11._两个线性方程组的公共解与同解

两个线性方程组的公共解与同解

设有 m×nm \times n 非齐次线性方程组

Ax=b...(1)A x=b ...(1)

和 s×ns \times n 非齐次线性方程组

Bx=d...(2)B x=d ...(2)

则它们的导出方程组分别为

Ax=0...(3)Bx=0...(4)\begin{aligned} & A x=0 ...(3) \\ & B x=0 ...(4) \end{aligned}

一、线性方程组有公共解的充要条件

定理 1 齐次线性方程组（3）与（4）有非零公共解的充要条件是

rank⁡[AB]<n.\operatorname{rank}\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} \end{array}\right]<n .

证 易知，齐次线性方程组（3）与（4）有非零公共解的充要条件是齐次线性方程组

[AB]x=0...(5)\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} \end{array}\right] x=0 ...(5)

有非零解，这等价于方程组（5）的系数矩阵的秩小于未知量的个数：

rank⁡[AB]<n.\operatorname{rank}\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} \end{array}\right]<n .

定理 2 非齐次线性方程组（1）与（2）有公共解的充要条件是

rank⁡[AB]=rank⁡[AbBd].\operatorname{rank}\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} \end{array}\right]=\operatorname{rank}\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{b} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{d} \end{array}\right] .

证 非齐次线性方程组（1）与（2）有公共解的充要条件是非齐次线性方程组

[AB]x=[bd]\left[\begin{array}{l} A \\ B \end{array}\right] x=\left[\begin{array}{l} b \\ d \end{array}\right]

有解，这等价其系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩：

rank⁡[AB]=rank⁡[AbBd].\operatorname{rank}\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} \end{array}\right]=\operatorname{rank}\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{b} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{d} \end{array}\right] .

由定理 2，若

rank⁡[AB]=rank⁡[AbBd],\operatorname{rank}\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} \end{array}\right]=\operatorname{rank}\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{b} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{d} \end{array}\right],

则非齐次线性方程组（1）与（2）有公共解，从而非齐次线性方程组（1）与（2）分别有解，故

rank⁡A=rank⁡[Ab],rank⁡B=rank⁡[Bd].\operatorname{rank} \boldsymbol{A}=\operatorname{rank}\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{b} \end{array}\right], \quad \operatorname{rank} \boldsymbol{B}=\operatorname{rank}\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{B} & \boldsymbol{d} \end{array}\right] .

由上，

求两个（齐次或非齐次）线性方程组的公共解有三种方法： （a）将两个方程组联立求解。 （b）先求出一个方程组的通解 +{ }^{+}，再代入另一个方程组中，确定通解中参数的关系． （c）先分别求出两个方程组的通解，令两个通解表达式相等，确定参数的关系．

齐次线性方程组同解的充要条件

定理3下列命题等价： （i）齐次线性方程组（3）与（4）同解； （ii）齐次线性方程组（3）、（4）、（5）同解； （iii） rank⁡A=rank⁡B=rank⁡[AB]\operatorname{rank} \boldsymbol{A}=\operatorname{rank} \boldsymbol{B}=\operatorname{rank}\left[\begin{array}{c}\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B}\end{array}\right] ； （iv） A\boldsymbol{A} 的行向量组与 B\boldsymbol{B} 的行向量组等价． 证（i）⇒\Rightarrow（ii）因为齐次线性方程组（3）与（4）同解，所以若 ξ\boldsymbol{\xi} 是方程组（3）的解，则 ξ\boldsymbol{\xi} 也是方程组（4）的解，即 Aξ=0,Bξ=0\boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}=\mathbf{0}, \boldsymbol{B} \boldsymbol{\xi}=\mathbf{0} ，从而 [AB]ξ=0\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B}\end{array}\right] \boldsymbol{\xi}=\mathbf{0} ，故 ξ\boldsymbol{\xi} 是方程组（5）的解．若 ξ\boldsymbol{\xi} 是方程组（4）的解，同理可证： ξ\boldsymbol{\xi} 是方程组（5）的解．反之，若 ξ\boldsymbol{\xi} 是方程组（5）的解，则显然 ξ\boldsymbol{\xi} 是方程组（3）和（4）的解．于是方程组（3）、 （4）、（5）同解． （ii）⇒\Rightarrow（iii）由于方程组（3）、（4）、（5）同解，因此方程组（3）、（4）、（5）的解空间相等，从而它们的维数相等，即

n−rank⁡A=n−rank⁡B=n−rank⁡[AB],n-\operatorname{rank} \boldsymbol{A}=n-\operatorname{rank} \boldsymbol{B}=n-\operatorname{rank}\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} \end{array}\right],

