7.1 定义和性质

设 $A$ 是 $n \times n$ Hermite 矩阵，如果对所有非零 $x \in \mathbf{C}^{n}$ 有

则称 $A$ 为正定矩阵．如果(7.1.1)中所要求的严格不等式减弱成 $x^{*}Ax\geqslant 0$ ，则称 $A$ 为半正定矩阵．在这些定义不等式中隐含着这样的事实：如果 $A$ 是Hermite矩阵，则(7.1.1)左边总是实数．当然，如果 $A$ 是正定矩阵，则它也是半正定矩阵.

练习 当 $n = 1$ 时，正定矩阵和半正定矩阵意味着什么？

练习 证明，如果 $A \in M_n$ ，且对所有 $x \in \mathbb{C}^n$ ， $x^* A x$ 是实数，则 $A$ 是 Hermite 矩阵。因此， $A$ 是 Hermite 矩阵的假定在正定性定义中不是必不可少的。但是，一般习惯这样定义。提示：把 $A$ 写成 $A = B + iC$ ，其中 $B$ 和 $C$ 是 Hermite 矩阵。

练习说明，如果 $A \in M_{n}$ 是实矩阵，且对所有非零 $x \in \mathbb{R}^{n}$ ， $x^{T}Ax$ 是正数，则 $A$ 不一定是对称矩阵，因而它不一定是正定矩阵。提示：考察实斜对称矩阵 $A$ ，然后计算 $(x^{T}Ax)^{T}$ 。在这种情形 $x^{T}Ax$ 是什么？对于非实 $x$ ， $x^{T}Ax$ 又如何呢？

练习 证明 $\left[ \begin{array}{ll}1 & 1\\ 1 & 1 \end{array} \right]$ 是半正定的，但不是正定的.

练习 证明，如果 $A = [a_{ij}] \in M_n$ 是正定矩阵，则 $\overline{A} = [\overline{a}_{ij}]$ ， $A^{\Gamma}$ ， $A^*$ 和 $A^{-1}$ 也是正定矩阵。提示：如果 $Ay = x$ ，则 $x^* A^{-1}x = y^* A^*y$ 。

类似地，可以对 $A$ 定义负定概念和半负定概念，这只要把正定和半正定的定义中的不等式颠倒一下即可，或等价地，分别把 $-A$ 定义为正定矩阵或半正定矩阵。因此，关于负定矩阵的任何一个命题都对应正定矩阵的一个相应命题。如果一个Hermite矩阵不属于上面提到的各类中的任何一个[即，如果(7.1.1)左边既可取正值也可取负值]，则称它为不定矩阵。

关于正定矩阵，可以作出几个直接的结论，并且对于半正定矩阵，也有类似的结论。

7.1.2 论断 正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。

证明：设 $S$ 是 $\{1, 2, \dots, n\}$ 的真子集，且用 $A(S)$ 表示从正定矩阵 $A \in M_{n}$ 中划去其行号和列号分别为 $S$ 的补集的若干行和若干列后得到的矩阵。于是， $A(S)$ 是 $A$ 的主子矩阵，且所有主子矩阵以这种形式出现；我们知道数 $\det A(S)$ 是 $A$ 的主子式。设 $x \in \mathbb{C}^{n}$ 是这样一个非零向量，其中以 $S$ 为下标的分量可取任意元，而其余分量为零元。设 $x(S)$ 表示从 $x$ 中划去以 $S$ 的补集为下标的（零）分量后得到的向量，因而得到

因为 $x(S) \neq 0$ 是任意的，这表明 $A(S)$ 是正定矩阵。

练习 证明正定矩阵的诸对角元是正实数.

