12._可交换矩阵 - Linear Algebra

可交换矩阵

如果矩阵 $A,B$ 满足

AB=BA

则称呼A与B是可交换矩阵。

例 已知 $A=\left(\begin{array}{rr}1 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ，求与 $A$ 可交换的矩阵．

解：因 $A$ 是二阶方阵，与 $A$ 可交换相乘的矩阵 $B$ 必然是二阶方阵．设 $B=\left(\begin{array}{ll}b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4\end{array}\right)$ ，则 $A B=B A$ ，即 $\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ．

两边矩阵相等，对应元素相等，得到

\left\{\begin{array}{l} b_1-b_3=b_1+b_2, \\ b_2-b_4=-b_1+b_2, \\ b_1+b_3=b_3+b_4, \\ b_2+b_4=-b_3+b_4, \end{array},\left\{\begin{array}{l} b_2=-b_3, \\ b_1=b_4 . \end{array}\right.\right.

得到 $B=\left(\begin{array}{cc}b_1 & b_2 \\ -b_2 & b_1\end{array}\right)$ （其中 $b_1, b_2$ 为任意实数）．

AB和BA特征值与特征向量

可交换的两个矩阵的特征向量不一定完全相同，但是有下面的结论： 例若 $n$ 阶矩阵 $A, B$ 可交换，即 $A B=B A$ ，则 $A$ 与 $B$ 有公共的特征向量。证明任取 $A$ 的一个特征值 $\lambda$ ，设其对应的特征子空间 $V_\lambda=\{p \mid A p=\lambda p\}$ ， $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 是 $V_\lambda$ 的一个基，则

A \alpha_i=\lambda \alpha_i, i=1,2, \cdots, m .

从而由 $A B=B A$ 知

A\left(B \alpha_i\right)=B\left(A \alpha_i\right)=\lambda B \alpha_i

故 $B \alpha_i \in V_\lambda(i=1,2, \cdots, m)$ ，于是存在数 $k_{i j}(i, j=1,2, \cdots, m)$ ，使得

B \alpha_i=k_{1 i} \alpha_1+k_{2 i} \alpha_2+\cdots+k_{m i} \alpha_m, i=1,2, \cdots, m .

记 $C=\left[\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m\right], ~ K=\left[k_{i j}\right]_{m \times m}$ ，则 $B C=C K$ ．设 $\mu$ 为 $K$ 的一个特征值， $\beta$ 是 $K$ 的对应于 $\mu$ 的特征向量，即 $\beta \neq 0, ~ K \beta=\mu \beta$ ．又记 $p=C \beta$ ，则 $p \in V_\lambda$ ，即 $p$ 是 $A$ 的对应于 $\lambda$ 的特征向量，且

B p=B(K \beta)=C K \beta=C(\mu \beta)=\mu p

即 $p$ 也是 $B$ 的对应于 $\mu$ 的特征向量，故 $A$ 与 $B$ 有公共的特征向量。

以下内容由AI生成，请酌情参考。

交换矩阵的作用

简化计算与矩阵函数 当矩阵可交换时，我们可以像处理普通数字一样处理它们的多项式运算。

矩阵多项式：计算如 (A+B)², A² - B² 等表达式会变得非常简单。
一般情况下：(A+B)² = A² + AB + BA + B²
如果 AB = BA：(A+B)² = A² + 2AB + B² （因为 AB+BA=2AB）
矩阵指数函数：在求解微分方程组时，矩阵指数 e^(At) 至关重要。
一般情况下：e^(A+B) ≠ e^A * e^B
如果 AB = BA：e^(A+B) = e^A * e^B 这个等式成立，这使得计算和分析线性系统的解变得容易得多。

拥有共同的特征向量集（核心作用）

这是可交换矩阵最深层次和最重要的性质。

定理：如果两个矩阵 A 和 B 可交换（AB = BA），那么它们存在一组公共的特征向量，这组向量可以同时对角化这两个矩阵。
这意味着什么？
同时对角化：存在同一个可逆矩阵 P，使得 P⁻¹AP 和 P⁻¹BP 同时为对角矩阵。对角线上就是它们各自的特征值。
物理意义：在量子力学中，这可观测量的“对易关系”直接相关。如果两个算符（对应于矩阵）对易（可交换），则它们有共同的本征态（特征向量），意味着可以同时被精确测量。如果不对易，则存在海森堡不确定性原理。

在量子力学中的关键作用

如上所述，可交换性在量子力学中是核心概念。

对易子：定义 [A, B] = AB - BA。如果 [A, B] = 0，则 A 和 B 可交换。
可观测量的同时测量：位置和动量算符不对易 [x, p] ≠ 0，因此不能同时精确测量（不确定性原理）。而角动量的不同分量之间也有对易关系，这决定了它们的行为性质。

矩阵的分解与分析

可交换矩阵可以一起被分析。

特征值的关系：如果 A 和 B 可交换，且 v 是它们公共的特征向量，则 v 同时是 A 和 B 的特征向量。也就是说，对同一个特征向量 v，有 Av = λv 和 Bv = μv。这使得分析矩阵对（如系统矩阵和控制矩阵）的行为变得容易。
稳定性分析：在控制理论中，分析系统 ẋ = Ax + Bu 时，如果 A 和 B 满足某种可交换关系，系统的稳定性和可控性分析会得到简化。