4._四阶行列式的计算

四阶行列式的计算

根据上三角计算四阶行列式

对于超过3阶以上的行列式，通常需要使用行列式的性质，把他化为上三角进行计算。主要使用的一条性质是： 行列式的某一行 (列) 乘以某个数加到另一行 (列) 上, 行列式的值不变。

例求四阶行列式

D=∣31−10101223472214∣\begin{aligned} &D=\left|\begin{array}{cccc} 3 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 7 \\ 2 & 2 & 1 & 4 \end{array}\right| \end{aligned}

解：这是一个四阶行列式，主要利用行列式的性质，把他化成上三角。

①因为最终化为上三角，所以，我们希望第一行第一列最好都是1，然后用第一行消去第二行，用第一行消去第三行，用第一行消去第四行。为此，第二行和第一行互换，根据行列式性质，互换两行，行列式变号，前面需要添加一个负号。

D=r1↔r2−∣101231−1023472214∣D \xlongequal{r_1 \leftrightarrow r_2}-\left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 7 \\ 2 & 2 & 1 & 4 \end{array}\right|

②现在第一行不变，利用第一行分别消去第二行，第三行和第四行。行列式有一个性质是：一行的k倍加到另一行上去，行列式的值不变，因此 (i)第一行乘以 −3-3 加到第二行 (ii)第一行乘以 −2-2 加到第三行 (iii)第一行乘以 −2-2 加到第四行

D==−3r1+r2−2r1+r3−2r1+r4−∣101201−4−6032302−10∣D=\xlongequal{\substack{-3 r_1+r_2 \\ -2 r_1+r_3 \\ -2 r_1+r_4}}-\left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -4 & -6 \\ 0 & 3 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \end{array}\right|

③ 现在第一列已经变成(k,0,0,0)(k,0,0,0) 上三角形式了， 接下来处理第二列，让第二列由 (0,1,3,2)(0,1,3,2) 变成 (a,b,0,0)(a,b,0,0)形式， 为此，以第二行为基础，消去第三行和第四行。 （i）将第22行乘以 −3-3 加到第三行 （ii）将第22行乘以 −2-2 加到第四行 此时得到的行列式如下：

D=−3r2+r3−2r2+r4−∣101201−4−600142100712∣D\xlongequal{\substack{-3 r_2+r_3 \\ -2 r_2+r_4}}-\left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -4 & -6 \\ 0 & 0 & 14 & 21 \\ 0 & 0 & 7 & 12 \end{array}\right|

注意 在第一列已经处理完毕的情况下，第一列不再主动参与运算。比如第一行乘以一个数加到下面任何一行，都会破坏前面列已经化简的结果，但是从下往上被动是可以的，因为已经处理的列下面是0，0的倍数加上上面，值不变。

④观察上面第三行的数字是1414和第四行的77，虽然1414乘以−12-\frac{1}{2} 加到第四行可以销掉第四行，但是会产生分数，我们尽可能希望使用整数，因此 交换第三行和第四行（注意行列式再次变号），

D=r3↔r4∣101201−4−600712001421∣D\xlongequal{\substack{r_{3 \leftrightarrow r_4} \\ }}\left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -4 & -6 \\ 0 & 0 & 7 & 12 \\ 0 & 0 & 14 & 21 \end{array}\right|

然后用新的第33行乘以 −2-2 加到第四行上去。

D=−2r3+r4−2∣101201−4−600712000−3∣D\xlongequal{\substack{} \\ -2 r_3+r_{4-2} }\left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -4 & -6 \\ 0 & 0 & 7 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{array}\right|

⑤ 此时行列式已经化成上三角，结果是主对角线的值

∣101201−4−600712000−3∣=−21\left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -4 & -6 \\ 0 & 0 & 7 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{array}\right|=-21

对于任意一个四阶行列式，通过上述得变换，化简为上三角或下三角行列式，然后其值为主对角线的乘积。但是在具体算时，需要灵活运动行列的性质。

例计算

D=∣2−3453−23454−3246−4−5∣D=\left|\begin{array}{cccc} 2 & -3 & 4 & 5 \\ 3 & -2 & 3 & 4 \\ 5 & 4 & -3 & 2 \\ 4 & 6 & -4 & -5 \end{array}\right|

