5.9 课后习题

练习5.1设 $A\in \mathbb{R}^{n\times n}$ ，若 $(\lambda_1,x_1)$ 和 $(\lambda_{2},x_{2})$ 是 $A$ 的特征值对，且 $\lambda_1\neq \lambda_2$ ，证明： $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 线性无关.进一步,若 $A$ 对称，则 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 正交

练习5.2设 $x,y\in \mathbb{R}^n$ ，试证明： $\operatorname *{det}(I + xy^{\top}) = 1 + y^{\top}x.$ （注：在复数域也成立）

练习5.3设 $A = D + uu^{\mathsf{T}}$ ，其中 $D = \mathrm{diag}(d_1,d_2,\ldots ,d_n)$ 满足 $d_{1}\geq d_{2}\geq \dots \geq d_{n},u = [u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}]^{\mathsf{T}}\in \mathbb{R}^{n}.$

(1) 证明: $d_{i}$ 是 $A$ 的特征值的充要条件是 $d_{i} = d_{i + 1}$ 或 $d_{i} = d_{i - 1}$ 或 $u_{i} = 0$ ;
(2) 若 $u_{i} = 0$ , 则 $e_{i}$ 是与 $d_{i}$ 对应的特征向量;
(3) 若 $d_{i-1} > d_i = d_{i+1} > d_{i+2}$ 且 $u_i \neq 0$ , 证明: 对应于 $\lambda = d_i$ 的特征向量 $x$ 除 $x_i$ 和 $x_{i+1}$ 外, 其余分量全部为 0, 且 $x_i u_i + x_{i+1} u_{i+1} = 0$ .

思考: 如果 $d_{i-1} > d_i = d_{i+1} = d_{i+2} > d_{i+3}$ , 则结论如何?

练习 $5.4^{*}$ 设 $\alpha \in \mathbb{R}, D = \mathrm{diag}(d_1, d_2, \ldots, d_n)$ . 若 $u, \hat{u} \in \mathbb{R}^n$ 非负, 矩阵 $D + \alpha uu^{\top}$ 和 $D + \hat{u}\hat{u}^{\top}$ 具有相同的特征值, 记为 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$ , 且满足交错性质 $\lambda_1 > d_1 > \lambda_2 > d_2 > \dots > \lambda_n > d_n$ , 则它们具有相同的特征向量.

思考: 如果没有交错性质, 则结论如何?

练习 $5.5^{*}$ 设 $q\in \mathbb{R}^n$ 满足 $\| q\| _2 = 1$ .对任意与 $q$ 正交的向量 $d\in \mathbb{R}^n$ ，试证明：

练习5.6设 $S\in \mathbb{C}^{n\times n}$ 是skew-Hermite矩阵，即 $S^{*} = -S$ 证明：

(1) $S$ 的非零特征值是纯虚数;
(2) $I + S$ 非奇异;
(3) 矩阵 $(I + S)^{-1}(I - S)$ 是酉矩阵. (该矩阵称为 $S$ 的 Cayley 变换)

练习5.7 设 $B \in \mathbb{R}^{m \times n}, m \geq n$ 且 $\| B \|_2 < 1$ . 若 $A = \left[ \begin{array}{cc} I & B \\ B^\top & I \end{array} \right]$ , 证明:

练习 $5.8^{*}$ 设 $B$ 是二对角矩阵

证明: 存在正交矩阵 $Q_{1}$ 和 $Q_{2}$ , 使得 $Q_{1}^{\mathrm{T}} B Q_{2}$ 仍然是二对角矩阵且所有元素都非负.

练习5.9设 $x,y\in \mathbb{R}^n$ ，若 $y^{\mathrm{T}}x$ 只有零特征值，证明： $xy^{\top}$ 也只有零特征值

设 $X, Y \in \mathbb{R}^{n \times 2}$ , 若 $Y^{\mathsf{T}}X$ 只有零特征值, 则 $XY^{\mathsf{T}}$ 是否也只有零特征值?

练习 $5.10^{*}$ (极分解) 设 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ . 证明:

(1)存在酉矩阵 $U$ 和唯一的Hermite半正定矩阵 $P$ ，使得 $A = PU$

(2) 进一步, 若 $A$ 非奇异, 则 $U$ 也唯一.

练习 $5.11^{*}$ 设 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ . 证明: $A$ 可对角化当且仅当存在 Hermite 正定矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP$ 是正规矩阵.

(提示: 利用极分解, 但不是对 $A$ 进行极分解)

以下为可选题

练习5.12 设 $\lambda \in \mathbb{R}$ 是对称矩阵 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 的一个特征值, 对应的特征向量为 $x \in \mathbb{R}^n$ . 若 $\tilde{x} \in \mathbb{R}^n$ 是 $x$ 的一个 $\mathcal{O}(\varepsilon)$ 近似, 即 $\tilde{x} = x + \mathcal{O}(\varepsilon)$ , 证明:

即 $\tilde{x}$ 对应的Rayleigh商是 $\lambda$ 的 $\mathcal{O}(\varepsilon^2)$ 逼近

练习5.13 设 $A, E \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 都是对称矩阵，它们的特征值分别为 $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \dots \geq \lambda_n$ 和 $\theta_1 \geq \theta_2 \geq \dots \geq \theta_n$ . 设 $A + E$ 的特征值为 $\hat{\lambda}_1 \geq \hat{\lambda}_2 \geq \dots \geq \hat{\lambda}_n$ ，试证明

并由此可知, 若 $E$ 对称正定, 则 $\hat{\lambda}_i \geq \lambda_i$ .

练习5.14设 $A\in \mathbb{R}^{n\times n}$ 是对称矩阵， $A_{n - 1}$ 是 $A$ 的 $n - 1$ 阶顺序主子矩阵,它们的特征值分别为 $\lambda_1\geq \lambda_2\geq \dots \geq \lambda_n$ 和 $\theta_{1}\geq \theta_{2}\geq \dots \geq \theta_{n - 1}$ .试证明

更一般地, 记 $\lambda_{i}(B)$ 为对称矩阵 $B$ 的第 $i$ 个特征值 (按降序排列), 设 $A_{k}$ 是 $A$ 任意一个 $k$ 阶主子矩阵 $(1 \leq k \leq n - 1)$ , 则有

练习5.15 设 $A = D + uu^{\top}$ , 其中 $D = \mathrm{diag}(d_1, d_2, \ldots, d_n)$ 满足 $d_1 > d_2 > \dots > d_n$ . 由此可知, $A$ 的 $n - 1$ 个特征值满足 $\lambda_{i + 1} \in (d_{i + 1}, d_i), i = 1, 2, \ldots, n - 1$ . 试给出特征值 $\lambda_1$ 的取值范围.

练习 $5.16^{*}$ 证明以下结论：

(1) 设 $x \in \mathbb{R}^n$ 是一个正向量, 即 $x_i > 0$ . 证明: 由 $x$ 定义的 Cauchy 矩阵 $A$

是对称半正定的. 进一步, 若 $x_{i}$ 互不相等, 则 $A$ 对称正定. (参见 [153])

(2) 证明: Hilbert 矩阵是对称正定的.

以下为实践题

练习5.17 编写程序, 实现对称矩阵 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 的三对角化

练习5.18 编写程序, 实现矩阵 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ( $m \geq n$ ) 的二对角化

练习5.19 编写程序, 实现计算对称三对角矩阵特征值的带Wilkinson位移的QR算法.

练习5.20 编写程序, 实现计算二对角矩阵奇异值的 dqds 算法