7.1.3 论断 任意两个同阶正定矩阵的和是正定矩阵。更一般地，一些半正定矩阵的非负线性组合是半正定矩阵。

证明：设 $A$ 和 $B$ 是半正定矩阵，又设 $a, b \geqslant 0$ ，因而对任意 $x \in \mathbf{C}^n$ 有 $x^* (aA + bB)x = a(x^* Ax) + b(x^* Bx) \geqslant 0$ 。多于两个矩阵的情形可按同样的方式处理。如果诸系数是正的， $A$ 和 $B$ 是正定矩阵，又如果 $x$ 是非零向量，则和中的每一项都是正的，所以诸正定矩阵的正线性组合是正定矩阵。 $\square$

因此，正定矩阵的集合在所有矩阵组成的向量空间中是一个正锥。

7.1.4 论断 正定矩阵的每个特征值都是正实数

证明：设 $A$ 是正定矩阵，设 $\lambda \in \sigma(A)$ ，且 $x$ 是 $A$ 的相应于 $\lambda$ 的特征向量。经计算， $x^{\star}Ax = x^{\star}\lambda x = \lambda x^{\star}x$ 。因此 $\lambda = (r^{\star}Ax) / r^{\star}x$ 是正数，因为它是两个正数之比。

7.1.5 推论 正定矩阵的迹，行列式和所有主子式都是正数。

证明：迹与行列式恰好是诸特征值的和与积，余下的结论可由(7.1.2)推出。

练习 证明半正定阵的诸特征值，迹，行列式和各主子式都是非负的。

练习 证明， $n \times n$ 负定矩阵的诸特征值和迹是负数，但是，对于奇数 $n$ ，其行列式是负数，对于偶数 $n$ ，其行列式是正数。

练习 证明，如果 $A = [a_{n}] \in M_{2}$ 是正定矩阵，则 $a_{11}a_{22} > |a_{12}|^2$ 。提示：利用 $\det A > 0$ 。证明，如果 $A \in M_{n}$ 是正定矩阵，则对所有 $i, j = 1, 2, \dots, n, i \neq j$ ，

证明，如果只假定 $A$ 是半正定矩阵，则在上述不等式“>”必须换成“≥”。

7.1.6 论断 设 $A \in M_{n}$ 是正定的。如果 $C \in M_{n,m}$ ，则 $C^{*}AC$ 是半正定矩阵。另外， $\operatorname{rank}(C^{*}AC) = \operatorname{rank}(C)$ ，因而， $C^{*}AC$ 是正定矩阵当且仅当 $C$ 有秩 $m$ 。

397

[398]

证明：首先指出， $C^{\star}AC$ 是Herinite矩阵．对任意 $x\in \mathbf{C}^{m}$ ，有 $x^{*}C^{*}ACx - y^{*}Ay\geqslant 0$ ，其中 $y\equiv Cx$ ，而不等式是从 $A$ 的正定性推出来的．于是， $C^{\star}AC$ 是半正定矩阵．另外， $A$ 是正定矩阵，所以得知， $x^{*}C^{*}ACx > 0$ 当且仅当 $Cx\neq 0$ ，只要能证明， $C^{\star}ACx = 0$ 当且仅当 $Cx = 0$ ，则关于秩的论断(因而关于正定性的论断)也将得到证明，因为这将表明 $C^{\star}AC$ 和 $C$ 有相同的零空间(因而它们也有相同的秩).如果 $Cx = 0$ ，则显然有 $C^{\star}ACx = 0$ ，反之，如果 $C^{\star}ACx = 0$ ，则 $x^{\prime}C^{\prime \prime}ACx = 0$ ，因而(如前，利用 $A$ 的正定性)得出 $Cx = 0$ □

练习 如果 $A \in M_{n}$ 是半正定矩阵而不是正定矩阵，又如果 $C \in M_{n}$ ，证明 $C^{\prime}AC$ 总是半正定矩阵且不是正定矩阵。如果 $C \in M_{n,m}$ ，且 $n \neq m$ ，用例子说明，即使 $A \in M_{n}$ 是奇异矩阵， $C^{\prime}AC$ 也可能是正定矩阵。

练习 证明由正定(半正定)矩阵组成的锥在“相合下不变。见(4.5.4).

