3.4 其他标准形和分解

除了 Jordan 标准形以外，还有几种其他的矩阵分解，它们可以用于各种不同的情形。

当矩阵 $A$ 只有实元素时，首先考虑 Jordan 标准形(3.1.12)的一个变形。这时，所有的非实特征值必须成共轭对出现。此外，如果 $A$ 是实的，那么 $\operatorname{rank}(A - \lambda I)^k = \operatorname{rank}(\overline{A} - \overline{\lambda I})^k = \operatorname{rank}(A - \lambda I)^k$ 对所有 $\lambda \in \mathbb{C}$ 和所有 $k = 1, 2, \cdots$ 成立，因而，相应于任一特征值 $\lambda$ 的诸 Jordan 块的结构与相应共轭特征值 $\bar{\lambda}$ 的诸 Jordan 块的结构相同。因此，相应于各非实特征值的所有阶数的全体 Jordan 块（不仅仅是 $1 \times 1$ 子块）成相同阶数的共轭对出现。

例如，如果 $\lambda$ 是实矩阵 $A$ 的一个非实特征值，且 $J_{2}(\lambda)$ 以某个确定的重数出现在 $A$ 的Jordan标准形中，那么 $J_{2}(\bar{\lambda})$ 也必须以相同的重数出现。分块矩阵

[150]

（交换其第2，第3行和列)置换相似于

其中

一般地，任一形如

的矩阵都置换相似于分块矩阵

其中主对角线上有 $k$ 个子块 $D(\lambda)$ ，而在上对角线上有 $k - 1$ 个 $2 \times 2$ 单位矩阵

[5]

其中 $\lambda = a + tb$ ， $a, b \in \mathbb{R}$ ，且 $S = \begin{bmatrix} -i & i \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ ，因此，每个具有非实 $\lambda$ 的共轭 $2 \times 2$ Jordan 块的子块（3.4.1）经 $\left[ \begin{array}{cc} S & 0 \\ 0 & S \end{array} \right]$ 相似于一个具有形状

的 $1 \times 4$ 实分块矩阵。一般地，每个具有非实 $\lambda$ 的共轭 $k \times k$ Jordan 块子块对(3.4.2)相似于具有形状

的 $2k \times 2k$ 实分块矩阵。这些论述导出了实 Jordan 标准形。

3.4.5 定理 每个实矩阵 $A \in M_n(R)$ 相似于具有形状

的分块对角实矩阵，其中，对于 $k = 1,2,\dots ,\lambda_{k} = a_{k} + ib_{k}$ 是非实特征值， $a_{k}$ 和 $b_{k}$ 是实数，而 $\lambda_{q},\dots ,\lambda_{r}$ 是 $A$ 的实特征值．每个实分块三角矩阵 $C_{n_k}(a_k,b_k)\in M_{2n_k}$ 具有形状(3.4.4)，且对应于 $A$ 的Jordan标准形(3.1.12)中具有非实 $\lambda_{k}$ 的一对共轭Jordan块 $J_{n_k}(\lambda_k),J_{n_k}(\bar{\lambda}_k)\in$ $M_{n_k}$ .（3.4.6）中的实Jordan块 $J_{n_k}(\lambda_k)$ 恰好是(3.1.12)中具有实 $\lambda_{k}$ 的Jordan块.

我们已经从一个实矩阵的一般（复）Jordan标准形(3.1.12)推导出它的实Jordan标准形.这样处理的优点是，它正好说明实子块 $C_{n_k}(a_k,b_k)$ 的阶数和个数与 $A$ 的复Jordan块结构是什么关系．但是这样处理的缺点是，把 $A$ 变换成(3.4.6)的相似矩阵可以选取实矩阵这个事实是不明显的.

事实上，如果 $\pmb{\Lambda}$ 是实矩阵，那么总有一个非奇异的实矩阵 $s$ ，使得 $S^{-1}AS$ 成为实Jordan形(3.4.6).可以通过下述三个步骤来证明这一事实，这些步骤正是在(3.1)中的Jordan标准形定理的证明中所采用的．首先，用Schur三角化定理的实形式(2.3.4)代替复形式(2.3.1).在第二步和第三步，可以模仿在复情形下的论述，说明在每个步骤都可以采用实相似，最终将实形式(2.3.4)化简成变了形的诸三角子块或诸Jordan对角子块的一个直和，其中，主对角线上可能有形如(3.4.3)的 $2\times 2$ 实子块 $C(a,b)$

复 Jordan 标准形 (3.1.12) 是诸上三角矩阵的一个直和, 而实 Jordan 形 (3.4.6) 是诸 Hessenberg 矩阵或“近乎上三角”矩阵的一个直和, 这是因为每个实 $2 \times 2$ 子块 $C(a, b)$ 在主对角线下有一个元素.

