4._特征值与特征向量的求法

特征值与特征向量的求法

在上面介绍的特征值与特征向量的意义，主要是方便读者理解，线性代数的奇妙之处就在于，你哪怕完全不理解其意义，按照固定的套路，也能作对题目，考试时不会考察你理解不理解他的意义，考试主要还是做题。

一个任意给定的 nn 阶矩阵 AA 会有多少个特征值? 对应的特征向量又该如何求呢?请看下面定义 假设矩阵 AA 有特征值 λ\lambda ， 对应于特征值 λ\lambda 的特征向量为 α\alpha, 则有 Aα=λαA \alpha=\lambda \alpha 将 Aα=λαA \alpha=\lambda \alpha 改写成

(A−λE)α=0,(A-\lambda E) \alpha=\mathbf{0},

可见， α\alpha 是 nn 个末知数 nn 个方程的齐次线性方程组 (A−λE)x=0(A-\lambda \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0} 的非零解. 而方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零，即

∣A−λE∣=0|A-\lambda \boldsymbol{E}|=0

记

f(λ)=∣A−λE∣=∣a11−λa12⋯a1na21a22−λ⋯a2n⋮⋮⋱⋮a11a12⋯ann−λ∣,f(\lambda)=|\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{E}|=\left|\begin{array}{cccc} a_{11}-\lambda & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{n n}-\lambda \end{array}\right|,

则 f(λ)f(\lambda) 是 λ\lambda 的 n次多项式，称为矩阵 AA 的特征多项式. 从而公式 ∣A−λE∣=0|A-\lambda E|=0 可以写成 f(λ)=0f(\lambda)=0 这是以 λ\lambda 为未知数的一元 nn 次方程，称为 A\boldsymbol{A} 的特征方程，而 A\boldsymbol{A} 的特征值就 是特征方程的根.

我们知道，一元 nn 次方程在复数范围内恒有 nn 个根 (重根按重数计算). 因此， nn 阶矩阵 AA 在复数范围内有 nn 个特征值，通过解矩阵 AA 的特征方程就可以得到这 nn 个特征值. 设 λ=λi\lambda=\lambda_i 为矩阵 A\boldsymbol{A} 的一个特征值，则由方程 (A−λiE)x=0\left(\boldsymbol{A}-\lambda_i \boldsymbol{E}\right) \boldsymbol{x}=\mathbf{0} 可求得非零解 x=αi′\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\alpha}_{i^{\prime}} 那么 αi\alpha_i 便是 AA 的对应于特征值 λi\lambda_i 的特征向量. (若 λi\lambda_i 为实数，则 α\alpha 可取实向量； 若 λi\lambda_i 为复数，则 αi\alpha_i 可取复向量.) 由此，即可以求得特征值与特征向量。

在构造特征多项式时，使用∣λE−A=0∣|\lambda \boldsymbol{E}-A=0| 或∣A−λE∣=0|A-\lambda \boldsymbol{E}|=0 都可以，从计算上看，后者应该更简单一些，但是基本上所有教材都使用前者，我们也不知道为什么，因此，这里我们也使用前者。

特征值与特征向量求解套路

例 求 A=[−1111−1111−1]A=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right] 的特征值与特征向量． 解： STEP1 构造特征多项式

令 f(λ)=∣λE−A∣=0f(\lambda)=|\lambda E - A |=0 ，即

∣λ+1−1−1−1λ+1−1−1−1λ+1∣=0\left|\begin{array}{ccc} \lambda+1 & -1 & -1 \\ -1 & \lambda+1 & -1 \\ -1 & -1 & \lambda+1 \end{array}\right|=0

STEP2 化简三阶行列式 这是一个三阶行列式，三阶行列式是三次方程，我们并没有三次方程的通用公式，此时要尽可能因式分解，提取一个系数。 从这里也看到，第一章介绍的行列式其实也是作为一个工具，为此处服务的。

D=r3+r2+r1∣λ−1λ−1λ−1−1λ+1−1−1−1λ+1∣=(λ−1)∣111−1λ+1−1−1−1λ+1∣=(λ−1)∣1110λ+2000λ+2∣=(λ−1)(λ+2)2,\begin{aligned} & D\xlongequal{r_3+r_2+r_1}\left|\begin{array}{ccc} \lambda-1 & \lambda-1 & \lambda-1 \\ -1 & \lambda+1 & -1 \\ -1 & -1 & \lambda+1 \end{array}\right| \\ & =(\lambda-1)\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ -1 & \lambda+1 & -1 \\ -1 & -1 & \lambda+1 \end{array}\right| \\ & =(\lambda-1)\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & \lambda+2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda+2 \end{array}\right| \\ & =(\lambda-1)(\lambda+2)^2, \end{aligned}

