16._拉普拉斯定理_Laplace

kk 阶子式

我们已经知道, 行列式可以按任一列或任一行展开. 现在我们要将这个结论作进一步的推广. 首先引进 kk 阶子式的概念.

设 ∣A∣|\boldsymbol{A}| 是一个 nn 阶行列式, k<nk<n. 又 i1,i2,⋯ ,iki_1, i_2, \cdots, i_k 及 j1,j2,⋯ ,jkj_1, j_2, \cdots, j_k是两组自然数且适合条件:

1≤i1<i2<⋯<ik≤n;1≤j1<j2<⋯<jk≤n1 \leq i_1<i_2<\cdots<i_k \leq n ; \quad 1 \leq j_1<j_2<\cdots<j_k \leq n

取行列式 ∣A∣|\boldsymbol{A}| 中第 i1i_1 行, 第 i2i_2 行, ⋯\cdots, 第 iki_k 行以及第 j1j_1 列, 第 j2j_2 列, ⋯\cdots, 第 jkj_k列交点上的元素, 按原来 ∣A∣|\boldsymbol{A}| 中的相对位置构成一个 kk 阶行列式. 我们称之为 ∣A∣|\boldsymbol{A}|的一个 kk 阶子式, 记为

A(i1i2⋯ikj1j2⋯jk)\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{llll} i_1 & i_2 & \cdots & i_k \\ j_1 & j_2 & \cdots & j_k \end{array}\right)

把这个子式写出来就是:

∣ai1j1ai1j2⋯ai1jkai2j1ai2j2⋯ai2jk⋮⋮⋮aikj1aikj2⋯aikjk∣.\left|\begin{array}{cccc} a_{i_1 j_1} & a_{i_1 j_2} & \cdots & a_{i_1 j_k} \\ a_{i_2 j_1} & a_{i_2 j_2} & \cdots & a_{i_2 j_k} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i_k j_1} & a_{i_k j_2} & \cdots & a_{i_k j_k} \end{array}\right| .

在行列式 ∣A∣|\boldsymbol{A}| 中去掉第 i1i_1 行，第 i2i_2 行， ⋯\cdots ，第 iki_k 行以及第 j1j_1 列，第 j2j_2 列， ⋯\cdots ，第 jkj_k 列以后剩下的元素按原来的相对位置构成一个 n−kn-k 阶行列式. 这个行列式称余子式, 记为

M(i1i2⋯ikj1j2⋯jk)M\left(\begin{array}{llll} i_1 & i_2 & \cdots & i_k \\ j_1 & j_2 & \cdots & j_k \end{array}\right)

若令 p=i1+i2+⋯+ik,q=j1+j2+⋯+jkp=i_1+i_2+\cdots+i_k, q=j_1+j_2+\cdots+j_k, 记

A^(i1i2⋯ikj1j2⋯jk)=(−1)p+qM(i1i2⋯ikj1j2⋯jk)\widehat{\boldsymbol{A}}\left(\begin{array}{llll} i_1 & i_2 & \cdots & i_k \\ j_1 & j_2 & \cdots & j_k \end{array}\right)=(-1)^{p+q} M\left(\begin{array}{llll} i_1 & i_2 & \cdots & i_k \\ j_1 & j_2 & \cdots & j_k \end{array}\right)

称之为代数余子式. 我们这一节主要证明如下的 Laplace (拉普拉斯) 定理.

Laplace (拉普拉斯) 定理.

设 ∣A∣|\boldsymbol{A}| 是 nn 阶行列式，在 ∣A∣|\boldsymbol{A}| 中任取 kk 行 (列)，那么含于这 kk 行 (列) 的全部 kk 阶子式与它们所对应的代数余子式的乘积之和等于 ∣A∣|\boldsymbol{A}|. 即若取定 kk 个行: 1≤i1<i2<⋯<ik≤n1 \leq i_1<i_2<\cdots<i_k \leq n, 则

∣A∣=∑1≤j1<j2<⋯<jk≤nA(i1i2⋯ikj1j2⋯jk)A^(i1i2⋯ikj1j2⋯jk)|\boldsymbol{A}|=\sum_{1 \leq j_1<j_2<\cdots<j_k \leq n} \boldsymbol{A}\left(\begin{array}{llll} i_1 & i_2 & \cdots & i_k \\ j_1 & j_2 & \cdots & j_k \end{array}\right) \widehat{\boldsymbol{A}}\left(\begin{array}{llll} i_1 & i_2 & \cdots & i_k \\ j_1 & j_2 & \cdots & j_k \end{array}\right)

