7.4 奇异值分解的例子和应用

极分解和奇异值分解有许多应用。一些应用在习题中给出，而一些应用在下述例子中讨论。

7.4.1 例 如果 $A \in M_{n}$ 是给定的可逆矩阵，则（关于任一范数）与 $A$ 充分接近的所有矩阵也是可逆的。在某些统计模型问题中，需要求一个在最小二乘意义下与 $A$ “最接近的奇异矩阵”；也就是希望求矩阵 $B$ 使得 $A + B$ 是奇异矩阵，而 $\|B\|_{2}$ 越小越好。

设 $\| \cdot \|$ 是任一矩阵范数，考虑 $A + B = A(I + A^{-1}B)$ ，假定它是奇异矩阵。假如 $\| A^{-1}B \| < 1$ ，由(5.6.16)可知， $I + A^{-1}B$ ，因而 $A + B$ 是可逆的。于是 $1 \leqslant \| A^{-1}B \| \leqslant \| A^{-1} \| \| B \|$ ，因此，如果 $A + B$ 是奇异矩阵而 $A$ 是可逆矩阵，我们就一定有 $\| B \| \geqslant 1 / \| A^{-1} \|$ 。如果选 $\| \cdot \|$ 为谱范数，又如果 $A = V\Sigma W'$ 是 $A$ 的奇异值分解，则 $\| A^{-1} \|_2 = \| W\Sigma^{-1} V^* \|_2 = \| \Sigma^{-1} \|_2 = 1 / \sigma_n$ ，其中 $\sigma_n$ 是 $A$ 的最小奇异值。于是，使得 $A + B$ 是奇异矩阵的任何 $B$ 必须适合 $\| B \|_2 \geqslant \sigma_n(A)$ 。但是，如果选择 $B$ 为矩阵 $B = VEW'$ ，其中 $E = \mathrm{diag}(0, 0, \dots, 0, -\sigma_n)$ ，则 $\| B \|_2 = \| E \|_2 = \sigma_n = \| E \|_2 = \| B \|_2$ ，且 $A + B$ 就是奇异矩阵（有秩 $n - 1$ ）。

更一般地，如果关于 Frobenius 范数需要求一个与某个奇异或非奇异矩阵 $A$ “最接近的秩 $k$ 矩阵”，可以这样选择 $A + B$ ，其中 $B = V E W^{*}$ 如前，但是 $E = \mathrm{diag}(0, \cdots, 0, -\sigma_{k-1}, \cdots, -\sigma_n)$ . 关于这个结果从 Frobenius 范数到所有酉不变范数的推广，可参看本节末习题 1 的有关证明以及例 (7.4.52).

$k = 1$ 的情形经常出现在一些应用中，这是值得特别提出来的。用秩1矩阵 $X \in M_{n}$ 对某个矩阵 $A = V\Sigma W^{\wedge} \in M_{n}$ 的最佳最小二乘逼近是 $X = A + B = V(\Sigma + E)W^{\star} = V\mathrm{diag}(\sigma_{1}, 0, \dots, 0)$ ， $W^{*} = \sigma_{1}vw^{*}$ ，其中， $\sigma_{1}$ 是 $A$ 的最大奇异值，而 $v$ 和 $w$ 分别是 $A$ 的奇异值分解中的酉矩阵 $V$ 和 $W$ 的第1列。关于 $v$ 和 $w$ 的一个有用的论断是， $v$ 和 $w$ 是--对Hermite特征值--特征向量问题

