8._线性相关与线性无关的性质

线性相关与线性无关定义

定义 设 α1,α2,⋯ ,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m 为 nn 维向量，若存在不全为零的数 k1,k2,⋯ ,kmk_1, k_2, \cdots, k_m ，使

k1α1+k2α2+⋯+kmαm=0...(3.13)k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_m \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0} ...(3.13)

则称向量 α1,α2,⋯ ,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m 线性相关．否则称它们线性无关，即仅当 k1=k2=⋯=km=0k_1=k_2=\cdots=k_m=0 时，式（3.13）才能成立，则 α1,α2,⋯ ,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m 线性无关．

如果我们把(3.13)看成方程，就可以得到下面的定理

定理1

mm 个 nn 维向量构成的向量组 α1,α2,⋯ ,αm\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m 线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组k1α1+k2α2+⋯+kmαm=0k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_m \alpha_m=\mathbf{0} 有非零解； 线性无关的充分必要条件是上述齐次线性方程组只有零解 k1=k2=⋯=km=0k_1=k_2=\cdots=k_m=0

记忆口诀： 相关-非零解 和 无关-只有零解

推论1

令 A=(α1,α2,⋯ ,αm)\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m\right) , 其中

α1=(a11a21⋮an1),α2=(a12a22⋮an2),⋯ ,αm=(a1ma2m⋮anm),\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{c} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n 1} \end{array}\right), \quad \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{c} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{n 2} \end{array}\right), \cdots, \quad \boldsymbol{\alpha}_m=\left(\begin{array}{c} a_{1 m} \\ a_{2 m} \\ \vdots \\ a_{n m} \end{array}\right),

则向量 α1,α2,⋯ ,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m 线性相关的充分必要条件是 r(A)<mr(\boldsymbol{A})<m ；向量 α1,α2,⋯ ,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m 线性无关的充分必要条件是 r(A)=mr(\boldsymbol{A})=m

记忆技巧：在线性代数里，字母nn默认代表变量的个数，字母mm 代表方程的个数。

每一个方程就像一根绳子，所以m越小，就代表绳子越少，那么变量x就越灵活。m越大就代表绳子越多，那么对变量x的限制就越多

请看下面方程(n=3,m=2) , 他含有3个未知数，但是却只有2个方程，所以xx 可以取无穷多个数。

{x1+x2+x3=3x1+2x2=3\left\{\begin{array}{c} x_1+x_2+x_3=3 \\ x_1+2x_2=3 \end{array} \right.

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推论2

nn 个 nn 维向量 α1,α2,⋯ ,αn\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n 线性相关的充分必要条件是

∣A∣=0;|\boldsymbol{A}|=0 ;

nn 个 nn 维向量 α1,α2,⋯ ,αn\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n 线性无关的充分必要条件是

∣A∣≠0,|\boldsymbol{A}| \neq 0,

其中 A=(α1,α2,⋯ ,αn)\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right) ，视 α1,α2,⋯ ,αn\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n 为列向量．

记忆技巧：行列式为零是相关， 行列式不为零是不相关

由齐次线性方程组解的判断：当方程的个数小于未知量的个数时，齐次线性方程组必有非零解，因而有：

推论3

若m>nm>n, 则m 个 n 维向量必线性相关。

推理4

特别地， n+1n+1 个 n 维 向量必线性相关

推论4 的通俗解释，假设有3个向量 a1=[1,0,0],a2=[0,1,0],a3=[0,0,1]a_1=[1,0,0],a_2=[0,1,0],a_3=[0,0,1] 这三个向量组成了标准的三维笛卡尔空间，因此是线性无关。 如果再增加一个向量，比如 a4=[1,2,3]a_4=[1,2,3] ，我们知道三维空间里的任意一个三维向量都可以用单位坐标表示，因此a4a_4 一定能用 a1,a2,a3a_1,a_2,a_3 表示，（其实，这里的表示值就是 a4a_4 的坐标值），即 a4=1a1+2a2+3a3a_4=1a_1+2_a2+3_a3

因此，a1,a2,a3,a4a_1,a_2,a_3,a_4 线性相关

定理2

命题3.3 若向量组 α1,α2,⋯ ,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m 中有部分向量线性相关，则该向量组必线性相关．

证明：不失一般性，设 α1,α2,⋯ ,αs(s<m)\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s(s<m) 线性相关，于是存在不全为零的数 k1,k2,⋯ ,ksk_1, k_2, \cdots, k_s ，使得

k1α1+k2α2+⋯+ksαs=0k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_s \boldsymbol{\alpha}_s=\mathbf{0}

从而有不全为零的数 k1,k2,⋯ ,ks,0,⋯ ,0k_1, k_2, \cdots, k_s, 0, \cdots, 0 ，使得

k1α1+k2α2+⋯+ksαs+0αs+1+⋯+0αm=0k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_s \boldsymbol{\alpha}_s+0 \boldsymbol{\alpha}_{s+1}+\cdots+0 \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0}

因此 α1,α2,⋯ ,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m 线性相关． 等价地，命题 3.3 也可叙述为：若向量 α1,α2,⋯ ,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m 线性无关，则其任一部分组的向量都线性无关．

命题3.3可以说成：

部分相关，则整体相关.