故（iii）成立。 （iii）⇒\Rightarrow（iv）设 α1,α2,⋯ ,αr\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r 是 A\boldsymbol{A} 的行向量组的极大线性无关组，则由

rank⁡A=rank⁡[AB]\operatorname{rank} \boldsymbol{A}=\operatorname{rank}\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} \end{array}\right]

可知， α1,α2,⋯ ,αr\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r 也是 [AB]\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B}\end{array}\right] 的行向量组的极大线性无关组，所以 B\boldsymbol{B} 的行向量组能由 α1,α2,⋯ ,αr\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r线性表示，因而 B\boldsymbol{B} 的行向量组能由 A\boldsymbol{A} 的行向量组线性表示．

同理，由

rank⁡B=rank⁡[AB]\operatorname{rank} \boldsymbol{B}=\operatorname{rank}\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} \end{array}\right]

可证： A\boldsymbol{A} 的行向量组能由 B\boldsymbol{B} 的行向量组线性表示．因此 A\boldsymbol{A} 的行向量组与 B\boldsymbol{B} 的行向量组等价． （iv）⇒\Rightarrow（i）因为 A\boldsymbol{A} 的行向量组与 B\boldsymbol{B} 的行向量组等价，所以存在两个矩阵 P,Q\boldsymbol{P}, \boldsymbol{Q} ，使得

A=PB,B=QAA=P B, \quad B=Q A

若 ξ\boldsymbol{\xi} 是方程组（3）的解，即 Aξ=0\boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}=\mathbf{0} ，则由上式知， Bξ=QAξ=0\boldsymbol{B} \boldsymbol{\xi}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}=\mathbf{0} ，故 ξ\boldsymbol{\xi} 是方程组（4）的解；若 ξ\boldsymbol{\xi} 是方程组（4）的解，则同理可证： ξ\boldsymbol{\xi} 是方程组（3）的解．于是齐次线性方程组（3）与（4）同解．

根据定理3，容易给出判定齐次线性方程组（3）与（4）同解的步骤： （a）对方程组（3）的系数矩阵 A\boldsymbol{A} 做初等行变换化为阶梯矩阵 A1\boldsymbol{A}_1 ，并将其非零行数记为 rr ． （b）对方程组（4）的系数矩阵 B\boldsymbol{B} 做初等行变换化为阶梯矩阵 B1\boldsymbol{B}_1 ，并将其非零行数记为 ss ．当 r≠sr \neq s时，方程组（3）与（4）不同解． （c）当 r=sr=s 时，对分块矩阵 [A1B1]\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{A}_1 \\ \boldsymbol{B}_1\end{array}\right] 做初等行变换化为阶梯矩阵 C1\boldsymbol{C}_1 ．若 C1\boldsymbol{C}_1 的非零行数等于 rr ，则方程组（3）和（4）同解，否则它们不同解．

非齐次线性方程组同解的充要条件

定理 4 设非齐次线性方程组（1）和（2）都有解，则下列命题等价： （i）非齐次线性方程组（1）与（2）同解； （ii）齐次线性方程组（3）与（4）同解，且方程组（1）与（2）有公共解； （iii） rank⁡A=rank⁡B=rank⁡[AB]=rank⁡[AbBd]\operatorname{rank} \boldsymbol{A}=\operatorname{rank} \boldsymbol{B}=\operatorname{rank}\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B}\end{array}\right]=\operatorname{rank}\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{b} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{d}\end{array}\right] ； （iv）增广矩阵 [Ab]\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{b}\end{array}\right] 的行向量组与 [Bd][\boldsymbol{B} \quad \boldsymbol{d}] 的行向量组等价． 证（i）⇒\Rightarrow（ii）设 η\boldsymbol{\eta} 是方程组（1）的一个特解，则 η\boldsymbol{\eta} 也是方程组（2）的一个特解．设 ξ\boldsymbol{\xi} 是方程组（1）的导出方程组（3）的任一解，则 ξ+η\boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\eta} 是方程组（1）的一个解，也是方程组（2）的一个解．于是 ξ=ξ+η−η\boldsymbol{\xi}=\boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\eta}-\boldsymbol{\eta}是方程组（2）的导出方程组（4）的一个解．同理可证：方程组（4）的任一解也是方程组（3）的一个解．于是方程组（3）与（4）同解．从而由方程组（1）与（2）都有解，即知方程组（1）与（2）有公共解． （ii）⇒\Rightarrow（iii）根据定理 3 ，由齐次线性方程组（3）与（4）同解，有