的单位向量解，其中 $\sigma_{1}^{2}$ 是半正定矩阵 $A^{\prime}A$ （和 $AA^{*}$ ）的最大特征值。这个论断当然不唯一确定 $\pmb{v}$ 和 $\pmb{w}$ ；一个困难是相应于 $\sigma_{1}^{2}$ 的特征空间不一定是一维的。但是，如果 $\sigma_{1}^{2}$ 是 $A^{\prime}A$ （因而是 $AA^{*}$ ）的单特征值，则向量 $\pmb{v}$ 和 $\pmb{w}$ 可确定到相差模为1的纯量因子，因此， $\pmb{v}$ 和 $\pmb{w}$ 一定是奇异值分解 $A = V\Sigma W^{*}$ 中西矩阵 $V$ 和 $W$ 的相应第1列的纯量倍。在这个意义下，关于单位特征向量 $\pmb{v}$ 和 $\pmb{w}$ 的确定选择， $A$ 的最佳秩1逼近必定是形式 $e^{\theta} \sigma_{1} v w^{*}$ ，其中 $\theta \in \mathbb{R}$ 是某个实数。我们必须选取纯量因子 $e^{\theta}$ 使得 $\| A - e^{\theta} \sigma_{1} v w^{*} \|_{2}^{2} = \| A \|_{2}^{2} - 2 \sigma_{1} \operatorname{Re}[\operatorname{tr} e^{-\theta} A(v w^{*})^{*}] + \sigma_{1}^{2} \| v \|_{2}^{2} \| w \|_{2}^{2}$ 为极小，问题等价于使 $\operatorname{Re}[\operatorname{tr} e^{-\theta} A(v w^{*})^{*}] = \operatorname{Re}[e^{-\theta} v \cdot A w]$ 为极大。但是， $A w = V\Sigma W^{*} w = e^{\theta} \sigma_{1} v$ 对某个 $\phi \in \mathbb{R}$ 成立[见(7.3)节习题5]，因而 $|v^{*} A w| = \sigma_{1} > 0$ 。因此，最佳纯量因子是 $e^{\theta} = v^{*} A w / |v^{*} A w| = v^{*} A w / \sigma_{1}$ ，而对 $A$ 的最佳秩1逼近是

这说明，如果 $A^{\star}A$ 的最大特征值是单的，则对 $A$ 的最佳秩1最小二乘逼近可以毫不费力地通过两个Hermite特征值问题的解构造出来。例如，使 $AA^T$ 为正矩阵，或更一般地为不可约矩阵的任一非负矩阵 $A \in M_{n}(\mathbf{R})$ 就适合 $A^{\star}A$ 的最大单特征值的条件[见(8.4)节习题17)。

7.4.2 例 在定理(5.7.17)中已经证明， $M_{n}$ 上的向量范数 $G(\cdot)$ 能使条件

对所有 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{k} \in M_{n}$ 和所有 $k = 1, 2, \cdots$ 成立，当且仅当 $G(\cdot)$ 在 $\mathbf{C}^{n}$ 上有相容向量范数。在这个证明中，决定性的一步是证明，如果 $G(\cdot)$ 满足这个关于谱半径的不等式，则有某个有限常数 $c > 0$ ，使得 $G(A_{1})G(A_{2}) \cdots G(A_{k}) \geqslant c \|A_{1}A_{2} \cdots A_{k}\|_{2}$ ，而证明它的关键是乘积 $A_{1}A_{2} \cdots A_{k}$ 的奇异值分解。其细节在引理(5.7.16)中。

7.4.3 例 假定想解线性方程组 $A x = b$ ，其中， $A \in M_{m,n}$ 和 $b \in \mathbf{C}^m$ 是已知的，且有秩 $k$ 。如果 $A = V\Sigma W^*$ 是 $A$ 的奇异值分解，则 $V\Sigma W^* x = b$ ，或

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如果 $m > k$ ，则 $\Sigma$ 的后 $m - k$ 行是 0，因此，如果在这种情形下有解，则必须（同时也只须）使 $V^{\prime}b$ 的后 $m - k$ 个元为零。于是，方程组在 $m > k$ 时有解，当且仅当 $b$ 与 $A$ 的后 $m - k$ 个左奇异向量正交。如果 $b$ 满足这个相容条件，又如果 $V = [v_{1}\dots v_{m}]$ 和 $W = [w_{1}\dots w_{n}]$ ，则（7.4.4）说明

因而向量

是解。因为对所有 $j > k$ ， $A\omega_{j} = V(\Sigma W^{*}\omega_{j}) = 0$ ，所以， $A$ 的后 $n - k$ 个右奇异向量（如果有的话）的任意线性组合都在 $A$ 的零空间中，因而对任意 $c_{k-1}, \cdots, c_{n} \in \mathbf{C}$ ，向量