我们也能提出其他的标准形，它们是一些友矩阵的直和。这种形式对复矩阵有一定的要求，但也有以下优点，它们适用于不同于 $\mathbf{C}$ 的域，而 Jordan 标准形对这样的域却无能为力。

设 $A \in M_{n}$ 是一个已知矩阵，且它的Jordan标准形是(3.1.12). 把相应于每个不同的特征值的所有Jordan块组合在一起．从每一组中选一个最大阶数的Jordan块，并把它从该组中取出．设 $B_{1}$ 表示所有这些取出的子块的直和． $A$ 有多少不同的特征值，那么 $B_{1}$ 中将有多少个直加矩阵．现在从每一组所余下的子块中选一个最大阶数的Jordan块，且把它从该组中取出．设 $B_{2}$ 表示所有这些子块的直和． $B_{2}$ 中直加矩阵的个数可能少于 $B_{1}$ ，因为某个子块可能已是空集；即 $A$ 的某个特征值可能只有一个相应于它的Jordan块．继续作直和 $B_{1}, B_{2}, B_{3}, \cdots, B_{4}$ ，直到所有Jordan块都成为空集． $B_{i}$ 的阶数是单调不增的．于是 $B_{1} \oplus B_{2} \oplus \cdots \oplus B_{4}$ 置换

相似于 $A$ 的原Jordan形(3.1.12).

由于已作出的各个直和 $B_{k}$ 是按上述方式构造出来的，所以每个 $B_{k}$ 的极小多项式与特征多项式是相同的。事实上， $B_{1}$ 的特征（极小）多项式恰好是 $A$ 的极小多项式。因此，根据(3.3.15)，每个 $B_{k}$ 相似于它的特征（极小）多项式的友矩阵。

[1.3]

矩阵 $B_{k}$ 的特征(极小)多项式称为 $\pmb{A}$ 的不变因式 $f_{k}(t)$ 。注意，它们的次数是单调不增的，且每个 $f_{k+1}(t)$ 除尽 $f_{k}(t)$ ， $k=1,2,\cdots,s-1$ 。第一个不变因式 $f_{1}(t)=q_{B_{1}}(t)$ 是 $\pmb{A}$ 的极小多项式，且所有不变因式的乘积是 $\pmb{A}$ 的特征多项式。诸不变因式按一种确定的方式由 $\pmb{A}$ 的Jordan块结构所确定，而 $\pmb{A}$ 的Jordan块结构被 $\pmb{A}$ 的各特征值 $\lambda$ 及 $(A-\lambda,I)$ 的幂的秩序列所确定。因此，相似的矩阵将有相同的不变因式，又因为不变因式也确定 $\pmb{A}$ 的Jordan块结构，所以，具有相同的不变因式的两个矩阵必定相似。因此一个矩阵的不变因式序列（它包括极小多项式且确定特征多项式）是多项式相似不变量完全集：两个矩阵 $A, B\in M_n$ 相似，当且仅当它们的各个不变因式是恒等的。

另一种描述 $A$ 的不变因式的方式是定义 $f_{1}(t) = (t - \lambda_{1})^{r_{1}}\dots (t - \lambda_{m})^{r_{m}}$ 为 $A$ 的极小多项式. 首先 $A$ 的 Jordan 标准形中去掉相应于 $f_{i}(t)$ 的每个因式 $(t - \lambda_{i})^{r_{i}}$ 的一个 Jordan 块（这些正是构成 $B_{1}$ 的诸 Jordan 块），且设 $f_{2}(t) = (t - \lambda_{1})^{r_{1}}\dots (t - \lambda_{m})^{r_{m}}$ 是余下的 Jordan 形的极小多项式．之后又去掉相应于每个因式 $(t - \lambda_{i})^{r_{i}}$ 的一个子块，且设 $f_{i}(t)$ 是余下的 Jordan 形的极小多项式，等等．诸不变因式 $f_{k}(t)$ 正好是一系列被压缩的矩阵的极小多项式，存每一步都要从被压缩的矩阵中去掉某些 Jordan 块.

用不变因式来刻划相似矩阵在理论上是受欢迎的，这是因为它清楚地说明为什么极小多项式和特征多项式一般不足以判别相似性，但是它实际上没有把任何内容加到已经知道的准则里：两个矩阵相似，当且仅当它们的Jordan标准形是相同的。

另一方面，这样的描述可导出 $A$ 的一个新的标准形，称之为有理形，这是因为只需对矩阵 $A$ 的诸元素施以有理运算便可算出它的各个不变因式。

3.4.7 定理 每个矩阵 $A \in M_{n}$ 相似于它的各不变因式的友矩阵的直和.

