4.6 特征向量的计算

设 $A$ 的特征值都是实的, $R = Q^{\mathsf{T}}AQ$ 是其Schur标准型. 若 $Ax = \lambda x$ , 则 $Ry = \lambda y$ , 其中 $y = Q^{\mathsf{T}}x$ 或 $x = Qy$ . 故只需计算 $R$ 对应于 $\lambda$ 的特征向量 $y$ 即可.

因为 $R$ 的对角线元素即为 $A$ 的特征值, 不妨设 $\lambda = R(i,i)$ . 假定 $\lambda$ 是单重特征值, 则方程 $(R - \lambda I)y = 0$ 即为

\left[ \begin{array}{c c c} R _ {1 1} - \lambda I & R _ {1 2} & R _ {1 3} \\ 0 & 0 & R _ {2 3} \\ 0 & 0 & R _ {3 3} - \lambda I \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} y _ {1} \\ y _ {2} \\ y _ {3} \end{array} \right] = 0,

即

(R _ {1 1} - \lambda I) y _ {1} + R _ {1 2} y _ {2} + R _ {1 3} y _ {3} = 0, \tag {4.7}

R _ {2 3} y _ {3} = 0, \tag {4.8}

(R _ {3 3} - \lambda I) y _ {3} = 0, \tag {4.9}

其中 $R_{11} \in \mathbb{R}^{(i-1) \times (i-1)}$ , $R_{33} \in \mathbb{R}^{(n-i) \times (n-i)}$ . 由于 $\lambda$ 是单重特征值, 故 $R_{33} - \lambda I$ 非奇异, 因此 $y_{3} = 0$ . 令 $y_{2} = 1$ , 则可得

y _ {1} = \left(R _ {1 1} - \lambda I\right) ^ {- 1} R _ {1 2}.

因此计算特征向量 $y$ 只需求解一个上三角线性方程组

若 $\lambda$ 是多重特征值, 则计算方法类似. 但如果 $A$ 有复特征值, 则需要利用实 Schur 标准型

实际计算中也可以

4.6_特征向量的计算

4.6 特征向量的计算