都是 $A_{x} = b$ 的解；当然，如果 $n = k$ ，就不会出现这后一个和式．因为向量组 $\{w_{i}\}$ 是标准正交组，所以当所有 $c_{1} = 0$ 时，就得到具有极小 $l_{2}$ 范数的解．值得指出的是， $A$ 的后 $m - k$ 个左奇异向量张成 $AA^{\prime}$ 的零空间，它与 $A^{\prime}$ 的零空间相同，因此，要求 $b$ 与 $A$ 的后 $m - k$ 个奇异向量正交与要求 $b$ 与 $A^{\prime}x = 0$ 的每个解正交是一回事.

练习 如果 $V^{\prime}b$ 的后 $m - k$ 个元不全为零，则方程组 $Ax = b$ 是不相容的，因而根本没有解，但是，为了某些目的，只需要有“最小二乘”解就可以了，这个解是使 $\| Ax - b\|_{2}$ 达到极小的，具有极小 $l_{2}$ 范数的向量 $x$ 。证明(7.4.5)给出这样一个最小二乘解。

7.4.6 例用酉矩阵的纯量倍对某个矩阵 $A \in M_{n}$ 的最佳最小二乘逼近是什么？我们知道， $M_{n}$ 上的 $l_{1}$ 范数是由内积 $[A, B] = \operatorname{tr} AB^{*}$ 诱导的，还知道，如果 $U$ 是酉矩阵，则

对任意 $c \in \mathbb{C}$ 和任意酉矩阵 $U \in M_{n}$ ，有

当 $c = [A, U] / n$ 时它达到极小，因而

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如果定义

就得到一个与数值半径 $r(A)$ 类似的量。对于 $r(A)$ ，内积的极大值不是针对酉矩阵来取的，而是取遍所有 Frobenius 范数为 1 的秩 1 Hermite 矩阵。但是，与数值半径不同的是，函数 $u(A)$ 是 $M_n$ 上的矩阵范数[见习题 5 和例 (7.4.54)]。

要确定 $u(A)$ 的值与欲求的酉矩阵并不困难。设 $A$ 的奇异值分解是 $A = V\Sigma W^{\star}$ ，则

但是，如果 $A = PU$ 是 $A$ 的极形式，则

因此，所给出的 $u(A)$ 的上界是可以达到的， $u(A) = \sigma_1(A) + \dots + \sigma_n(A)$ ，又如果 $A = PU$ 是 $A$ 的极形式，且 $\sigma_1, \dots, \sigma_n$ 是它的奇异值，则用一个酉矩阵的倍数对 $A$ 的最佳最小二乘逼近可由

给出．如果给定奇异值分解 $A = V\Sigma W^{*}$ ，则 $U = VW^{*}$ ，该逼近的误差是

只有当Cauchy-Schwarz不等式

是等式时误差才为0．因此，只有当 $A$ 的所有奇异值都相同时， $A$ 才可以用一个酉矩阵的倍数来完全逼近.

7.4.8 例 假定 $A, B \in M_{m,n}$ 是给定的矩阵，而我们想知道，是否可以通过“旋转” $B$ 来得到 $A$ ；即 $A = UB$ 对某个酉矩阵 $U \in M_m$ 成立吗？更一般地，如果考虑已知矩阵 $B$ 的所有可能的“旋转” $UB$ ，在最小二乘意义下，可以怎样充分地逼近 $A$ ？这个问题在因子分析中称为求 $B$ 的一个“强行(procrustean)变换”问题。

要做的计算与上例中的计算是类似的；我们试图选择 $U$ 使 $\| A - UB\|_{2}$ 达到极小，如前，计算

于是，必须求使 $\operatorname{Re}[A, UB] = \operatorname{Re} \operatorname{tr} AB^{*} U^{*}$ 为极大的两矩阵 $U$ 。如果 $AB^{*} = V \Sigma W^{*}$ 是 $AB$ 的奇异值分解，则

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其中 $T = \left\lfloor t_{ij}\right\rfloor -W^{\prime}U^{\prime}V$ 是酉矩阵．当所有 $t_{ii} = 1$ ，即当 $U = VW^{*}$ 时，这个和取极大； $VW^{*}$ 正好是 $AB^{*}$ 的极分解的酉部分.