同样若取定 kk 个列: 1≤j1<j2<⋯<jk≤n1 \leq j_1<j_2<\cdots<j_k \leq n, 则

∣A∣=∑1≤i1<i2<⋯<ik≤nA(i1i2⋯ikj1j2⋯jk)A^(i1i2⋯ikj1j2⋯jk)|\boldsymbol{A}|=\sum_{1 \leq i_1<i_2<\cdots<i_k \leq n} \boldsymbol{A}\left(\begin{array}{llll} i_1 & i_2 & \cdots & i_k \\ j_1 & j_2 & \cdots & j_k \end{array}\right) \widehat{\boldsymbol{A}}\left(\begin{array}{cccc} i_1 & i_2 & \cdots & i_k \\ j_1 & j_2 & \cdots & j_k \end{array}\right)

例题

上面的定理很抽象，下面通过一个例题进行讲解。

例设有下列四阶行列式，采用拉普拉斯定理进行求解。

∣12−137052−24612314∣\left|\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 7 & 0 & 5 & 2 \\ -2 & 4 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \end{array}\right|

解：根据拉普拉斯定理，这是一个四阶行列式，所以，我们可以任取1到4阶子式进行展开。其中1阶展开也就是以前学过的行列式展开模式， 所以，我们采用2阶子式来计算本题。

第一步：这是一个4解行列式，采用2阶子式时，可以任取两行进行处理，所以，我们固定第二、第三行，参考下图， 图片

接下来找2列：则共有 C42(=6)C_4^2(=6) 列，即

①取第一列第二列 图片 可以看到此时粉红线和深黄线交叉元素为

a1=∣70−24∣a_1=\left|\begin{array}{cc} 7 & 0 \\ -2 & 4 \end{array} \right|

而剩余的4个元素为余子式，即余子式为

M1=∣−1314∣M_1=\left|\begin{array}{cc} -1 & 3 \\ 1 & 4 \end{array}\right|

又因为交叉的4个元素的位置是第2行，第3行，第1列，第2列，所以，他的代数余子式为：

A1=(−1)2+3+1+2M1=(−1)2+3+1+2∣−1314∣A_1=(-1)^{2+3+1+2} M_1=(-1)^{2+3+1+2}\left|\begin{array}{cc} -1 & 3 \\ 1 & 4 \end{array}\right|

②取第一列第三列

图片

可以看到此时粉红线和深黄线交叉元素为

a2=∣75−26∣a_2=\left|\begin{array}{cc} 7 & 5 \\ -2 & 6 \end{array} \right|

而剩余的4个元素为余子式，即余子式为

M2=∣2334∣M_2=\left|\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{array}\right|

又因为交叉的4个元素的位置是第2行，第3行，第1列，第3列，所以，他的代数余子式为：

A2=(−1)2+3+1+3M2=(−1)2+3+1+3∣2334∣A_2=(-1)^{2+3+1+3} M_2=(-1)^{2+3+1+3}\left|\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{array}\right|

用同样的方法

③ 取第一列第四列 可以得到a3,A3a_3, A_3

④取第二列第三列，可以得到a4,A4a_4, A_4

⑤取第二列第四列，可以得到a5,A5a_5, A_5

⑥取第三列第四列，可以得到a6,A6a_6, A_6

于是 Laplace 定理,整个行列式的值为

D=a1A1+a2A2+a3A3+a4A4+a5A5+a6A6D=a_1 A_1 +a_2A_2+a_3A_3+a_4A_4+a_5A_5+a_6A6
D=∣70−24∣∣−1314∣−∣75−26∣∣2334∣+∣72−21∣∣2−131∣+∣0546∣∣1324∣−∣0241∣∣1−121∣+∣5261∣∣1223∣=28×(−7)−52×(−1)+11×5+(−20)×(−2)−(−8)×3+(−7)×(−1)=−18\begin{aligned} D= & \left|\begin{array}{cc} 7 & 0 \\ -2 & 4 \end{array}\right|\left|\begin{array}{cc} -1 & 3 \\ 1 & 4 \end{array}\right|-\left|\begin{array}{cc} 7 & 5 \\ -2 & 6 \end{array}\right|\left|\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc} 7 & 2 \\ -2 & 1 \end{array}\right|\left|\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{array}\right| \\ & +\left|\begin{array}{cc} 0 & 5 \\ 4 & 6 \end{array}\right|\left|\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{array}\right|-\left|\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 4 & 1 \end{array}\right|\left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc} 5 & 2 \\ 6 & 1 \end{array}\right|\left|\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array}\right| \\ = & 28 \times(-7)-52 \times(-1)+11 \times 5+(-20) \times(-2) \\ & -(-8) \times 3+(-7) \times(-1) \\ = & -18 \end{aligned}

