者表示一个向量或矩阵按分量取复共轭。

矩阵 $A \in M_{n}$ 可看作从 $\mathbf{C}^{n}$ 到 $\mathbf{C}^{n}$ 的线性变换（对于 $\mathbf{C}^{n}$ 的某个给定的基），不过把它看作数的一个阵列也是有用的。 $A$ 的这两个概念是相互影响的，数的阵列能告诉有关线性变换的信息，而这正是矩阵理论的实质和应用的关键。或许，矩阵理论中最重要的概念应该是与 $A$ 相关联的 $n$ 个数的集合 $\sigma(A)$ ，这就是 $A$ 的特征值集合。

1.1.2 定义 设 $A \in M_{n}$ ， $x \in \mathbf{C}^{n}$ ，考虑方程

其中 $\lambda$ 是纯量。如果纯量 $\lambda$ 和非零向量 $x$ 恰好满足这个方程，那么 $\lambda$ 称为 $A$ 的一个特征值，而 $x$ 称为 $A$ 的属于 $\lambda$ 的特征向量。注意，这两个概念不可避免地要成对出现，并且，特征向量不能是零向量。

1.1.4 定义 $A \in M_{n}$ 的所有特征值 $\lambda \in \mathbf{C}$ 的集合称为 $A$ 的谱，记作 $\sigma(A)$ 。 $A$ 的谱半径是非负实数 $\rho(A) = \max\{\lambda : \lambda \in \sigma(A)\}$ ，这正是包含 $A$ 的所有特征值的、圆心在复平面原点的最小圆盘的半径。

练习 如果 $x$ 是 $A$ 的、属于 $\lambda$ 的特征向量，证明 $x$ 的任一非零纯量倍数也是特征向量.

几不说特征值和特征向量有无其他用场，仅从代数上看，它们也有意义，因为，根据(1.1.3)，特征向量是这样一些向量，将它们乘以 $A$ 后有非常简单的形式——同乘以一个纯量（特征值）效果一样。

例 考虑矩阵

因为

于是，有 $3 \in \sigma(A)$ 及相应的特征向量 $\left[ \begin{array}{l}1 \\ 2 \end{array} \right]$ ，同时， $5 \in \sigma(A)$ ，可以求得相应于特征值 5 的特征向量。

我们知道，多项式

在矩阵 $A \in M_{n}$ 处取值是有明确定义的，这是因为可以自乘方阵得到一个正整数幂，并且可以作出同阶矩阵的线性组合，于是，

请注意一个有用的事实，通过多项式的关系得到的与 $A \in M_{n}$ 相关的矩阵与 $A$ 有相同的特征向量；它的诸特征值与 $A$ 的特征值有简单的关系。

1.1.6 定理 设 $p(\cdot)$ 是给定的多项式。如果 $\lambda$ 是 $A \in M_n$ 的特征值，而 $x$ 是相应的特征向量，那么 $p(\lambda)$ 是矩阵 $p(A)$ 的特征值，并且 $x$ 是属于 $p(\lambda)$ 的特征向量。

证明：考虑 $p(A)x$ ，首先，

其次，反复应用特征值-特征向量方程便有 $A^{\prime}x = A^{\prime 1}Ax = A^{j - 1}\lambda x - \lambda A^{j - 1}x = \dots = \lambda^{\prime}x.$ 因此，

练习 如果 $\sigma(A) = \{-1, 2\}$ , $A \in M_2$ , $\sigma(A^2)$ 是什么？

练习 如果 $D = \mathrm{diag}(d_1, d_2, \dots, d_n)$ 是对角矩阵(0.9.1)， $\sigma(D)$ 是什么？给出每一个特征值的相应的特征向量。提示：考虑标准基向量 $e_1, i = 1, 2, \dots, n$ 。

1.1.7 论断 矩阵 $A \in M_{n}$ 是奇异的，当且仅当 $0 \in \sigma(A)$ .