因此，用形如 $UB$ 的矩阵对 $A \in M_{m,n}$ 的最佳最小二乘逼近由 $UB = (VW^{*})B$ 给出，其中 $B \in M_{m,n}$ ，而 $U \in M_{m}$ 是酉矩阵， $AB^{*} = V\Sigma W^{*}$ 是 $AB^{*}$ 的奇异值分解，或 $AB^{*} = P(VW^{*})$ 是 $AB^{*}$ 的极分解；我们并不需要分别知道 $V$ 和 $W$ 。这个逼近的误差由

$\min \{\| A - UB\|_{2}:U\in M_{m}$ 是酉矩阵 $\} = |A - (VW^{*})B|$

给出，其中 $\{\sigma_{i}(AB^{*})\}$ 是 $AB^{*}$ 的奇异值的集合.

如果想知道 $A$ 是否恰好是 $B$ 的转动，则一个明显的必要条件是 $\| A \|_2 = \| B \|_2$ ，而其必要充分条件是

其中 $\{\sigma_{t}(AB^{*})\}$ 是 $AB^{*}$ 的奇异值的集合.

最后，如果考虑 $m = n$ 及 $B = I$ 的特殊情形，便有以下事实：用酉矩阵 $U \in M_{n}$ 对给定矩阵 $A \in M_{n}$ 的最佳最小二乘逼近由 $U = VW^{*}$ 给出。其中 $A = V\Sigma W^{*}$ 是 $A$ 的奇异值分解或 $A = PU = P(VW^{*})$ 是 $A$ 的极分解；逼近的误差是

其中 $\{\sigma_{i}(A)\}$ 是 $A$ 的奇异值的集合.

如同上例中的讨论部分，在所有两矩阵 $U$ 上求使 $\operatorname{Re} \operatorname{tr} A U$ 为极大的问题的解。为了以后参考方便，把这个结果概括成下述定理。

7.4.9 定理 设 $A \in M_{n}$ 是给定的矩阵，且 $A = V\Sigma W^{*}$ 是 $A$ 的奇异值分解。那么，(a)问题

max{Re tr AU:U∈M,是酉矩阵}

有解 $U = W V^{*}$ , 且极大值是 $\sigma_{1}(A) + \dots + \sigma_{n}(A)$ , 其中 $\{\sigma_{i}(A)\}$ 是 $A$ 的奇异值集合. (b) 存在酉矩阵 $U \in M_{n}$ 使得 $A U \in M_{n}$ 是半正定 Hermite 矩阵. 西矩阵 $U$ 是使(a) 中问题达到极大的矩阵, 当且仅当 $A U$ 是半正定矩阵; 如果 $A$ 是非奇异矩阵, 则 $U$ 是唯一确定的. $A U$ 的特征值是 $A$ 的奇异值.

证明：计算

它只有当所有 $(W^{*}UV)_{n} = 1$ 时才取极大值，因为 $W^{*}UV$ 是酉矩阵，这又当且仅当 $W^{*}UV = I$

或 $U = W V'$ 时才成立。对于 $U$ 的这个选择， $A U = V \Sigma W^{*} W V^{*} = V \Sigma V'$ ，又因为 $\Sigma = \operatorname{diag}(\sigma_{1}, \dots, \sigma_{n})$ 且所有 $\sigma_{i} \geqslant 0$ ，所以 $A U$ 是半正定 Hermite 矩阵。如果 $U_{1} \in M_{n}$ 是使 $A U_{1}$ 为半正定矩阵的任一酉矩阵，因为奇异值是酉不变的，所以 $A U_{1}$ 的特征值是 $A$ 的奇异值。对 $A$ 是非奇异的情形， $U$ 的唯一性可由 (7.3.3) 的唯一性部分推出。□

对于任意矩阵 $A \in M_{m,n}$ , $AA^*$ 以及 $A^*A$ 都是半正定矩阵, 并且 $\operatorname{tr} AA^* = \operatorname{tr} A^*A = \sigma_1^2(A) + \dots + \sigma_{\min(m,n)}^2(A)$ , 因 $A^*$ 与 $A$ 有相同的奇异值, 所以 $\operatorname{tr} AA^*$ 可看作 $A$ 和 $A^*$ 的相应奇异值的乘积之和. 这个简单的论断可以推广到任意一对矩阵 $A$ 和 $B$ , 只要乘积 $AB$ 和 $BA$ 有定义且为半正定矩阵. 这个结果对研究几种类型的矩阵最优化问题有用.