得 AA 的特征值为 λ1=1,λ2=λ3=−2\lambda_1=1, \lambda_2=\lambda_3=-2 ．

STEP3 求基础解系 上面得到2个特征值，要根据每个特征值找到特征向量，这个特征向量就是方程组的基础解系，这里又转换为了 齐次方程组基础解系的求法 里了。

①当 λ1=1\lambda_1=1 时，解方程组 (E−A)X=0( E - A ) X = 0 ．

我们在STEP1里，已经构造了行列式，所以直接带入λ1=1\lambda_1=1

图片{width=600px}

他其实就是下面的方程（考试时可以不写）。

(2−1−1−12−1−1−12)(x1x2x3)=(000)\left(\begin{array}{rrr} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)

对系数矩阵进行初等行变换，化为行简化阶梯形，具体化简参考 阶梯形矩阵的化法 。

E−A=[2−1−1−12−1−1−12]→[2−1−1032−320−3232]→[2−1−1032−32000]→[10−101−1000]E - A =\left[\begin{array}{ccc} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{ccc} 2 & -1 & -1 \\ 0 & \frac{3}{2} & -\frac{3}{2} \\ 0 & -\frac{3}{2} & \frac{3}{2} \end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{ccc} 2 & -1 & -1 \\ 0 & \frac{3}{2} & -\frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]

E−AE - A 的秩为 2，(E−A)X=0( E - A ) X = 0 的基础解系含 1 个解向量，如果把上面最后一个矩阵还原为方程就是

{x1−x3=0x2−x3=0\left\{\begin{array}{rrr} x_1-x_3=0 \\ x_2-x_3=0 \end{array}\right.

我们根据阶梯形矩阵的结果，取每行1所在元素为未知量，其余为自由未知量。 图片

即 取x1,x2x_1,x_2为未知量，x3x_3为自由未知量。即

{x1=x3x2=x3\left\{\begin{array}{rrr} x_1=x_3 \\ x_2=x_3 \end{array}\right.

令 x3=1x_3=1 ，得 ξ1=[111]\xi _1=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right] ， k1ξ1(k1≠0)k_1 \xi _1\left(k_1 \neq 0\right) 是 AA 的属于特征值 1 的全部特征向量．

②当 λ2=λ3=−2\lambda_2=\lambda_3=-2 时，解方程组 (−2E−A)X=0(-2 E - A ) X = 0 ．

我们在STEP1里，已经构造了行列式，所以直接带入 λ2=2\lambda_2=2

图片{width=600px}

对其系数矩阵作初等行变换

−2E−A=[−1−1−1−1−1−1−1−1−1]→[111000000]-2 E - A =\left[\begin{array}{lll} -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]

取最简形矩阵的首非零元为未知量，列出方程就是 x1+x2+x3=0x_1+x_2+x_3=0 图片

取x1x_1 为未知量，x2,x3x_2,x_3 为自由未知量。即 x1=−x2−x3x_1=-x_2-x_3

分别取 [x2=1x3=0]\left[\begin{array}{cc}x_2=1\\x_3=0 \\\end{array}\right] 和 [x2=0x3=1]\left[\begin{array}{cc}x_2=0\\x_3=1 \\\end{array}\right]

得

ξ2=[−110],ξ3=[−101]\xi _2=\left[\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right] ,\quad \xi _3=\left[\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right]

故 k2ξ2+k3ξ3k_2 \xi _2+k_3 \xi _3（ k2,k3k_2, k_3 不全为零）是 AA 的属于特征值 -2 的全部特征向量。

例题

例求矩阵

A=(100020003)A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right)

的特征值和特征向量.

解：矩阵 AA 的特征多项式为

∣A−λE∣=∣1−λ0002−λ0003−λ∣=(1−λ)(2−λ)(3−λ),|\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{E}|=\left|\begin{array}{ccc} 1-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 2-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 3-\lambda \end{array}\right|=(1-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda),

所以 AA 的全部特征值为 λ1=1,λ2=2，λ3=3\lambda_1=1, \lambda_2=2 ， \lambda_3=3.