练习 设 $A \in M_{n}$ 是Hermite矩阵。证明， $A$ 是正定(半正定)矩阵，当且仅当存在非奇异矩阵 $C \in M_{n}$ 使得 $C^{*}AC$ 是正定(半正定)矩阵。

如果舍去 $A$ 是Hermite的条件，并且定义的二次型(7.1.1)中只采用实变量，这会出现什么情况呢？如果 $A$ 是具有实元素的矩阵，且 $x \in \mathbb{R}^n$ ，则 $x^T A x$ 是实数，但我们仍然可能要问，对所有 $x \neq 0$ ，哪些矩阵有 $x^T A x > 0$ （即使 $A$ 不是对称矩阵）。如果 $A$ 是具有复元素的矩阵，或者如果允许 $x \in \mathbb{C}^n$ ，则可以用

来代替(7.1.1). 定义 $A$ 的Hermite部分为

当 $n = 1$ 时，这正好是复数 $A$ 的实部.

练习 证明， $(7.1.1')$ 成立，当且仅当 $H(A)$ 是正定矩阵。

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练习 证明，对任意 $A \in M_{n}$ ， $A = H(A) + S(A)$ ，其中 $S(A) = \frac{1}{2} (A - A^{\prime})$ 是 $A$ 的斜Hermite 部分.

习题

1. 设 $A \in M_{n}$ 是半正定矩阵且 $x \in \mathbb{C}^{n}$ . 证明, $x^{*}Ax = 0$ 的必要充分条件是 $Ax = 0$ . 由此推出, 一个半正定矩阵 $A \in M_{n}$ 有秩 $n$ , 当且仅当它是正定矩阵. 提示: 考察二次多项式 $p(t) = (x + ty)^{*}A(x + ty)$ , $t \in \mathbb{R}$ . 如果 $x^{*}Ax = 0$ , 证明, 对所有 $t$ , $p(t) \geqslant 0$ , $p(0) = 0$ , 且在 $t = 0$ 时, $\mathrm{d}p / \mathrm{d}t = 0$ . 由此推出, 对所有 $y \in \mathbb{C}^{n}$ , $y^{*}Ax = 0$ , 因而 $Ax = 0$ .

2. 证明，如果半正定矩阵在主对角线上有零元，则它所在的整行和整列必定是零。

3. 证明，如果正定矩阵的主对角元都是 $+1$ ，则矩阵的所有元的绝对值以 1 为界。可以等于 1 吗？

4. 证明，半正定矩阵 $A$ 有秩1，当且仅当对某个非零向量 $x$ ， $A$ 具有形式 $\Lambda = xx^{*}$ 。

5. 设 $A = [a_{ij}] \in M_{\kappa}$ 是正定矩阵。证明，矩阵 $[a_{ij} / (a_{n}a_{jj})^{1/2}]$ 是正定矩阵，它的所有主对角元都是 +1，且它的所有元的绝对值以 1 为界。这样的矩阵称为相关矩阵。提示：求一个经某个实对角矩阵的相合。

6. 如果 $A$ 有实元素，证明，对所有非零 $x \in \mathbb{R}^n$ ，要求 $x^T A x > 0$ 的条件只与 $H(A)$ 有关。

7. 证明，与(7.1.2)、(7.1.3)、(7.1.4)和(7.1.6)类似的各个论断对使得 $H(A)$ 是正定矩阵的矩阵 $A \in M_{n}(\mathbf{C})$ 成立。

8. 设 $f: \mathbf{R} \to \mathbf{C}$ 是一个函数，如果对所有 $n = 1, 2, \cdots$ 和所有选定的诸点 $\{x_1, x_2, \cdots, x_n\} \subset \mathbf{R}$ ，矩阵 $[f(x_i - x_j)] \in M_n$ 是半正定矩阵，则称 $f$ 是正定函数。证明，对所有 $x \in \mathbb{R}$ ， $f(-x) = f(x)$ 。利用半正定矩阵的行列式非负这一事实证明，如果 $f$ 是正定函数，则

