1._行列式重要公式汇总

$n$ 阶行列式的意义

$n$ 阶行列式 $D_n=\left|\begin{array}{ccc}a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right|$ 是由 $n$ 个 $n$ 维向量 $\boldsymbol{a}_1=\left[a_{11}, a_{12}, \cdots, a_{1 n}\right], \boldsymbol{a}_2=\left[a_{21}, a_{22},\cdots\right.$ , $\left.a_{2 n}\right], \cdots, \alpha_n=\left[a_{n 1}, a_{n 2}, \cdots, a_{n n}\right]$ 组成的, 其 (运算规则的) 结果是以这 $n$ 个向量为邻边的 $n$ 维图形的 (有向) 体积.

行列式化简基本性质

性质1 行列互换, 其值不变, 即 $|\boldsymbol{A}|=\left|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right|$ . 性质2 行列式中某行（列）元素全为零，则行列式为零。 性质3 行列式中的两行（列）元素相等或对应成比例，则行列式为零。 性质4 行列式中某行（列）元素均是两个元素之和，则可拆成两个行列式之和，即

\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i 1}+b_{i 1} & a_{i 2}+b_{i 2} & \cdots & a_{i n}+b_{i n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{i n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{i 1} & b_{i 2} & \cdots & b_{i n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right| .

性质5 行列式中两行 (列) 互换, 行列式的值反号.

性质6 行列式中某行（列）的 $k$ 倍加到另一行（列）, 行列式的值不变。

性质7 行列式中某行（列）元素有公因子 $k(k \neq 0)$ , 则 $k$ 可提到行列式外面, 即

\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ k a_{i 1} & k a_{i 2} & \ldots & k a_{i n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \ldots & a_{n n} \end{array}\right|=k\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \ldots & a_{i n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \ldots & a_{n n} \end{array}\right| .

注意行列式的性质和矩阵的区别，行列式是一行有公因数提取到外面，而矩阵是每个元素有公因数提取到外面。行列式的值是一个数，而矩阵的变换仍是一个矩阵。

点击查看行列式教程

行列式考试容易失分的两点

易错1：性质4：下面行列式的拆法是错误的，很多考生会在这一步失分

\left|\begin{array}{ll} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ll} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{array}\right|

性质释义：性质4告诉我们再拆分行列式时一次只能拆分一个。

易错2：

①一个常数 $k$ 乘以行列式 $|A|$ 等于常数乘以行列式的一行。

换言之，如果一个行列式有一个公约数 $k$ ，提出来应该是

\boxed{ |kA|=k^n|A| }

特别的，当 $k=-1$ 时有

|-A|=(-1)^n|A|

②一个常数 $k$ 乘以矩阵 $A$ 等于常数乘以矩阵的每一行。换言之，如果一个矩阵有一个公约数 $k$ ，提出来应该是

\boxed{ [kA]=k[A] }

行列式的基本性质

$\left|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right|=|\boldsymbol{A}|$ .

$|\lambda A|=\lambda^n|\boldsymbol{A}|$ .

$|\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}|=|\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|, \quad\left|\boldsymbol{A}^k\right|=|\boldsymbol{A}|^k$ .

$\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}$ (若 $\boldsymbol{A}$ 可逆).

$\left|\boldsymbol{A}^*\right|=|\boldsymbol{A}|^{n-1}(n \geq 2)$ .

$|\boldsymbol{A}|=\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n$ , 其中 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 个特征值.

若 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似, 则 $|\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{B}|$ .

伴随矩阵 $A^*$ 计算复杂，基本上没啥用。但是因为变换灵活，公式多，成为考试最爱的考点

上三角与下三角行列式

a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=a_{11} a_{22} \cdots a_{n n} .

副对角行列式

\left|\begin{array}{cccc} 0 & & & \lambda_1 \\ & & \lambda_2 & \\ & \therefore & & \\ \lambda_n & & & 0 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc} 0 & & & \lambda_1 \\ & & \lambda_2 & * \\ & \therefore & \vdots & \vdots \\ \lambda_n & \cdots & * & * \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc} * & \cdots & * & \lambda_1 \\ * & \cdots & \lambda_2 & \\ \vdots & . & & \\ \lambda_n & & & 0 \end{array}\right|=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n .

范德蒙行列式

D_n=\left|\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & x_3^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{array}\right|=\prod_{1 \leqslant j < i \leqslant n}\left(x_i-x_j\right)

请注意：考试时，有时候会把他转置，第一列全为1，这个时候也要能认出他是范德蒙行列式

点击查看范德蒙行列式教程

代数余子式的异乘变零定理

$n$ 阶行列式的某一行的所有元素与另一行中对应元素的代数余子式乘积的和等于零，即

\boxed{ a_{i1}A_{s1}+a_{i2}A_{s2}+...+a_{in}A_{sn}=0 }

拉普拉斯展开式

设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m$ 阶方阵, $\boldsymbol{B}$ 是 $n$ 阶方阵, 则

① $\left|\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right|=|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|$ .

② $\left|\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{C}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}\boldsymbol{C} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right|=(-1)^{m n}|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|$ .

点击查看拉普拉斯展开式

克拉默法则

如果线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2 \\ \vdots \\ a_{n 1} x_1+a_{n 2} x_2+\cdots+a_{n n} x_n=b_n\end{array}\right.$ 的系数行列式 $D=\left|\begin{array}{ccc}a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right| \neq 0$ , 则方程组有唯一解:

x_1=\frac{D_1}{D}, x_2=\frac{D_2}{D}, \cdots, x_n=\frac{D_n}{D},

其中 $D_j(j=1,2, \cdots, n)$ 是把系数行列式 $D$ 中第 $j$ 列用常数项代替后所得的 $n$ 阶行列式.

行列式的判断方程的解

系数矩阵A	齐次方程 $AX=0$	非齐次方程 $AX=b (b \ne 0)$
行列式 det A = 0	有非零解	无解
行列式 det A $\ne$ 0	只有零解	有唯一解

记忆技巧：类别 $ax=0$ 或 $ax=1$ 进行记忆 ①若 $a=0$ ， $0x=0$ 的解为任意数， $0x=1$ 无解 ②若 $a \ne 0$ ， $3x=0$ 的解只有0， $3x=1$ 有唯一解

注意：上面 $AX=b$ 里强调了 $b \ne 0$ ，如果考试试题里直接给出 $AX=b$ ，需要讨论 $b$ 是否为零。

注：公式汇总主要参考武忠祥编制的线性代数公式

nnn 阶行列式的意义