2.0 导引

对一般的非奇异矩阵 $S \in M_{n}$ ，在第一章中初步研究了经 $S$ 的相似问题。对于某些很特殊的非奇异矩阵 $S$ ，称之为两矩阵，它的逆有简单的形式： $S^{-1} = S^{*}$ 。 $A \in M_{n}$ 经一个酉矩阵的相似， $A \succ S^{*}AS$ ，不仅理论上比一般相似更简单（ $S^{*}$ 要比 $S^{-1}$ 容易计算得多），且有许多优点，这些优点通过以后的叙述会变得更加明显。大致说来，酉相似优于一般的相似，因而，了解通过酉相似所获得的性质是很有用的。但是，在酉相似下的等价类比在一般的相似下的等价类更细（两个矩阵可以相似，但不酉相似）。因而，相应地所能得到的每个等价类也较小。在第3章中还要进一步研究一般的相似。

设 $A \in M_{n}$ , 假定 $S$ 是非奇异矩阵, 但不一定是酉矩阵, 那么, 变换 $A \rightarrow S^{*}AS$ 称为“相合”, 这将在第 4 章加以研究. 这个变换也是 $M_{n}$ 上的一个等价关系, 且有许多 (与相似不同的) 特点. 重要的是要意识到, 通过两矩阵的相似既是相似, 也是“相合, 并且是兼有相似性质与相合性质的最广泛的变换类.