整体无关，则部分必无关.

例已知向量组 α1,α2,α3\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 线性无关，向量组 α2,α3,α4\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 线性相关，证明: 向量 α4\alpha_4 可由向量组 α1,α2,α3\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 线性表示. 证明：因为向量组 α1,α2,α3\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 线性无关，于是部分组 α2,α3\alpha_2, \alpha_3 也线性无关. 而向量组 α2,α3,α4\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 线性相关， 于是向量 α4\alpha_4 可由向量组 α2,α3\alpha_2, \alpha_3 线性表示，即存在一组数 k2,k3k_2, k_3 ，使

α4=k2α2+k3α3,\alpha_4=k_2 \alpha_2+k_3 \alpha_3,

从而有

α4=0⋅α1+k2α2+k3α3,\boldsymbol{\alpha}_4=0 \cdot \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+k_3 \boldsymbol{\alpha}_3,

即: 向量 α4\alpha_4 可由向量组 α1,α2,α3\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 线性表示.

定理3

命题3.4 设 α1,α2,⋯ ,αs∈Rn,β1,β2,⋯ ,βs∈Rm\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s \in \mathbb{R}^n, \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s \in \mathbb{R}^m 都为列向量，令 n+mn+m 维列向量

γi=(αiβi),i=1,2,⋯ ,s\boldsymbol{\gamma}_i=\binom{\boldsymbol{\alpha}_i}{\boldsymbol{\beta}_i}, i=1,2, \cdots, s

若 γ1,γ2,⋯ ,γs\boldsymbol{\gamma}_1, \boldsymbol{\gamma}_2, \cdots, \boldsymbol{\gamma}_s 线性相关，则 α1,α2,⋯ ,α\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha} ，也线性相关．

证明：由于 γ1,γ2,⋯ ,γs\gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_s 线性相关，故存在 ss 个不全为零的数 k1,k2,⋯ ,ksk_1, k_2, \cdots, k_s ，使

k1γ1+k2γ2+⋯+ksγs=0k_1 \boldsymbol{\gamma}_1+k_2 \boldsymbol{\gamma}_2+\cdots+k_s \boldsymbol{\gamma}_s=\mathbf{0}

即

k1(α1β1)+k2(α2β2)+⋯+ks(αsβs)=(0102),k_1\binom{\boldsymbol{\alpha}_1}{\boldsymbol{\beta}_1}+k_2\binom{\boldsymbol{\alpha}_2}{\boldsymbol{\beta}_2}+\cdots+k_s\binom{\boldsymbol{\alpha}_s}{\boldsymbol{\beta}_s}=\binom{\mathbf{0}_1}{\mathbf{0}_2},

其中 01\mathbf{0}_1 为 nn 维零向量， 02\mathbf{0}_2 为 mm 维零向量．由分块矩阵的乘法，得

k1α1+k2α2+⋯+ksαs=01,k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_s \boldsymbol{\alpha}_s=\mathbf{0}_1,

即 α1,α2,⋯ ,αs\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s 也线性相关．

常称 α1,α2,⋯ ,αs\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s 为 γ1,γ2,⋯ ,γs\gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_s 的截短向量，或 γ1,γ2,⋯\gamma_1, \gamma_2, \cdots ， γs\gamma_s 是 α1,α2,⋯ ,αs\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s 的接长向量．该命题说明：若接长向量组 γ1,γ2,⋯ ,γs\gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_s 线性相关，则其截短向量组 α1,α2,⋯ ,αs\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s 也线性相关．

等价地，命题 3.4 也可叙述为：若截短向量组 α1,α2,⋯ ,αs\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s线性无关，则其接长向量组 γ1,γ2,⋯ ,γs\gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_s 也线性无关．

命题3.5 设向量组 α1,α2,⋯ ,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m 线性无关，向量组 β1,β2,⋯\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots ， βs\boldsymbol{\beta}_s 可由 α1,α2,⋯ ,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m 线性表示，即 (β1,β2,⋯ ,βs)=(α1,α2,⋯ ,αm)Am×s\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s\right)= \left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m\right) \boldsymbol{A}_{m \times s} ．则 β1,β2,⋯ ,β\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta} 线性相关（线性无关）的充分必要条件为表示矩阵 A\boldsymbol{A} 的秩小于 ss（等于 ss ）即 r(A)<s(r(A)=s)r(\boldsymbol{A})< s(r(\boldsymbol{A})=s) ．

证明：我们先证明 β1,β2,⋯ ,βs\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s 线性相关的充分必要条件为 r(A)<sr(\boldsymbol{A})<s ．

设 β1,β2,⋯ ,βs\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s 线性相关，则齐次线性方程组 (β1,β2,⋯ ,βs)x=0\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s\right) \boldsymbol{x}=\mathbf{0} 有非零解．取它的一个非零解 x0\boldsymbol{x}_0 ，则 (β1,β2,⋯ ,βs)x0=0\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s\right) \boldsymbol{x}_0=\mathbf{0} ，从而

(α1,α2,⋯ ,αm)Am×sx0=0.\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m\right) \boldsymbol{A}_{m \times s} \boldsymbol{x}_0=\mathbf{0} .