rank⁡A=rank⁡B=rank⁡[AB];\operatorname{rank} \boldsymbol{A}=\operatorname{rank} \boldsymbol{B}=\operatorname{rank}\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} \end{array}\right] ;

又由非齐次线性方程组（1）与（2）有公共解，及定理2知

rank⁡[AB]=rank⁡[AbBd]\operatorname{rank}\left[\begin{array}{l} A \\ B \end{array}\right]=\operatorname{rank}\left[\begin{array}{cc} A & b \\ B & d \end{array}\right]

故（iii）成立．

（iii）⇒\Rightarrow（iv）因为非齐次线性方程组（1）和（2）都有解，所以

rank⁡A=rank⁡[Ab],rank⁡B=rank⁡[Bd].\operatorname{rank} \boldsymbol{A}=\operatorname{rank}\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{b} \end{array}\right], \quad \operatorname{rank} \boldsymbol{B}=\operatorname{rank}\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{B} & \boldsymbol{d} \end{array}\right] .

仿照定理 3 中（iii）⇒\Rightarrow（iv）的证明，由

rank⁡[Ab]=rank⁡[AbBd],rank⁡[Bd]=rank⁡[AbBd]\operatorname{rank}\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{b} \end{array}\right]=\operatorname{rank}\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{b} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{d} \end{array}\right], \quad \operatorname{rank}\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{B} & \boldsymbol{d} \end{array}\right]=\operatorname{rank}\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{b} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{d} \end{array}\right]

可以证明：[Ab]\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{b}\end{array}\right] 的行向量组与 [Bd]\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{B} & \boldsymbol{d}\end{array}\right] 的行向量组等价． （iv）⇒\Rightarrow（i）由于 [Ab]\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{b}\end{array}\right] 的行向量组与 [Bd][\boldsymbol{B} \quad \boldsymbol{d}] 的行向量组等价，因此存在两个矩阵 P,Q\boldsymbol{P}, \boldsymbol{Q} ，使得

[Ab]=P[Bd],[Bd]=Q[Ab]\left[\begin{array}{ll} A & b \end{array}\right]=P\left[\begin{array}{ll} B & d \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} B & d \end{array}\right]=Q\left[\begin{array}{ll} A & b \end{array}\right]

若 η\boldsymbol{\eta} 是方程组（1）的解，即 Aη=b\boldsymbol{A} \boldsymbol{\eta}=\boldsymbol{b} ，则由上式知

Bη=QAη=Qb=d,B \boldsymbol{\eta}=\boldsymbol{Q A} \boldsymbol{\eta}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{b}=\boldsymbol{d},

故 η\boldsymbol{\eta} 是方程组（2）的解；若 η\boldsymbol{\eta} 是方程组（2）的解，则同理可证： η\boldsymbol{\eta} 是方程组（1）的解．于是非齐次线性方程组（1）与（2）同解。

定理 4 的假设条件＂非齐次线性方程组（1）和（2）都有解＂是必不可少的．例如，设

A=[1111],B=[2121],b=d=[12],\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{b}=\boldsymbol{d}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right],

则非齐次线性方程组 Ax=b\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b} 和 Bx=d\boldsymbol{B x}=\boldsymbol{d} 都无解，因而它们同解．但是，齐次线性方程组 Ax=0\boldsymbol{A x}=\mathbf{0} 和 Bx=0\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0} 不同解，因为 (1,−1)T(1,-1)^{\mathrm{T}} 是 Ax=0\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0} 的解，不是 Bx=0\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0} 的解，即定理 4（ii）不成立；而

rank⁡A=rank⁡B=1≠rank⁡[AB]=2,\operatorname{rank} \boldsymbol{A}=\operatorname{rank} \boldsymbol{B}=1 \neq \operatorname{rank}\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} \end{array}\right]=2,