7.4.10 定理 设 $A \in M_{m,n}$ , $B \in M_{n,m}$ , 且 $q = \min \{m, n\}$ . 设 $\sigma_1(A), \dots, \sigma_q(A)$ 和 $\sigma_1(B), \dots, \sigma_q(B)$ 分别表示 $A$ 和 $B$ 按递减顺序排列的奇异值. 如果 $AB \in M_m$ 和 $BA \in M_n$ 是半正定矩阵, 则存在整数 $1, 2, \dots, q$ 的一个排列 $\tau$ , 使得

证明：如果 $m = n$ ，且 $A$ 和 $B$ 都是半正定矩阵，又如果 $A$ 与 $B$ 可交换，则它们可以同时西对角化为 $A = U A U^{\prime}$ 和 $B = U M U^{\prime}$ ，其中， $U \in M_{m}$ 是酉矩阵， $\Lambda - \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_m)$ ， $M = \operatorname{diag}(\mu_1, \dots, \mu_m)$ ，且所有 $\lambda_i, \mu_i$ 都是非负的。这时，有

因为特征值 $\lambda_{i}$ ， $\mu_{i}$ 也是 $A$ 和 $B$ 的奇异值，所以在 $m = n$ 的特殊情形，定理得证

不失一般性，假定 $m \leqslant n$ ，因为，如果 $m > n$ ，只要在定理的叙述中互换 $\Lambda$ 和 $B$ 就可以了.

为了证明定理的一般情形，只须证明，对任意一对使得 $m \leqslant n$ 以及 $AB$ 和 $BA$ 都是半正定矩阵的 $A \in M_{n,n}$ 和 $B \in M_{n,m}$ ，存在酉矩阵 $V \in M_n$ 和有标准正交行的矩阵 $Y \in M_{n,n}$ 使得变换

能得到一对可交换的 $n \times n$ 半正定矩阵 $\hat{A}$ 和 $\hat{B}$ . 在这种情形, 由上述结论可知

注意到 $\hat{A}^{\prime}\hat{A} = V^{*}A^{*}YY^{*}AV = V^{*}A^{*}AV = (AV)^{*}(AV)$ ，于是， $\hat{A}$ 的奇异值与 $AV$ 相同，因为 $(AV)(AV)^{*} = AA^{*}$ ，所以它又与 $\Lambda$ 的奇异值相同。同理可证 $\hat{B}$ 的奇异值与 $B$ 相同，由此可得

这正是所要求的。现在分三步来证明，存在形如(7.4.12)的变换，且具有所要求的性质。

(1) 设 $A$ 和 $B$ 适合定理的假设。由 (1.3.20) 可知， $BA$ 的特征值与 $AB$ 的相同（重特征值按重数计算），再加上 $n - m$ 个零特征值。如果 $\lambda_1, \dots, \lambda_m$ 是 $AB$ 的特征值，且 $\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_m)$ ，因为由假定可知， $AB$ 和 $BA$ 都是 Hermite 矩阵，所以有酉矩阵 $U \in M_m$ 和 $V \in M_n$ 使得