因为已经有了Jordan标准形，复矩阵的有理形(3.4.7)似乎就没有什么用处了。引进了它的理由是，它的另一种形式在任意域上成立，不只限于复数域。域 $\mathbf{F}$ 上的任一矩阵在 $\mathbf{F}$ 上相似于它的各不变因式的友矩阵的直和，这些不变因式是系数取自 $\mathbf{F}$ 的唯一确定的多项式。我们对实数域来说明这一事实。

如果 $A \in M_{n}(\mathbf{R})$ 是已知实矩阵，那么 $A$ （可能经一个复相似变换）相似于直和 $B_{1} \oplus B_{2} \oplus \cdots \oplus B_{s}$ ，按这个次序，它相似于它的不变因式（项 $B_{k}$ 的特征多项式， $k = 1, \cdots, s$ ）的反矩阵的一个直和。 $A$ 的相应于非实特征值的诸 Jordan 块必须成共轭对出现。如果相应于一个非实特征值的一个子块出现在任一 $B_{k}$ 中，那么它的共轭也一个出现在同一个 $B_{k}$ 中， $k = 1, \cdots, s$ 。于是，每个 $B_{k}$ 有一个实特征多项式，且由(3.4.7)所确定的形式是一个实矩阵。实矩阵有理形的这个形式实际上可经一个实相似得到，我们略去了它的证明。

3.4.8 定理 每个实矩阵 $A \in M_{n}(\mathbb{R})$ 在 $\mathbb{R}$ 上相似于实首一多项式 $p_{1}(t)$ ， $p_{2}(t) \cdots p_{s}(t)$ 的友矩阵的一个直和，其中每个 $p_{k+1}(t)$ 除尽 $p_{k}(t)$ ， $k=1,2,\cdots,s-1$ 。多项式 $p_{1}(t)$ 是 $A$ 在 $\mathbb{R}$ 上的极

小多项式，乘积 $p_1(t)\dots p_s(t)$ 是 $\pmb{A}$ 的特征多项式，且每个 $p_k(t)$ 是 $\pmb{A}$ 在 $\mathbb{R}$ 上的一个不变因式。多项式 $p_k(t)$ 是唯一确定的，因而 $\mathbb{R}$ 上的两个实矩阵相似，当且仅当它们有相同的不变因式。

我们着重指出，相同形式的定理在有理数域 $\mathbf{Q}$ 或任一其他域上也成立。之所以得有理形这个名称，其原因不外乎是，将矩阵 $A \in M_{n}(\mathbf{F})$ 化成所述形式一般可以对 $A$ 在 $\mathbf{F}$ 中的元素作有限多次有理计算来完成。因此，如果 $\mathbf{F}$ 是有理数域，只需采用具有有理元素的相似矩阵和有理系数多项式。

一个涉及反矩阵的不同标准形也可以由Jordan标准形(3.1.12)推导出来。注意到每个单独的Jordan块有性质：它的极小多项式和特征多项式是相同的。于是每个Jordan块 $J_{n_j}(\lambda_i)$ 相似于它的特征多项式 $(t - \lambda_i)^{n_i}$ 的友矩阵。因此，整个Jordan标准形相似于这些多项式 $(t - \lambda_i)^{n_i}$ 的友矩阵的一个直和；这些多项式称为 $A$ 的初等因子。值得指出的是，用这种方式分解 $A$ 时的直加矩阵的个数比分解 $A$ 为有理形时要多；每个不变因式可能提供多个初等因子。 $A$ 的所有初等因子的乘积是 $A$ 的特征多项式。

如果 $A \in M_{n}(\mathbb{R})$ ，则在 $\mathbf{C}$ 上计算它的Jordan形和初等因子时要注意到它们必须成共轭对出现。如果将子块 $J_{n_i}(\lambda)$ 和 $J_{n_i}(\lambda)$ 组合成一个直和，所得到的子块有实多项式 $(t - \lambda)^{n_i}(t - \lambda)^{n_i}$ 作为它的特征多项式和极小多项式，因而它相似于 $[t^2 - (2\operatorname{Re}\lambda)t + |\lambda|^2]^{n_i}$ 的实友矩阵。后一个多项式是 $A$ 的一个实初等因子。实线性因子的幂也可以作为 $A$ 的每个实特征值的初等因子而出现。

为了避免混淆，通常将与初等因子相关联的标准形称为有理标准形。

3.4.9 定理 每个矩阵 $A \in M_{n}(\mathbb{R})$ 在 $\mathbb{R}$ 上相似于它的各(实)初等因子的友矩阵的直和.