即定理 4（iii）不成立；又由于 [Bd][\boldsymbol{B} \quad \boldsymbol{d}] 的两个行向量均不能由 [Ab][\boldsymbol{A} \quad \boldsymbol{b}] 的行向量组线性表示，因此定理 4 （iv）不成立．

定理 4（ii）中条件＂方程组（1）与（2）有公共解＂也是不可或缺的．例如，非齐次线性方程组

x1+x2=1 和 2x1+2x2=3x_1+x_2=1 \text { 和 } 2 x_1+2 x_2=3

都有解，并且它们的导出方程组

x1+x2=0 与 2x1+2x2=0x_1+x_2=0 \text { 与 } 2 x_1+2 x_2=0

同解．但是，非齐次线性方程组

{x1+x2=12x1+2x2=3\left\{\begin{array}{r} x_1+x_2=1 \\ 2 x_1+2 x_2=3 \end{array}\right.

无解，即方程组

x1+x2=1 与 2x1+2x2=3x_1+x_2=1 \text { 与 } 2 x_1+2 x_2=3

不同解．

根据定理4，可以给出判定非齐次线性方程组（1）与（2）同解的步骤：

（a）对方程组（1）的增广矩阵 [Ab][\boldsymbol{A} \quad \boldsymbol{b}] 做初等行变换化为阶梯矩阵 [Ab1]\left[\boldsymbol{A} \quad \boldsymbol{b}_1\right] ，并将其非零行数记为 rr ．若 [A1b1]\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A}_1 & \boldsymbol{b}_1\end{array}\right] 的最后一个非零行只有末尾那个元不为零，则方程组（1）无解，否则方程组（1）有解； （b）对方程组（2）的增广矩阵 [Bd][\boldsymbol{B} \quad \boldsymbol{d}] 做初等行变换化为阶梯矩阵 [B1d1]\left[\boldsymbol{B}_1 \quad \boldsymbol{d}_1\right] ，并将其非零行数记为 ss ．若 [B1d1]\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{B}_1 & \boldsymbol{d}_1\end{array}\right] 的最后一个非零行只有末尾那个元不为零，则方程组（2）无解，否则方程组（2）有解． （c）若方程组（1）和（2）都无解，则方程组（1）与（2）同解；若方程组（1）和（2）一个有解另一个无解，或者 r≠sr \neq s ，则方程组（1）与（2）不同解． （d）若方程组（1）和（2）都有解，且 r=sr=s ，则对分块矩阵 [A1b1B1d1]\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A}_1 & \boldsymbol{b}_1 \\ \boldsymbol{B}_1 & \boldsymbol{d}_1\end{array}\right] 做初等行变换化为阶梯矩阵 D1\boldsymbol{D}_1 ．若 D1\boldsymbol{D}_1 的非零行数等于 rr ，且 D1\boldsymbol{D}_1 中不出现只有末尾那个元不为零的行，则方程组（1）和（2）同解，否则它们不同解．

同解方程组例题

例已知方程组（I）和方程组（II）为 （I）{x1+x2=0,x2−x4=0,\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=0, \\ x_2-x_4=0,\end{array}\right. （II）{x1−x2+x3=0,x2−x3+x4=0.\left\{\begin{array}{l}x_1-x_2+x_3=0, \\ x_2-x_3+x_4=0 .\end{array}\right. 求（I）和（II）的公共解。 解 法1 求（I）和（II）的公共解，就是同时满足（I）和（II）中的 4 个方程的解．即求解方程组

{x1+x2=0x2−x4=0x1−x2+x3=0x2−x3+x4=0\left\{\begin{aligned} x_1+x_2 & =0 \\ x_2-x_4 & =0 \\ x_1-x_2+x_3 & =0 \\ x_2-x_3+x_4 & =0 \end{aligned}\right.

对系数矩阵进行初等行变换

(1100010−11−11001−11)→(1100010−10−21001−11)→(1100010−1001−20000)\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)

r=3,n=4,n−r=1r=3, n=4, n-r=1 ，基础解系包括 1 个解向量，自由未知量取 x4x_4 ，此时同解方程组为

{x1+x2=0x2=x4x3=2x4\left\{\begin{aligned} x_1+x_2 & =0 \\ x_2 & =x_4 \\ x_3 & =2 x_4 \end{aligned}\right.