①当 λ1=1\lambda_1=1 时，解方程 (A−E)x=0(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0} ， 这是一个齐次方程组，求其解系齐次方程组解系求法： 由

A−E=(000010002)→(010001000)\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}=\left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right) \to \left(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)

得基础解系

α1=(100)\alpha_1=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)

②当 λ2=2\lambda_2=2 时，解方程 (A−2E)x=0(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0} ， 由 A−2E=(−100000001)→(100001000)\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) \to \left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) 得基础解系 α2=(010)\quad \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)

③当 λ3=3\lambda_3=3 时，解方程 (A−3E)x=0(\boldsymbol{A}-3 \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0} ， 由

A−3E=(−2000−10000),(100010000)\boldsymbol{A}-3 \boldsymbol{E}=\left(\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)

得基础解系 α3=(001)\quad \alpha_3=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)

于是 kα1(k≠0)k \boldsymbol{\alpha}_1(k \neq 0) 是对应于特征值 λ1=1\lambda_1=1 的全部特征向量. 于是 kα2(k≠0)k \boldsymbol{\alpha}_2(k \neq 0) 是对应于特征值 λ2=2\lambda_2=2 的全部特征向量. 于是 kα3(k≠0)k \boldsymbol{\alpha}_3(k \neq 0) 是对应于特征值 λ3=3\lambda_3=3 的全部特征向量.

由此例可知，对角矩阵的全部特征值就是它的对角线上的元素. 这个结论需要记住

例 求下列二阶方阵的特征值和特征向量． （1） A=(a00b),a≠b\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ll}a & 0 \\ 0 & b\end{array}\right), a \neq b ； （2）A=(abba),b≠0A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ b & a\end{array}\right), b \neq 0 ． 解：（1）由

∣λE−A∣=∣λ−a00λ−b∣=(λ−a)(λ−b)=0,|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{cc} \lambda-a & 0 \\ 0 & \lambda-b \end{array}\right|=(\lambda-a)(\lambda-b)=0,

所以 A\boldsymbol{A} 的特征值为 λ1=a,λ2=b\lambda_1=a, \lambda_2=b ． 不难求得对应于它们的所有特征向量分别为

k1(10),k2(01),k1,k2≠0k_1\binom{1}{0}, k_2\binom{0}{1}, k_1, k_2 \neq 0

（2）由

∣λE−A∣=∣λ−a−b−bλ−a∣=(λ−a)2−b2=0,|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{cc} \lambda-a & -b \\ -b & \lambda-a \end{array}\right|=(\lambda-a)^2-b^2=0,

得 A\boldsymbol{A} 的特征值为 λ1=a+b,λ2=a−b\lambda_1=a+b, \lambda_2=a-b ． 对特征值 λ1=a+b\lambda_1=a+b ，由

λ1E−A=(a+b)E−(abba)=(b−b−bb),\lambda_1 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}=(a+b) \boldsymbol{E}-\left(\begin{array}{ll} a & b \\ b & a \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr} b & -b \\ -b & b \end{array}\right),

得齐次线性方程组

(b−b−bb)(x1x2)=(00)\left(\begin{array}{rr} b & -b \\ -b & b \end{array}\right)\binom{x_1}{x_2}=\binom{0}{0}

故得对应于特征值 λ1=a+b\lambda_1=a+b 的特征向量为

k(11),k≠0k\binom{1}{1}, k \neq 0

对特征值 λ2=a−b\lambda_2=a-b ，由

λ2E−A=(a−b)E−(abba)=(−b−b−b−b)\lambda_2 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}=(a-b) \boldsymbol{E}-\left(\begin{array}{ll} a & b \\ b & a \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} -b & -b \\ -b & -b \end{array}\right)

得齐次线性方程组

(−b−b−b−b)(x1x2)=(00)\left(\begin{array}{cc} -b & -b \\ -b & -b \end{array}\right)\binom{x_1}{x_2}=\binom{0}{0}

因此对应于特征值 λ2=a−b\lambda_2=a-b 的特征向量为

k(1−1),k≠0k\binom{1}{-1}, k \neq 0

此例说明如下两点： （1）对角矩阵的特征值就是对角线上的所有元素，同阶的单位矩阵的列向量可分别看作是它们所对应的一个特征向量； （2）对行和相等的方阵，这个行和一定是它的一个特征值，而分量均为 1 的列向量必为这个特征值所对应的一个特征向量．

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