相同形式的结论在任一域 $\mathbf{F}$ 上也成立：每个 $A \in M_{n}(\mathbf{F})$ 在 $\mathbf{F}$ 上也相似于它的各初等因子的反矩阵的直和，且这些初等因子是系数取自 $\mathbf{F}$ 的多项式。

例如，考察矩阵

且设 $A = A_{1} \oplus A_{2} \oplus A_{3} \oplus A_{4} \oplus A_{5} \in M_{9}$ 。那么 $A$ 在 $\mathbf{R}$ 上的有理标准形是 $A = A_{1} \oplus A_{2} \oplus A_{3} \oplus A_{4} \oplus A_{5}$ ，则初等因子为 $x - 1, (x - 2)^{2}, x^{2} + 9, x^{2} + 9, x - 4, x - 4$ 。在 $\mathbf{C}$ 上， $A$ 的有理标准形是 $A_{1} \oplus A_{2} \oplus [3i] \oplus [3i] \oplus [-3i] \oplus [4]$ ，且初等因子为 $x - 1, (x - 1)^{2}, x - 3i, x - 3i, x + 3i, x + 3i, x - 4$ 。 $A$ 在 $\mathbf{R}$ 上的有理形是 $(A_{1} \oplus A_{2} \oplus A_{3})$ （ $[4]$ 的友矩阵） $(A_{3} \oplus [4]$ 的友矩阵），且不变因式是

在 $\mathbf{C}$ 上， $A$ 的有理形是 $(A_{1} \oplus A_{2} \oplus [3i] \oplus [-3i] \oplus [4]$ 的友矩阵） $(3i) \oplus [-3i] \oplus [4]$ 的友矩阵）。应注意的是，不论把 $A$ 看成是 $M_{n}(\mathbf{R})$ 中的，还是 $M_{n}(\mathbf{C})$ 中的矩阵，这两个直加矩阵以及不变因式都相同，这对于有理标准形及其初等因子是不成立的。见本节末的习题2和3。

在本节的其他地方，基本上不采用实 Jordan 形、有理形、有理标准形、不变因式或初等因子，在这里讨论它们，仅是因为它们在历史上的重要作用，同时还因为在不同于 C 的域上作矩阵分析时，它们是必不可少的。

