附录D 多项式的零点对其系数的连续依赖性

运用复分析不难证明一个重要的事实，那就是，一个次数为 $n \geqslant 1$ 的复系数多项式的 $n$ 个零点连续地依赖于它的系数。

对于 $x \in \mathbf{C}^n$ ，设 $f(x) = [f_1(x), \dots, f_m(x)]^T$ ，其中 $f_i: \mathbf{C}^n \to \mathbf{C}$ ， $i = 1, \dots, m$ 。函数 $f: \mathbf{C}^n \to \mathbf{C}^m$ 在 $x$ 连续，是指每个 $f_i$ 在 $x$ 连续， $i = 1, \dots, m$ 。函数 $f_i: \mathbf{C}^n \to \mathbf{C}$ 在 $x$ 点连续，是指对每个 $\varepsilon > 0$ ，都存在 $\delta > 0$ ，使得只要 $\|y - x\| < \delta$ 就有 $|f_i(y) - f_i(x)| < \varepsilon$ ，其中 $\|\cdot\|$ 是 $\mathbf{C}^n$ 上的向量范数。

可以用下面的说法来直观地叙述连续依赖的结论：把首系数为1的 $n$ 次多项式的 $n$ 个系数（首系数1除外）与该多项的 $n$ 个零点对应起来的函数 $f: \mathbf{C}^n \to \mathbf{C}^n$ 是连续的。可是这里有个难以解决的问题，不存在定义这个函数的简单方式，这是因为，在 $n$ 个零点中间不存在定义一个顺序的自然方式。我们提出下面的定理，作为多项式的零点对其系数的连续依赖的一个精确叙述。

定理 设 $n \geqslant 1$ ，且设

是一个复系数多项式，那么，对任给 $\varepsilon > 0$ ，存在 $\delta > 0$ ，使得对任一适合 $b_{n} \neq 0$ 的多项式

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和

我们有

其中， $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ 是 $p(x)$ 的零点，而 $\mu_1, \dots, \mu_n$ 是按某个顺序排列的 $q(x)$ 的零点，且（极小） $\min$ 取遍 1，2，…， $n$ 的所有排列 $\tau$ 。

因此，一个多项式的各个系数的足够小的变化只会引起任一零点的一个小的变化，这一原理在矩阵分析中有非常重要的意义，这是因为，矩阵 $A \in M$ 的特征多项式 $p_A(t)$ 的诸系数是 $A$ 的各元的连续函数（实际上是多项式）(1.2.11)，且 $p_A(t)$ 的零点是 $A$ 的特征值。因为连续函数的复合是连续的， $A$ 的各元的足够小的变化只会引起 $p_A(t)$ 的系数的一个小的变化，而它只会导致特征值的一个小变化。因此，实的或复的方阵的特征值连续地依赖于它的各个元。

进一步阅读 关于 $p(x)$ 和 $q(x)$ 的各零点间之差 $\varepsilon$ 的显式界可用其系数分离 $\delta$ 及其系数的大小来表示的问题可参看 L. Elsner, “On the Variation of the Spectra of Matrices,” Linear Algebra Appl. 47(1982), 127-138.