解： 因为现 在a11=2a_{11}=2 ，若将 a21,a31a_{21}, a_{31} 化零时会出现分数。 我们要尽可能想办法让行列式中a11=1a_{11}=1，(当然-1也可以) ， 一种方法是第一行提取公因子法，即第一行提取一个公因子22，但是这样后面几个数字也会出现分数。 为此，先将 DD 中第二 行的 −1-1 倍加到第一行上，使新的 a11=−1a_{11}=-1 ．根据新的第 11 行的特点，将 a12,a13,a14a_{12}, a_{13}, a_{14} 化为零更方便，

① 将第2行的-1倍加到第一行上，结果如下。 此时可以按照上一个例题用第一行消去第2,3,4 行，但是我们仔细观察数字，用第一列消去第2,3,4列更方便。总之，在化简过程中要保存两个原则，一是尽可能化为零，二是尽可能化为上三角或下三角，这2个主轴不能变。 根据结果要随时改变解题策略。

=∣−1−1113−23454−3246−4−5∣=\left|\begin{array}{rrrr} -1 & -1 & 1 & 1 \\ 3 & -2 & 3 & 4 \\ 5 & 4 & -3 & 2 \\ 4 & 6 & -4 & -5 \end{array}\right|

② 观察第一行后面3个数字，用第一列，消去第二列，用第一列消去第三列，用第一列消去第四列。 (i)第一列乘以−1-1 倍加到第二列 (ii)第一列乘以11 倍加到第三列 (iii)第一列乘以11 倍加到第四列 得

D=∣−10003−5675−127420−1∣,D=\left|\begin{array}{cccc} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & -5 & 6 & 7 \\ 5 & -1 & 2 & 7 \\ 4 & 2 & 0 & -1 \end{array}\right|,

③根据新行列式特点，拟将 DD 化成下三角形行列式，

图片

④需将 a23,a24,a34a_{23},a_{24}, a_{34} 化为零,因为a44=−1a_{44}=-1 所以 (i)用第四行的7倍加到第二行 (ii)用第四行的7倍加到第三行 得到如下行列式

D=∣−100031960331320420−1∣D=\left|\begin{array}{cccc} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 31 & 9 & 6 & 0 \\ 33 & 13 & 2 & 0 \\ 4 & 2 & 0 & -1 \end{array}\right|

⑤接下来要把a23a_{23} 化为零， (i)用第三行的-3倍加到第二行 化成下三角后，行列式的值为辅对角线的值相乘即可。

=∣−1000−68−3000331320420−1∣=(−1)×(−30)×2×(−1)=−60.=\left|\begin{array}{cccc} -1 & 0 & 0 & 0 \\ -68 & -30 & 0 & 0 \\ 33 & 13 & 2 & 0 \\ 4 & 2 & 0 & -1 \end{array}\right|=(-1) \times(-30) \times 2 \times(-1)=-60 .

根据代数余子式计算行列式

例 计算

D=∣731−526−30311−14−652−9∣D=\left|\begin{array}{cccc} 7 & 3 & 1 & -5 \\ 2 & 6 & -3 & 0 \\ 3 & 11 & -1 & 4 \\ -6 & 5 & 2 & -9 \end{array}\right|

解 这时若消去第一列将出现分数运算．因此我们采用第三列为基准目标行。

(i)第一行乘以3倍，加到第二行 (ii)第一行乘以1倍，加到第三行 (iii)第一行乘以-2倍，加到第四行。

得到

D=∣731−523150−1510140−1−20−101∣D=\left|\begin{array}{cccc} 7 & 3 & 1 & -5 \\ 23 & 15 & 0 & -15 \\ 10 & 14 & 0 & -1 \\ -20 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right|

观察第三列(k,0,0,0)(k,0,0,0)，可以根据代数余子式展开，即

=(−1)1+3∣2315−151014−1−20−11∣=(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{ccc} 23 & 15 & -15 \\ 10 & 14 & -1 \\ -20 & -1 & 1 \end{array}\right|

上面把四阶行列式转换为了三阶行列式。 继续用第二列加上第三列得

D=∣23150101413−20−10∣D=\left|\begin{array}{ccc} 23 & 15 & 0 \\ 10 & 14 & 13 \\ -20 & -1 & 0 \end{array}\right|

仔细观察第三列为(0,k,0)(0,k,0)方式，把三阶化为二阶。

D==(−1)2+3⋅13⋅∣2315−20−1∣D= =(-1)^{2+3} \cdot 13 \cdot\left|\begin{array}{cc} 23 & 15 \\ -20 & -1 \end{array}\right|

最终结果是 =−13(−23+300)=−3601=-13(-23+300)=-3601

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