还有许多其他有用的标准形和矩阵分解：

156

(a) 极分解: 每个 $A \in M_{n}$ 可以写成 $A = PU$ , 其中 $A \in M_{n}$ 是与 $A$ 有相同秩的半正定矩阵, 而 $U \in M_{n}$ 是酉矩阵. 见(7.3.3). 每个非奇异矩阵 $A \in M_{n}$ 也可以写成 $A = GQ$ , 其中, $G \in M_{n}$ 是(复)对称矩阵 $(G = G^{T})$ , 且 $Q \in M_{n}$ 是复正交矩阵 $(QQ^{T} = I)$ .
（b）奇异值分解：每个 $A \in M_n$ 可以写成 $A = V\Sigma W^*$ ，其中， $V, W \in M_n$ 是酉矩阵，而 $\Sigma \in M_n$ 是具有非负主对角元的对角矩阵，且 $\Sigma$ 的秩与 $A$ 的秩相同。见(7.3.5)。
(c) 三角分解: 每个 $A \in M_{n}$ 可以写成 $A = U R U^{*}$ , 其中, $U \in M_{n}$ 是两矩阵, 而 $R \in M_{n}$ 是上三角矩阵. 每个实矩阵 $A \in M_{n}(\mathbf{R})$ 可以写成 $A = Q R Q^{T}$ , 其中 $Q \in M_{n}(\mathbf{R})$ 是正交矩阵, 而 $R \in M_{n}(\mathbf{R})$ 是具有一个特殊结构的上Hessenberg矩阵. 见(2.3.5).
(d) 每个 Hermite 矩阵 $A \in M_{n}$ 可以写成 $A = SI(A)S^{*}$ , 其中, $S \in M_{n}$ 是非奇异矩阵, 而 $I(A) \in M_{n}$ 是以 +1, -1, 或 0 为主对角元的对角矩阵. 在 $I(A)$ 中, 元素 +1(-1) 的个数与 $A$ 的正(负)特征值的个数是相同的; 0 元的个数等于 $n - \operatorname{rank} A$ . 见(4.5.8).
(e) 每个正规矩阵 $A \in M_{n}$ 可以写成 $A = U\Lambda U^{*}$ , 其中 $U \in M_{n}$ 是酉矩阵, 而 $\Lambda \in M_{n}$ 是其主对角元为 $A$ 的各特征值的对角矩阵. 每个实正矩阵 $\mathbf{A} \in M_{n}(\mathbf{R})$ 可以写成 $A = QDQ^{T}$ , 其中 $Q \in M_{n}(\mathbf{R})$ 是正交矩阵, 而 $D \in M_{n}(\mathbf{R})$ 是具有一个特殊结构的分块对角矩阵. 见(2.5.8).
(f) 每个使得 $A = A^T$ 的矩阵 $A \in M_n$ 可以写成 $A = SK(A)S^T$ ，其中， $S \in M_n$ 是非奇异矩阵，而 $K(A) \in M_n$ 是主对角元为 1 或 0，且其秩等于 $A$ 的秩的对角矩阵，见(4.5.12).
(g) 每个使得 $A = A^T$ 的矩阵 $A$ 可以写成 $A = U\Sigma U$ , 其中, $U\Sigma M_n$ 是酉矩阵, 而 $\Sigma$ 是具有非负主对角元的对角矩阵, $\Sigma$ 的秩等于 $A$ 的秩. 见(4.4.4).
（h）每个酉矩阵 $U \in M_{n}$ 可以写成 $U = Q e^{rE}$ ，而每个（复）正交矩阵 $P \in M_{n}$ 可以写成 $P = Q e^{iT}$ ，其中 $Q, E, F \in M_{n}(\mathbf{R})$ ， $Q$ 是实正交矩阵 $(QQ^{\mathrm{T}} = I)$ ， $E$ 是实对称矩阵 $(E = E^{\mathrm{T}})$ ，且 $F$ 是实斜对称矩阵 $(F = -F^{\mathrm{T}})$ 。
(i) 每个矩阵 $A \in M_{n}$ 可以写成 $A = SU\Sigma U^{\mathrm{T}}S^{-1}$ ，其中 $S$ 是非奇异矩阵， $U$ 是两矩阵，而 $\Sigma$ 是具有非负主对角元的对角矩阵。见(4.4.10)。

习题

[157]

1. 对于

在 $\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{C}$ 上计算它们的极小多项式，特征多项式、不变因式，初等因子，有理形和有理标准形.

1. 设 $A \in M_{n}(\mathbf{R})$ 。假定 $q(t)$ 是 $A$ 在 $\mathbf{R}$ 上的极小多项式，而 $f(t)$ 是 $A$ 在 $\mathbf{C}$ 上的极小多项式。为什么 $f(t)$ 的次数 $\leqslant q(t)$ 的次数？为什么 $f(t)$ 一定除尽 $q(t)$ ？假定 $f(t) = p_{1}(t) + i p_{2}(t)$ ，其中 $p_{1}(t)$ 和 $p_{2}(t)$ 有实系数，试证 $f(t) = q(t)$ ，为什么 $p_{1}(A) = p_{2}(A) = 0$ ？

2. 试用定理(3.4.7)证明，如果 $A, B \in M_n(\mathbf{F})$ ，且 $\mathbf{F}$ 是 $\mathbf{C}$ 的一个子域（例如 $\mathbf{F} = \mathbf{R}$ 或 $\mathbf{Q}$ ），那么 $A$ 与 $B$ 在 $\mathbf{F}$ 上相似，当且仅当它们在 $\mathbf{C}$ 上相似。提示：试证 $A$ 在 $\mathbf{F}$ 上的有理形与 $A$ 在 $\mathbf{C}$

上的有理形是相同的，且对于 $B$ 也有类似的结果。这一结论是如何推广习题2的？

1. 设 $A \in M_{n}(\mathbf{R})$ ，且假定 $A^{2} = -I$ ，证明， $n$ 必须是偶数，且有一个非奇异实矩阵 $S \in M_{n}$ ，使得

其中每个单位矩阵 $I \in M_{n^2}$

进一步阅读 本节所论述的有理标准形是十分经典的，其更详细的论述可以在[HKu]中找到。在一段时间里，实Jordan标准形也为从事矩阵理论研究的人所熟知。但有关它的文献不多见。例如，关于实Jordan形的论述可在[Kow]中找到。关于其元素是有理数或整数的矩阵的标准形的讨论可见[New]。关于特殊标准形的更为详细的讨论可见[Gan]，vol.2；[Gant]和[HJ]。