当某 kk 个行（列）中所含的 kk 阶子式为零者甚多时，按这 kk 行展开行列式，则计算量大为减少。

例 计算行列式

∣A∣=∣2100012100012100012100012∣|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{lllll} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right|

的值． 解 按前两行展开并去掉为零的项后得

∣A∣=∣2112∣(−1)1+2+1+2∣210121012∣+∣2011∣(−1)1+2+1+3∣110021012∣=3×4−2×3=6.\begin{aligned} |\boldsymbol{A}| & =\left|\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}\right|(-1)^{1+2+1+2}\left|\begin{array}{lll} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right|(-1)^{1+2+1+3}\left|\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right| \\ & =3 \times 4-2 \times 3=6 . \end{aligned}

例用 Laplace 定理计算 D=∣a11⋯a1n0⋯0⋮⋮⋮⋮an1⋯ann0⋯0c11⋯c1nb11⋯b1m⋮⋮⋮⋮cm1⋯cmnbm1⋯bmm∣D=\left|\begin{array}{cccccc}a_{11} & \cdots & a_{1 n} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n n} & 0 & \cdots & 0 \\ c_{11} & \cdots & c_{1 n} & b_{11} & \cdots & b_{1 m} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{m 1} & \cdots & c_{m n} & b_{m 1} & \cdots & b_{m m}\end{array}\right| ；

解 DD 是一个 (m+n)(m+n) 阶行列式．在前 nn 行中，有后 mm 列全为零元素。因此运用 Laplace 定理时，取 k=nk=n ，且取定为前 nn 行，则这 nn 行中一切 nn阶子式只有一个不为零．故

D=∑i=1tRiAi=R1⋅A1=∣a11⋯a1n⋮⋮an1⋯ann∣⋅(−1)(1+2+⋯+n)+(1+2+⋯+n)⋅∣b11⋯b1m⋮⋮bm1⋯bmm∣=∣a11⋯a1n⋮⋮an1⋯ann∣⋅∣b11⋯b1m⋮⋮bm1⋯bmm∣.\begin{gathered} D=\sum_{i=1}^t R_i A_i=R_1 \cdot A_1 \\ =\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right| \cdot(-1)^{(1+2+\cdots+n)+(1+2+\cdots+n)} \cdot\left|\begin{array}{ccc} b_{11} & \cdots & b_{1 m} \\ \vdots & & \vdots \\ b_{m 1} & \cdots & b_{m m} \end{array}\right| \\ =\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right| \cdot\left|\begin{array}{ccc} b_{11} & \cdots & b_{1 m} \\ \vdots & & \vdots \\ b_{m 1} & \cdots & b_{m m} \end{array}\right| . \end{gathered}

例用 Laplace 定理计算

D=∣0⋯0a11⋯a1n⋮⋮⋮⋮0⋯0an1⋯annb11⋯b1mc11⋯c1n⋮⋮⋮⋮bm1⋯bmmcm1⋯cmn∣D=\left|\begin{array}{cccccc} 0 & \cdots & 0 & a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & a_{n 1} & \cdots & a_{n n} \\ b_{11} & \cdots & b_{1 m} & c_{11} & \cdots & c_{1 n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{m 1} & \cdots & b_{m m} & c_{m 1} & \cdots & c_{m n} \end{array}\right|

解： DD 也是一个 (m+n)(m+n) 阶行列式 用 Laplace定理有

D=∑i=1tRiAi=∣a11⋯a1n⋮⋮an1⋯ann∣⋅(−1)(1+2+⋯+n)+[(m+1)+(m+2)+⋯+(m+n)]∣b11⋯b1m⋮⋮bm1⋯bmm∣=(−1)mn⋅∣a11⋯a1n⋮⋮an1⋯ann∣⋅∣b11⋯b1m⋮⋮bm1⋯bmm∣,\begin{gathered} D=\sum_{i=1}^t R_i A_i=\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right| \cdot(-1)^{(1+2+\cdots+n)+[(m+1)+(m+2)+\cdots+(m+n)]} \\ \left|\begin{array}{ccc} b_{11} & \cdots & b_{1 m} \\ \vdots & & \vdots \\ b_{m 1} & \cdots & b_{m m} \end{array}\right|=(-1)^{m n} \cdot\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right| \cdot\left|\begin{array}{ccc} b_{11} & \cdots & b_{1 m} \\ \vdots & & \vdots \\ b_{m 1} & \cdots & b_{m m} \end{array}\right|, \end{gathered}

式中利用了 n(n+1)n(n+1) 必为偶数，因此 (−1)(m+n+1)⋅n=(−1)mn(-1)^{(m+n+1) \cdot n}=(-1)^{m n} ．

上面两个结果可以当做公式记

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