4._线性方程组有解的几何意义 - Linear Algebra

方程组解的几何意义

对于方程组:

\left\{\begin{array}{l} a_1 x_1+b_1 x_2=c_1 ...①\\ a_2 x_1+b_2 x_2=c_2 ...② \end{array}\right.

从高中解析几何的知识我们知道上面①和②各表示一根直线, 如果用 $L$ 来表示这两条直线，上面可以写成

\left\{\begin{array}{l} L_1: x_2=-\dfrac{a_1}{b_1} x_1 + \dfrac{c_2}{b_1} \\ L_2: x_2=-\dfrac{a_2}{b_2} x_1 + \dfrac{c_2}{b_2} \end{array}\right.

因为两条直线有相交、重合和平行三种位置关系，对应其解分别是只有一个解，有无穷多个解和无解。

方程组的解

① 我们观察更具体的二元一次方程组，例如

\left\{\begin{array}{l} x+y=3\\ 2x+y=5 \end{array}\right.

分别画出他们的直线方程，如下图

$图片$ {width=300px}

可以发现，他们只有一个交点，因此方程有一个解。

\left\{\begin{array}{l} x=2\\ y=1 \end{array}\right.

② 同样的，观察下面两个方程

\left\{\begin{array}{l} x+y=3\\ 2x+2y=6 \end{array}\right.

画出他们的图形 $图片$ {width=300px} 可以看到，他们有重合，因此有无穷多个解。事实上，第二个方程是第一个方程乘以2得到的，因此这两个方程最大的特点是系数成比例。

③观察下面两个方程

\left\{\begin{array}{l} x+y=3\\ 2x+2y=8 \end{array}\right.

画出他们的图形 $图片$ {width=300px} 可以看到他们是平行的，因此方程组无解。事实上，第二个方程减去第一个方程的2倍，可以得到 $0=2$ 这显然是矛盾的，因此方程组无解。

到这里我们可以有一个简单的结论： 有解的条件 当 $r({A})=n$ 时 $\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right.$ 线性无关), 方程组 (I) 有唯一零解; 当 $r({A})=r<n$ 时 $\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right.$ 线性相关), 方程组 ( I ) 有非零解, 且有 $n-r$ 个线性无关解。这里 $r(A)$ 表示的矩阵的秩，而 $n$ 表示未知数的个数。

齐次线性方程与非齐次线性方程

对于线性方程组，等号右侧都为0的方程称为齐次线性方程，不全为0的称为非齐次线性方程。例如

\left\{\begin{array}{l} x+y=0\\ 2x+y=0 \end{array}\right.

是齐次线性方程

而

\left\{\begin{array}{l} x+y=3\\ 2x+y=5 \end{array}\right.

则是非齐次线性方程。

我们很容易得到，齐次线性方程一定有一个0解。但是对于齐次线性方程，我们更感兴趣的是非0解。后面我们会先研究齐次线性方程组的解系，再研究非齐次线性方程组的解系。当我们学会了齐次线性方程组的解系后，再加上常数就是非齐次线性方程组的解系（或者说，齐次线性图形经过平移后，就可以得到非齐次线性方程的图像）。

系数矩阵与增广矩阵

对于

\left\{\begin{array}{l} x+y=3\\ 2x+y=5 \end{array}\right.

我们把他的系数提取出来，写成矩阵，就称为系数矩阵。如

A= \left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{array}\right]

如果把等号右边的值也加进来，就称为增广矩阵，通常用一个竖线分割。

A|b= \left[\begin{array}{ll:l} 1 & 1 & 3\\ 2 & 1 & 5 \end{array}\right]

推广到三个3元方程组的情况

对于二元一次方程组得到的解的结论，是否可以扩展到3元方程组的情况呢？答案是肯定的，如下

\left\{\begin{array}{l} a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3=b_1\left(\Pi_1\right) \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+a_{23} x_3=b_2\left(\Pi_2\right) \\ a_{31} x_1+a_{32} x_2+a_{33} x_3=b_3\left(\Pi_3\right) \end{array}\right.

从空间看，每个方程都表示一个平面，所以，他表示的是空间的三个平面的关系，容易知道，空间中，三个平面共有8种情况，如下图

$图片$

根据线性方程组的秩及其解的不同情况, 我们可以这样总结并定义线性方程组的分类:

在这里, 要记住所有《线性代数》教材普遍使用的约定： $m 、 n 、 r 、 r_c$ 代表的含义如下:

设矩阵方程 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是秩为 $r$ 的 $m \times n$ 矩阵, 增广矩阵 $\overline{\boldsymbol{A}}=[\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}]$ 的秩为 $r_c$ 。

$m$ : 表示原方程组中方程的个数或者系数矩阵 $A$ 的行数，化简后 $m$ 一般会变小。 $n$ :表示原方程组中变元 $x_i$ 的个数或者系数矩阵 $A$ 的列数，化简后 $n$ 一般也会变小。 $r:$ 表示化简后变元 $x_i$ 的个数（他也是系数矩阵的秩），化简后 $r$ 可能会变小，即 $r \leqslant n$ 。 $r_c$ : 表示化简后方程的个数（他也是增广矩阵的秩），化简后 $r_c$ 可能会变小，即 $r \leqslant m_{\circ}$

