2.6 课后习题

练习2.1 设 $A = [a_{ij}] \in \mathbb{R}^{n \times n}$ , 且 $a_{11} \neq 0$ , 经过第一步 LU 分解后得到 $A^{(2)} = \left[ \begin{array}{cc} a_{11} & * \\ 0 & A_{22} \end{array} \right]$ .

证明：(1)若 $A$ 对称，则 $A_{22}$ 也对称；

(2) 若 $A$ 对称正定, 则 $A_{22}$ 也对称正定;
(3) 若 $A$ 严格行对角占优, 则 $A_{22}$ 也是严格行对角占优.

练习2.2 (定理2.3)设 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 非奇异且列对角占优. 证明: $A$ 存在LU分解且 $L$ 中的元素的绝对值都不超过1.

练习2.3 设 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 非奇异. 证明: 存在置换矩阵 $P$ , 使得 $PA$ 的所有顺序主子矩阵都非奇异.

练习2.4 设矩阵 $A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7\\ 2 & 5 & 8\\ 3 & 6 & 12 \end{bmatrix}$ ，计算 $A$ 的LU分解和PLU分解

练习2.5 计算 $A = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 4 \\ 2 & 37 & 8 \\ 4 & 8 & 14 \end{bmatrix}$ 的Cholesky分解, 并求解 $Ax = b$ , 其中 $b = \begin{bmatrix} 6 \\ -9 \\ 7 \end{bmatrix}$ .

练习2.6 设矩阵 $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & a \\ 0 & a & 2 \end{bmatrix}$ , 问: 当 $a$ 取何值时, $A$ 存在 Cholesky 分解?

练习2.7 证明Cholesky分解的唯一性

练习2.8设 $A\in \mathbb{R}^{n\times n}$ 对称非奇异，且存在分解 $A = LDM^{\top}$ ，其中 $L,M\in \mathbb{R}^{n\times n}$ 是单位下三角矩阵, $D\in \mathbb{R}^{n\times n}$ 是对角矩阵.证明： $L = M$

练习2.9 设 $A$ 对称且非零, 试证明: 存在置换矩阵 $P$ 使得

其中 $B\in \mathbb{R}$ 或 $B\in \mathbb{R}^{2\times 2}$ ，且非奇异

练习2.10 设 $\lambda \neq 0$ , 矩阵 $A = \begin{bmatrix} \lambda & 2\lambda \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ , 当 $\lambda$ 取何值时, $\kappa_{\infty}(A)$ 达到最小.

练习2.11 设 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ , 其中 $m \geq n$ , 证明: $\| A^{\top} A \|_2 = \| A \|_2^2$ .

当 $m = n$ 时, 证明: $\kappa_{2}(A^{\mathsf{T}}A) = (\kappa_{2}(A))^2$ .

以下为可选题

练习2.12 设 $A = [a_{ij}] \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 对称正定, 证明: $a_{ij}^2 < a_{ii}a_{jj}$ .

练习 $2.13^{*}$ (定理1.56) 设 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 严格列对角占优, 记

证明: $\| A^{-1}\| _1\leq \delta^{-1}$

练习2.14 (验证等式(2.3))证明：

练习2.15 将 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 写成分块形式

其中 $A_{11} \in \mathbb{R}^{k \times k}$ ( $1 \leq k \leq n$ ) 非奇异. 我们称矩阵 $S = A_{22} - A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}$ 为 $A$ 中 $A_{11}$ 的 Schur 补 (通常简称 Schur 补).

(1) 假设 $A$ 存在 LU 分解, 证明: 对于不选主元的 Gauss 消去法, 第 $k$ 步后, $A_{22}$ 已被 $S$ 覆盖.
(2) 假设 $A_{21} = A_{12}^{\mathsf{T}}$ , 且 $A_{11}$ 和 $-A_{22}$ 都正定, 证明 $A$ 非奇异.

练习 $2.16^{*}$ 假定已知 $A$ 的LU分解： $A = LU$ ，试设计算法计算 $A^{-1}$ 的第 $(i,j)$ 个元素

练习 $2.17^{*}$ 设 $A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是两个上三角矩阵, $\alpha \in \mathbb{R}$ 是给定常数, 且 $AB - \alpha I$ 非奇异. 试设计求解 $(AB - \alpha I)x = f$ 的算法, 使得运算量为 $\mathcal{O}(n^2)$ .

以下为实践题

练习2.18 设 $L \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是非奇异下三角矩阵, $B \in \mathbb{R}^{m \times n}$ , 统计以下运算的计算量 (加减乘除, 只需给出最高次项):

(1) 计算 $L^{-1}$ ; (2) 计算 $L^2$ ; (3) 计算 $LL^\top$ ; (4) 计算 $BL$ .

练习2.19 写出按列存储方式下三角方程组 $Ly = b$ 的求解算法, 并编写相应的MATLAB程序.

练习2.20 利用列主元LU分解,给出计算矩阵的逆的实用算法，并编写相应的MATLAB程序

练习2.21 根据算法2.11, 编写求解对角占优三对角线性方程组的追赶法MATLAB程序.

练习2.22 考虑线性方程组 $Ax = f$ ，其中：

即 $A$ 是三对角矩阵另加两个非零元素 (分别位于东北角和西南角). 设计求解该线性方程组的直接算法并编写 MATLAB 程序.

练习2.23 设 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是非奇异三对角矩阵, 给出求解 $Ax = b$ 的列主元 LU 分解算法, 并并编写相应的 MATLAB 程序. 要求: $PA = LU$ 中置换矩阵 $P$ 用向量表示, $L$ 和 $U$ 只存储非零元

素. (用两个向量 $L_{a} \in \mathbb{R}^{n}$ 和 $L_{I} \in \mathbb{Z}^{n}$ 表示 $L$ , 其中 $L_{a}$ 存储非零元素的值, $L_{I}$ 存储这些非零元素的行标, 即 $L_{a}(j)$ 表示 $l_{L_{I}(j), j}$ ; 用 $U_{a} \in \mathbb{R}^{n \times 3}$ 表示 $U$ , 其中第一列表示 $U$ 的主对角线元素, 第二列表示 $U$ 的次对角线元素, 第三列表示 $U$ 的第二条次对角线元素, 即 $U_{a}(i, j)$ 表示 $u_{i, i+j-1}$ .)

练习2.24带状矩阵的LU分解.设 $A$ 是 $n$ 阶带状矩阵，上带宽为 $L < n$ ，下带宽为 $M < n$ ，编写一个函数,计算 $A$ 的LU分解(不带选主元)，并统计运算量.