取 x4=1x_4=1 ，得基础解系：η=(−1,1,2,1)T\eta=(-1,1,2,1)^{ T } 故（I）和（II）的公共解为 x=kη=k(−1,1,2,1)Tx =k \eta=k(-1,1,2,1)^{ T }（其中 kk 为任意常数）．

法2 求方程组（I）和（II）的一般解的公共部分．先求方程组（I）的基础解系

A1=(1100010−1)A_1=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{array}\right)
r=2,n=4,n−r=2r=2, n=4, n-r=2

基础解系应包括两个线性无关解，取自由未知量为 x3,x4x_3, x_4 。此时同解方程组为

{x1+x2=0x2=x4\left\{\begin{aligned} x_1+x_2 & =0 \\ x_2 & =x_4 \end{aligned}\right.

取 x3=1,x4=0x_3=1, x_4=0 ，得 ξ1=(0,0,1,0)T\xi_1=(0,0,1,0)^{ T } ；取 x3=0,x4=1x_3=0, x_4=1 ．得 ξ2=(−1,1,0\xi_2=(-1,1,0 ， 1)T1)^{ T } 。

再求方程组（II）的基础解系

A2=(1−11001−11)A_2=\left(\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right)

r=2,n=4,n−r=2r=2, n=4, n-r=2 ，取 x3,x4x_3, x_4 为自由未知量同解方程组为

{x1−x2=−x3x2=x3−x4\left\{\begin{aligned} x_1-x_2 & =-x_3 \\ x_2 & =x_3-x_4 \end{aligned}\right.

取 x3=1,x4=0x_3=1, x_4=0 ．得 η1=(0,1,1,0)T\eta_1=(0,1,1,0)^{ T } ；取 x3=0,x4=1x_3=0, x_4=1 ，得 η2=(−1,−1,0\eta_2=(-1,-1,0 ， 1）T{ }^{ T } ．

这样，（I）和（II）的公共解应满足

k1ξ1+k2ξ2=l1η1+l2η2.k_1 \xi_1+k_2 \xi_2=l_1 \eta_1+l_2 \eta_2 .

把 ξ1,ξ2,η1,η2\xi_1, \xi_2, \eta_1, \eta_2 代入上式得

(0010)k1+(−1101)k2=(0110)l1+(−1−101)l2,\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) k_1+\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) k_2=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) l_1+\left(\begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) l_2,

即

(−k2k2k1k2)=(−l2l1−l2l1l2)\left(\begin{array}{c} -k_2 \\ k_2 \\ k_1 \\ k_2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -l_2 \\ l_1-l_2 \\ l_1 \\ l_2 \end{array}\right)

即 −k2=−l2,k2=l1−l2,k1=l1,k2=l2-k_2=-l_2, k_2=l_1-l_2, k_1=l_1, k_2=l_2 ．

解得 k1=2k2=l1=2l2k_1=2 k_2=l_1=2 l_2 ，令 k2=ck_2=c ，则 k1=2ck_1=2 c ，得公共解为 k1ξ1+k2ξ2=k_1 \xi_1+k_2 \xi_2= 2c(0010)+c(−1101)=c(−1121)(c2 c\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+c\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)=c\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)(c 为常数 )).

公共解例题

例 已知线性方程组 ( I ) {x1+x2=0,x2−x4=0,\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=0, \\ x_2-x_4=0,\end{array}\right. ( II ) {x1−x2+x3=0,x2−x3+x4=0.\left\{\begin{array}{l}x_1-x_2+x_3=0, \\ x_2-x_3+x_4=0 .\end{array}\right. (1) 分别求方程组 ( I ), ( II ) 的基础解系; (2)求方程组 ( I ), ( II ) 的公共解.

解 (1) 由方程组 (I) 得其系数矩阵为

A=[1100010−1],\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{array}\right],

解得其基础解系为

ξ1=[0,0,1,0]T,ξ2=[−1,1,0,1]T.\boldsymbol{\xi}_1=[0,0,1,0]^{\mathrm{T}}, \quad \boldsymbol{\xi}_2=[-1,1,0,1]^{\mathrm{T}} .

同理, 方程组 (II)的系数矩阵为

B=[1−11001−11],\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right],

其基础解系为

η1=[0,1,1,0]T,η2=[−1,−1,0,1]T.\boldsymbol{\eta}_1=[0,1,1,0]^{\mathrm{T}}, \quad \boldsymbol{\eta}_2=[-1,-1,0,1]^{\mathrm{T}} .