当 $r=r_c=n$ 方程组有解当 $r=r_c<n$ 方程组有无数解当 $r<r_c$ 方程组误解。

下面将通过介绍3元线性方程组的解法来引入方程组解的意义，理解了三元方程，再推广到n元就不难了。

三元线性方程组的解法

如果用二元一次方程 $a x+b y+c=0(a, b$ 不同时为 0 $)$ 表示平面内的直线, 那么联立两条直线的方程就得到方程组

\left\{\begin{array}{l} a_1 x+b_1 y+c_1=0, \\ a_2 x+b_2 y+c_2=0 . \end{array}\right. ...(1)

当方程组无解时, 这两条直线平行; 当方程组有唯一解时, 两条直线相交; 当方程组有无穷多个解时, 两条直线重合.

将上述情况推广到空间, 在空间直角坐标系中, 用三元一次方程 $a x+b y+c z+d=0$ $(a, b, c$ 不同时为 0 $)$ 表示空间中的平面 $\mathbf{Q}$ , 如下定义三元线性方程组.

定义1 把含有三个未知量的一次方程组称为三元线性方程组 (system of ternary linear equations). 例如, 方程组

\left\{\begin{array}{l} 2 x_1+2 x_2+3 x_3=3, \\ 4 x_1+7 x_2+7 x_3=1 \end{array}\right.

就是三元线性方程组.

例 解线性方程组

\left\{\begin{aligned} 2 x_1+2 x_2+3 x_3 & =3, \\ -2 x_1+4 x_2+5 x_3 & =-7, \\ 4 x_1+7 x_2+7 x_3 & =1 . \end{aligned}\right.

解: 将第一个方程加到第二个方程, 再将第一个方程乘 $-2$ 加到第三个方程上, 得

\left\{\begin{aligned} 2 x_1+2 x_2+3 x_3 & =3, \\ 6 x_2+8 x_3 & =-4, \\ 3 x_2+x_3 & =-5, \end{aligned}\right.

在上式中交换第二个方程和第三个方程, 然后把新的第二个方程乘 $-2$ 加到新的第三个方程上, 得

\left\{\begin{aligned} 2 x_1+2 x_2+3 x_3 & =3, \\ 3 x_2+x_3 & =-5, \\ 6 x_3 & =6, \end{aligned}\right. ... (2)

由此可得 $x_3=1$ . 将 $x_3=1$ 代人方程组 (2) 中, 得 $x_2=-2, x_1=2$ . 因此, 这个方程组的解是

\left\{\begin{array}{l} x_1=2, \\ x_2=-2, \\ x_3=1 \end{array}\right.

分析上述例子, 在解方程组的过程中进行了三种变换: （1）互换变换，即交换两个方程的位置; （2）倍法变换，即用一个非零常数乘某个方程; （3）消法变换, 即用一个常数乘某一个方程加到另一个方程上. 这些变换统称为线性方程组的初等变换，是高斯消元法的精髓.

系数矩阵、增广矩阵和解向量

定理1 初等变换保持线性方程组同解. 证明只需要证明进行一次初等变换保持方程组同解. 变换（1）（2）的证明是容易的. 下面证明变换（3）不改变方程组的解. 设线性方程组

\left\{\begin{array}{l} a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3=b_1, \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+a_{23} x_3=b_2 \end{array}\right.

的任意一个解是 $x_1=c_1, x_2=c_2, x_3=c_3$ , 经过变换（3）得到的方程组

\left\{\begin{array}{l} a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3=b_1, \\ \left(\lambda a_{11}+a_{21}\right) x_1+\left(\lambda a_{12}+a_{22}\right) x_2+\left(\lambda a_{13}+a_{23}\right) x_3=\lambda b_1+b_2 . \end{array}\right. ...(4)

将 $x_1=c_1, x_2=c_2, x_3=c_3$ 代人 $\left(\lambda a_{11}+a_{21}\right) x_1+\left(\lambda a_{12}+a_{22}\right) x_2+\left(\lambda a_{13}+a_{23}\right) x_3$ , 得到

\begin{aligned} & \left(\lambda a_{11}+a_{21}\right) c_1+\left(\lambda a_{12}+a_{22}\right) c_2+\left(\lambda a_{13}+a_{23}\right) c_3 \\ = & \lambda\left(a_{11} c_1+a_{12} c_2+a_{13} c_3\right)+a_{21} c_1+a_{22} c_2+a_{23} c_3=\lambda b_1+b_2 . \end{aligned}

由此可见, $x_1=c_1, x_2=c_2, x_3=c_3$ 是线性方程组 (4) 的解. 另一方面, 设 $x_1=c_1, x_2=c_2, x_3=c_3$ 是方程组 (4) 的任意一个解, 则

\begin{aligned} & \left(\lambda a_{11}+a_{21}\right) c_1+\left(\lambda a_{12}+a_{22}\right) c_2+\left(\lambda a_{13}+a_{23}\right) c_3 \\ = & \lambda b_1+b_2, \end{aligned}

即

\lambda\left(a_{11} c_1+a_{12} c_2+a_{13} c_3\right)+a_{21} c_1+a_{22} c_2+a_{23} c_3=\lambda b_1+b_2 .