若 $V$ 写成分块形式 $V = [V_{1} \mid V_{2}]$ ，其中 $V_{1} \in M_{n,m}$ 且 $V_{2} \in M_{n,n-m}$ ，则 $V_{1}$ 是具有标准正交列的矩阵，因而 $V_{1}^{\prime} V_{1} = I \in M_{m}$ 。于是 $\Lambda = U^{*} A B U$ 且 $B A = V_{1} \Lambda V_{1}^{*}$ ，故 $B A = (V_{1} U^{*}) A B (U V_{1}^{*})$ 。设 $Y = U V_{1}^{*} \in M_{m,n}$ ，并且注意到 $Y Y^{*} = U V_{1}^{*} V_{1} U^{*} = U U^{*} = I$ ，则 $Y$ 有标准正交行且 $B A = Y^{*} A B Y$ 。令 $\hat{A} = Y^{*} A \in M_{n}$ 和 $\hat{B} = B Y \in M_{n}$ ，算出 $\hat{A} \hat{B} = Y^{*} A B Y = B A$ 及 $\hat{B} \hat{A} = B Y Y^{*} A = B A$ ：根据假定，乘积 $B A$ 是半正定矩阵。因此有形如(7.4.12)的变换（其中 $V = I$ ），它使我们得到一对可交换的 $n \times n$ 矩阵，且它们的乘积是半正定矩阵。但是，单项 $\hat{A}$ 和 $\hat{B}$ 可能不是半正定矩阵；不过，我们可以进一步要求形如(7.4.12)的变换达到这个条件。

（2）不失一般性，现在可以假定， $m = n$ ， $A$ ， $B \in M_{n}$ 可交换，且乘积 $AB$ 是半正定矩阵。如果 $(AB)x = \lambda x$ ，且 $x \neq 0$ ，则 $(AB)(Ax) = ABAx - AABx = A(ABx) = A\lambda x = \lambda (Ax)$ ，所以Hermite矩阵 $AB$ 的每个特征空间在 $A$ 作用下不变。同理可证，这每一个特征空间也在 $B$ 的作用下不变。因此，如果 $U = [u_1 \cdots u_n]$ 是以 $AB$ 的特征向量为列构成的两矩阵，且相应于 $AB$ 的同一特征值的所有特征向量相邻地排放在一起，则 $U^*AU$ 和 $U^*BU$ 一定都是分块对角矩阵，且

其中， $\Lambda_{i}$ ， $B_{i} \in M_{k_{i}}$ ， $1 \leqslant k_{i} \leqslant n$ ， $k_{1} + \cdots + k_{r} = n$ ，且每个 $A_{i} B_{i} = B_{i} A_{i} = \lambda_{i} I \in M_{k_{i}}$ ，另外 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{r}$ 是半正定矩阵 $AB$ 的不同（非负）特征值。

(3)不失一般性，现在可以假定， $m = n$ ， $A$ ， $B\in M_{n}$ 可交换， $AB = \lambda I$ ，且 $\lambda \geqslant 0$ ，如果 $\lambda >0$ ，则 $A$ 和 $B$ 都是非奇异矩阵，且 $B = \lambda A^{-1}$ ，利用(7.4.9)求酉矩阵 $U\in M_{n}$ 使得 $\hat{A}\equiv AU$ 是半正定矩阵．另一方面，因为 $\lambda >0$ ，所以 $\hat{B}\equiv U^{*}B = \lambda U^{*}A^{-1} = \lambda (AU)^{-1}$ 也是半正定矩阵，因而 $(AU)^{-1}$ 是半正定矩阵．此外， $(U^{*}B)(AU) = U^{*}\lambda I U = \lambda I = AB = (AU)(U^{*}B)$ ，所以 $\hat{A}$ 与 $\hat{B}$ 可交换．这是形如(7.4.12)的变换，因此，如果 $\lambda >0$ ，就完成了证明.

如果 $\lambda = 0$ ，则 $AB = BA = 0$ ，再选择酉矩阵 $U$ 使得 $AU$ 是半正定矩阵．于是 $0 = AB = (AU)(U^{*}B) = (U^{*}B)(AU) = U^{*}0U = 0$ ，因而 $AU$ 和 $U^{*}B$ 可交换，且Hermite矩阵 $AU$ 的每个特征空间在 $U^{*}B$ 作用下不变，若 $W = [w_{1}\dots w_{n}]$ 是以 $AU$ 的特征向量为列构成的酉矩阵，且相应于 $AU$ 的同一特征值的所有特征向量相邻地排放在一起，则 $W^{*}(AU)W$ 和 $W^{*}(U^{*}B)W$ 都是分块对角矩阵，且