(a) $f(0) \geqslant 0$

(b) $f$ 是有界函数，且对所有 $x \in \mathbb{R}$ ， $|f(x)| \leqslant f(0)$

（c）如果 $f$ 在0点连续，则 $f$ 处处连续，

1. 如果 $f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{n}(x)$ 是正定函数， $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 是非负实数，证明函数 $f(x) = a_{1}f_{1}(x) + \cdots + a_{n}f_{n}(x)$ 是正定函数。

2. 证明，对两个给定的 $t \in \mathbb{R}$ ，函数 $e^{at}$ 是正定函数。试用习题9证明，对任意选定的诸点 $t_1, \dots, t_n \in \mathbb{R}$ 和任意非负数 $a_1, \dots, a_n$ ， $f(x) = a_1 e^{at_1x} + \dots + a_ne^{at_nx}$ 是正定函数。

3. 证明函数 $\cos(x)$ 是正定函数。提示： $\cos(x) = (e^{x} + e^{-x}) / 2$

4. $\sin (x)$ 是正定函数吗？

5. 如果 $g(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的非负可积函数，证明函数

是正定函数. 提示: 利用定义.

1. 证明函数 $f(x) = 1 / (1 - ix)$ 是正定函数。提示：在习题13中，对 $t > 0$ ，设 $g(t) = e^{-t}$ 对 $t \leq 0$ ，设 $g(t) = 0$

2. 由定理(7.5.3)[另见7.5节习题2]可知，如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都是正定函数，则 $f(x)g(x)$ 亦是正定函数。证明，如果 $f(x)$ 是正定函数，则 $\overline{f}(x)$ 和 $|f(x)|^2$ 亦是正定函数，然后利用后一个结论由习题14推出函数 $1/(1+x^2)$ 是正定函数。

3. 利用(7.0.2)，(7.0.2)以及 $f(x) \equiv 1$ 证明，对所有 $n = 1, 2, \dots$ ，矩阵 $A = [a_{ij}] \in M_n$ （其中， $a_{ij} = 1 / (i + j - 1)$ ， $i, j = 1, 2, \dots, n$ 是正定矩阵.

4. 证明，对所有 $n = 1, 2, \cdots$ 。矩阵 $A = [a_{ij}] \in M_n$ （其中， $a_{ij} = 1 / (i + j)$ ， $i, j = 1, 2, \cdots, n$ ）是正定矩阵。提示：对所有 $x = [x_i] \in \mathbb{R}^n$ ，

计算这个积分.

1. 利用(7.1.6)证明，矩阵 $A - [a_{ij}] \in M_n$ （其中 $a_{ij} = \min \{i, j\}$ ）是正定矩阵。提示：对 $n = 4$ ，这个矩阵是什么？考察相合 $C^{\prime}AC$ ，其中 $C$ 是实矩阵，

401

$C$ 为什么是非奇异的？注意这个相合相当于从 $A$ 所有其余的行(列)减去第一行(列). 现在知道了在 $C^{*}AC$ 的右下方 $(n - 1)\times (n - 1)$ 子矩阵的形式，再用同样的方式对它实施一个适当的相合来化简这个矩阵．由此得出 $A^{\prime}$ 相合于 $I$

1. 利用习题 18 和极限证法证明，对任意 $N > 0$ ，核 $K(s, t) = \min \{s, t\}$ 在 $[0, N]$ 上是半正定的，也就是说，对于 $[0, N]$ 上的所有连续复值函数 $f(\cdot)$ ，有

提示：用等距点划分 $[0, N]$ ，然后把这个积分表示成各个划分上的 Riemann 和的极限。

1. 证明恒等式

对 $[0, N]$ 上的所有复值连续函数 $f(\cdot)$ 成立，然后用它给出习题19中的论断的另一个证法。这个证法给出 $K(s, t) = \min \{s, t\}$ 是正定的较强的结果；即(7.1.8)中等式成立，当且仅当 $f(t) = 0$ 。提示：把二重积分表示成累次积分，然后用分部积分法。