又因为 $a_{11} c_1+a_{12} c_2+a_{13} c_3=b_1$ , 所以

a_{21} c_1+a_{22} c_2+a_{23} c_3=b_2 .

故 $x_1=c_1, x_2=c_2, x_3=c_3$ 是方程组 (3) 的解. 因此变换（3）不改变方程组的解.

定义2 线性方程组的系数所组成的矩阵称为该线性方程组的系数矩阵 (coefficient matrix). 设线性方程组为

\left\{\begin{array}{l} a_{11} x_1+a_{12} x_2+a_{13} x_3=b_1, \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+a_{23} x_3=b_2, \\ a_{31} x_1+a_{32} x_2+a_{33} x_3=b_3, \end{array}\right. ...(5)

则系数矩阵是

\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right),

并且称矩阵

\left(\begin{array}{lll|l} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_3 \end{array}\right)

为线性方程组的增广矩阵 (augmented matrix). 设 $\boldsymbol{x}=\left(x_1, x_2, x_3\right)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{b}=\left(b_1, b_2\right.$ , $\left.b_3\right)^{\mathrm{T}}$ , 则方程组 (5) 可以写成矩阵形式

A x=b

定义3 称满足方程组（5）的三元有序数组为这个三元线性方程组的一个解（solution), 表示为列向量形式 $\xi=\left(k_1, k_2, k_3\right)^{\mathrm{T}}$ , 也称 $\xi$ 是方程组的一个解向量 （solution vector).

例解线性方程组

\left\{\begin{array}{l} x_1-x_2+x_3=1, \\ x_1-x_2-x_3=3, \\ 2 x_1-2 x_2-x_3=3 . \end{array}\right.

解：这个线性方程组的增广矩阵为

\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 3 \\ 2 & -2 & -1 & 3 \end{array}\right),

将第一行乘 -1 加到第二行, 再将第一行乘 -2 加到第三行, 得

\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & -3 & 1 \end{array}\right),

将第二行乘 $\left(-\frac{3}{2}\right)$ 加到第三行, 再将第二行乘 $\left(-\frac{1}{2}\right)$ , 得

\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{array}\right),

相应的方程组变为阶梯形方程组

\left\{\begin{aligned} x_1-x_2+x_3 & =1 \\ x_3 & =-1 \\ 0 & =-2 \end{aligned}\right.

$x_1, x_2, x_3$ 无论取什么值都不能满足 $0=-2$ , 因此, 原线性方程组无解.

定义4 设 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$ , 称以下三种变换（1）互换变换，即交换 $\boldsymbol{A}$ 的某两行（列）, （2）倍法变换，即用一个非零常数乘 $\boldsymbol{A}$ 的某一行（列）, （3）消法变换, 即用一个常数乘 $\boldsymbol{A}$ 的某一行（列）后加到另一行（列）上为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行（列）初等变换. 把行和列的初等变换统称为矩阵的初等变换.

从例 2 可以看到, 线性方程组的初等变换可以转化为对应增广矩阵的行初等变换. 矩阵行初等变换的表示形式如下. （1）矩阵互换变换将矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 行互换, 如交换 $\boldsymbol{A}$ 的第 2 行和第 3 行可以表示为

\left(\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right) \xrightarrow{\left(r_2, r_3\right)}\left(\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array}\right) .

（2）矩阵倍法变换用一个非零常数 $k$ 乘矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的第 $i$ 行, 如用 3 乘 $\boldsymbol{A}$ 的第 2 行可以表示为

\left(\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right) \xrightarrow{3 r_2}\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 3 a_{21} & 3 a_{22} & 3 a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right) .

（3）矩阵消法变换用 $k$ 乘矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的第 $j$ 行后加到第 $i$ 行, 如用 2 乘 $\boldsymbol{A}$ 的第 3 行后加到第 1 行上, 可以表示为

\left(\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right) \xrightarrow{2 r_3+r_1}\left(\begin{array}{ccc} a_{11}+2 a_{31} & a_{12}+2 a_{32} & a_{13}+2 a_{33} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right) .

例解线性方程组

\left\{\begin{array}{l} 2 x_1+x_2+x_3=3, \\ 3 x_1+3 x_2+x_3=0, \\ -2 x_1-x_2+2 x_3=6 . \end{array}\right.

解：对线性方程组的增广矩阵作行初等变换, 将增广矩阵变换为阶梯形矩阵. $图片$

因此, 这个线性方程组的解为

\left\{\begin{array}{l} x_1=1, \\ x_2=-2, \\ x_3=3 . \end{array}\right.