$\Lambda_{i}$ 和 $B_{i}$ 是同阶矩阵，而 $\Lambda_{i} = \lambda_{i}I$ ， $i = 1,2,\dots,r$ ，其是 $\lambda_{1},\lambda_{2},\dots,\lambda_{r}$ 是半正定矩阵 $AU$ 的不同(非负)特征值．对所有 $i = 1,\dots,r$ ，我们有 $\Lambda_{i}B_{i} = B_{i}\Lambda_{i} = 0$ ，如果 $\lambda_{i}\neq 0$ ，则 $\Lambda_{i} = \lambda_{i}I$ 和 $B_{i} = 0$ 是一对可交换的半正定矩阵，这正是所要求的．如果 $\lambda_{i} = 0$ ，则 $B_{i}$ 不一定是零矩阵，但是，存在酉矩阵 $U_{i}$ 使得 $U_{i}^{*}B_{i}$ 是半正定矩阵[应用(7.4.9)于 $B^{*}$ ]，因而，在这种情形， $\Lambda_{i}U_{i} = 0$ 和 $U_{i}^{*}B_{i}$ 构成一对由形如(7.4.12)的变换得到的可交换半正定矩阵．这样，对所有可能情形都进行了验证. □

7.4.13 例 作为(7.4.8)中旋转问题的变形，设 $A, B \in M_{m,n}$ 是给定的矩阵，并且我们希望确

定，是否可以通过 $B$ 的两侧“旋转”来得到 $A$ ；也就是 $A = UBV$ 对某两个两矩阵 $U \in M_{m}$ ， $V \in M_{n}$ 成立吗？更一般地，如果考虑已知矩阵 $B$ 的所有可能的两侧“旋转” $UBV$ ，在最小二乘意义下，可以怎样充分地逼近 $A$ ？

如前，我们试图选择使 $\| A - UBV\|_{2}$ 为极小的酉矩阵 $U\in M_{m}$ 和 $V\in M_{n}$ ，还和前面一样，算出

因此，必须求使 $\operatorname{Re}[A, UBV] = \operatorname{Re} \operatorname{tr}AV^*B^*U^*$ 为极大的酉矩阵 $U \in M_m$ 和 $V \in M_n$ 。使这个问题有极大值的酉矩阵 $U_0, V_0$ 一定存在（但不一定唯一），这是因为 $M_n$ 中和 $M_m$ 中酉矩阵的集合是紧集，又紧集的笛卡儿乘积也是紧集。使上述问题为极大的矩阵 $U_0, V_0$ 对任意酉矩阵 $U \in M_m$ 有性质

于是，由(7.4.9)可知， $AV_{0}^{*}B^{*}U_{0}^{*}$ 是半正定矩阵，同理可证，对任意酉矩阵 $V\in M_n$

于是，仍由(7.4.9)可知， $B^{*}U_{0}^{*}AV_{0}^{*}$ 是半正定矩阵，这样，两个矩阵 $AV_{0}^{*}\in M_{m,n}$ 和 $B^{*}U_{0}^{*}\in$ $M_{n,m}$ 都适合定理(7.4.10)的假设，因为奇异值是两不变的，因此，如果 $q = \min \{m,n\}$ ，则对整数1，…， $q$ 的某个置换 $\pmb{\tau}$ ，有

$\max \{\operatorname{Re} \operatorname{tr} A V^{*} B^{*} U^{*}: U \in M_{m}$ 和 $V \in M_{n}$ 是西矩阵}

不失一般性，我们把奇异值 $\sigma_{1}(A),\dots ,\sigma_{q}(A)$ 和 $\sigma_{3}(B),\dots ,\sigma_{q}(B)$ 按递减顺序排列．如果置换 $\pmb{\tau}$ 不是恒等置换，则有适合 $1\leqslant i_1 < i_2\leqslant q$ 的指标使 $\sigma_{r(i_1)}(B)\leqslant \sigma_{r(i_2)}(B)$ ，并且容易验证，如果所作置换互换这两个奇异值的位置，则和