(2) 方法一 直接解 ( I ), ( II ) 的联立方程组, 即求解 [AB]x=0\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B}\end{array}\right] \boldsymbol{x = 0}. 因

[AB]=[1100010−11−11001−11]⟶[1100010−10−21000−12]⟶[1100010−1001−200−12]⟶[1100010−1001−20000]⟶[1001010−1001−20000],\begin{aligned} {\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} \end{array}\right] } & =\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right] \longrightarrow\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{array}\right] \\ & \longrightarrow\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{array}\right] \longrightarrow\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \longrightarrow\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right], \end{aligned}

故得方程组 (I),(II)(\mathrm{I}),(\mathrm{II}) 的公共解为 k[−1,1,2,1]Tk[-1,1,2,1]^{\mathrm{T}}, 其中 kk 是任意常数. 方法二 在方程组 (I) 的通解中找出满足方程组 (II) 的解 (或在 (II) 的通解中找出满足 (I) 的解),即是 (I), ( II ) 的公共解. 方程组 (I) 的通解为 k1ξ1+k2ξ2=[−k2,k2,k1,k2]Tk_1 \xi_1+k_2 \xi_2=\left[-k_2, k_2, k_1, k_2\right]^{\mathrm{T}}, 代人方程组 (II), 得

{−k2−k2+k1=0k2−k1+k2=0\left\{\begin{array}{l} -k_2-k_2+k_1=0 \\ k_2-k_1+k_2=0 \end{array}\right.

解得 k1=2k2k_1=2 k_2, 代人方程组 (I) 的通解, 得方程组 (I), (II) 的公共解是

[−k2,k2,2k2,k2]T=k2[−1,1,2,1]T, \left[-k_2, k_2, 2 k_2, k_2\right]^{\mathrm{T}}=k_2[-1,1,2,1]^{\mathrm{T}} \text {, }

其中 k2k_2 是任意常数. 方法三 从方程组 (I), ( II )的通解中找出公共解. (I) 的通解为 k1ξ1+k2ξ2k_1 \boldsymbol{\xi}_1+k_2 \boldsymbol{\xi}_2, (II) 的通解为 l1η1+l2η2l_1 \boldsymbol{\eta}_1+l_2 \boldsymbol{\eta}_2, 则公共解应满足 k1ξ1+k2ξ2=l1η1+l2η2k_1 \boldsymbol{\xi}_1+k_2 \boldsymbol{\xi}_2=l_1 \boldsymbol{\eta}_1+l_2 \boldsymbol{\eta}_2, 即

k1[0010]+k2[−1101]=l1[0110]+l2[−1−101].k_1\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right]+k_2\left[\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right]=l_1\left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right]+l_2\left[\begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right] .

由上式可得 k2=l2,k2=l1−l2,k1=l1k_2=l_2, k_2=l_1-l_2, k_1=l_1. 故

k2=l1−l2=k1−k2⇒k1=2k2,k2=l2=l1−l2⇒l1=2l2.\begin{gathered} k_2=l_1-l_2=k_1-k_2 \Rightarrow k_1=2 k_2, \\ k_2=l_2=l_1-l_2 \Rightarrow l_1=2 l_2 . \end{gathered}

或 因此, 公共解为

2k2ξ1+k2ξ2=k2(2ξ1+ξ2)=k2[−1,1,2,1]T,2 k_2 \xi_1+k_2 \xi_2=k_2\left(2 \xi_1+\xi_2\right)=k_2[-1,1,2,1]^{\mathrm{T}},

其中 k2k_2 是任意常数; 或

2l2η1+l2η2=l2(2η1+η2)=l2[−1,1,2,1]T,2 l_2 \boldsymbol{\eta}_1+l_2 \boldsymbol{\eta}_2=l_2\left(2 \boldsymbol{\eta}_1+\boldsymbol{\eta}_2\right)=l_2[-1,1,2,1]^{\mathrm{T}},

其中 l2l_2 是任意常数. 【注】两个方程组的公共解问题, 除了直接给出两个方程组求其公共解之外, 还可以给出一个方程组和另一个方程组的通解(或基础解系), 然后求公共解, 或者给出两个方程组的通解(或基础解系), 然后求公共解. 对于上述三种形式, 本题均已给出了求解方法. 当然, 也可将一个方程组改成满足某个(或某些)条件(满足另一个方程组就是满足某些条件)的方程组, 再求解.

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