证明：矩阵 $A$ 是奇异的，当且仅当对某个 $x \neq 0, Ax = 0$ 。这个关系式成立，当且仅当对某个 $x \neq 0, Ax = 0 \cdot x$ ，即当且仅当 $\lambda = 0$ 是特征值。

习题

1. 假定 $A \in M_n$ 是非奇异的，根据(1.1.7)，这等价于说 $A$ 没有等于零的特征值。如果 $\lambda \in \sigma(A)$ ，证明 $\lambda^{-1} \in \sigma(A^{-1})$ 。如果 $Ax = \lambda x$ ，且 $x \neq 0$ ，给出 $A^{-1}$ 的属于 $\lambda^{-1}$ 的一个特征向量。

2. 如果 $A \in M_{n}$ 的每一行的各分量之和（简称为行和）是 1，证明 $1 \in \sigma(A)$ ，提示：考虑向量 $e = [1, 1, \dots, 1]^{\mathrm{T}}$ ，然后说明， $A$ 的行和都相等，当且仅当 $e$ 是 $A$ 的特征向量。如果 $A$ 是非奇异的，证明 $A^{-1}$ 的行和也是 1。给定多项式 $p(t)$ ，证明 $p(A)$ 的行和都相等。它等于什么？

3. 设 $A \in M_{n}(\mathbf{R})$ ，如果 $\lambda$ 是 $A$ 的一个实特征值，且 $Ax = \lambda x$ ， $0 \neq x \in \mathbf{C}^{n}$ ，设 $x = \xi + i\eta$ ，其中 $\xi, \eta \in \mathbb{R}^{n}$ 是 $x$ 的实部和虚部。证明 $A\xi = \lambda \xi$ 和 $A\eta = \lambda \eta$ ；由此推出存在 $A$ 的属于 $\lambda$ 的实特征向量。 $\xi$ 和 $\eta$ 都是 $A$ 的特征向量吗？可能有 $A$ 的属于一个复的非实特征值的实特征向量吗？

4. 考虑分块对角矩阵(0.9.2)

证明 $A$ 的特征值由 $A_{11}$ 的特征值和 $A_{22}$ 的特征值组成。提示：先用 $A_{11}$ 和 $A_{22}$ 的特征向量表示 $A$ 的特征向量。

1. 设 $A \in M_{n}$ , 如果 $A^{2} = A$ , 就称 $A$ 为幂等矩阵, 证明幂等矩阵的每一个特征值是 0 或 1.

2. 设 $A \in M_{n}$ , 如果对于某个正整数 $q$ , $A^{q} = 0$ , 就称 $A$ 为幂零矩阵, 上述最小的 $q$ 称为幂零指标. 证明幂零矩阵的所有特征值都是 0. 顺便给出一个其特征值都是 0 的非零矩阵的例子.

3. 我们将看到，在集中要讨论的有限维结构中，每个复的或实的方阵都有一个复特征值。但是，对于一个无限维向量空间上的线性变换，就可能没有任何特征值。设 $V$ 是由诸复数的形式无限序列组成的向量空间：

并且定义 $V$ 上的线性变换 $S$ 为

这个线性变换有时称为移位算子，验证 $S$ 是线性变换，并证明 $S$ 没有任何特征值。提示：证明，如果一个向量是特征向量，它的所有分量必须相同，而这个公共值只能是0。因此，所给出的向量必须是零向量，它不可能是特征向量。

1. 设矩阵 $A \in M_{n}$ ，如果 $A' = A$ （见0.2.5），就称 $A$ 为Hermite矩阵，如果 $A$ 是Hermite的，证明 $A$ 的所有特征值都是实数。提示：设 $\lambda \in \sigma(A)$ 是任意的，并且设 $x$ 是相应的特征向量，于是(1.1.3)推出 $x^{*}Ax = \lambda x^{*}x$ 。但是 $\overline{x^{*}Ax} = x^{*}A^{*}x = x^{*}Ax$ ，所以 $x^{*}Ax$ 是实数。因为 $x^{*}x$ 是正的，所以 $\lambda = x^{*}Ax / x^{*}x$ 也是实数。