由于向量组 α1,α2,⋯ ,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m 线性无关，所以

Am×sx0=0\boldsymbol{A}_{m \times s} \boldsymbol{x}_0=\mathbf{0}

即齐次线性方程组 Ax=0\boldsymbol{A x}=\mathbf{0} 有非零解 x0\boldsymbol{x}_0 ，故 r(A)<sr(\boldsymbol{A})<s ． 反之，若 r(A)<sr(\boldsymbol{A})<s ，则齐次线性方程组 Am×sx=0\boldsymbol{A}_{m \times s} \boldsymbol{x}=\mathbf{0} 有非零解，取它的一个非零解 x0\boldsymbol{x}_0 代人，有 Am×sx0=0\boldsymbol{A}_{m \times s} \boldsymbol{x}_0=\mathbf{0} ．此等式两边左乘 (α1,α2,⋯ ,αm)\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m\right) ，得

(α1,α2,⋯ ,αm)Am×sx0=0\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m\right) \boldsymbol{A}_{m \times s} \boldsymbol{x}_0=\mathbf{0}

从而

(β1,β2,⋯ ,βs)x0=0,\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s\right) \boldsymbol{x}_0=\mathbf{0},

故 β1,β2,⋯ ,βs\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s 线性相关． 对于 β1,β2,⋯ ,βs\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s 线性无关的充分必要条件为 r(A)=sr(\boldsymbol{A})=s的证明只需用反证法，利用上面的证明即可得到．留给读者练习。

例 设向量 α,β,γ\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma} 线性无关，令

ξ=α,η=α+β,ζ=α−β−γ,\xi=\alpha, \quad \eta=\alpha+\beta, \quad \zeta=\alpha-\beta-\gamma,

问向量 ξ,η,ζ\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\zeta} 是否也线性无关？ 解法一：设有一组数 k1,k2,k3k_1, k_2, k_3 使

k1ξ+k2η+k3ζ=0,k_1 \boldsymbol{\xi}+k_2 \boldsymbol{\eta}+k_3 \boldsymbol{\zeta}=\mathbf{0},

即

(k1+k2+k3)α+(k2−k3)β−k3γ=0.\left(k_1+k_2+k_3\right) \boldsymbol{\alpha}+\left(k_2-k_3\right) \boldsymbol{\beta}-k_3 \boldsymbol{\gamma}=\mathbf{0} .

因为 α,β,γ\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma} 线性无关，所以 k1,k2,k3k_1, k_2, k_3 必定满足

{k1+k2+k3=0,k2−k3=0,−k3=0.\left\{\begin{array}{r} k_1+k_2+k_3=0, \\ k_2-k_3=0, \\ -k_3=0 . \end{array}\right.

显然，此方程组只有零解 k1=k2=k3=0k_1=k_2=k_3=0 ．所以向量 ξ,η,ζ\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\zeta} 也线性无关。

解法二：由于 α,β,γ\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma} 线性无关，而 ξ,η,ζ\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\zeta} 可由 α,β,γ\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma} 线性表示，表示系数所组成的矩阵为

A=(11101−100−1).A=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right) .

显然 r(A)=3r(\boldsymbol{A})=3 ，所以 ξ,η,ζ\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\zeta} 线性无关．

记忆技巧

线性相关 = 有“替身” (队伍里有可以被其他人完全替代或组合出来的成员，它是多余的)。

线性无关 = 都是“唯一” (队伍里每个成员都身怀绝技，缺一不可，没人能顶替别人的位置)。

例 讨论下面向量组的相关性

α1=(111),α2=(990),α3=(953),α4=(901);\alpha _1=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \alpha _2=\left(\begin{array}{l} 9 \\ 9 \\ 0 \end{array}\right), \alpha _3=\left(\begin{array}{l} 9 \\ 5 \\ 3 \end{array}\right), \alpha _4=\left(\begin{array}{l} 9 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) ;

解： α1,α2,α3,α4\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4 是 4 个 3 维向量，由定理 3.2 的推论9可知，向量 α1,α2,α3,α4\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4 线性相关；

例讨论下面向量组的相关性

β1=(2014),β2=(1076),β3=(−1052),β4=(30−28). \beta _1=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right), \beta _2=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 7 \\ 6 \end{array}\right), \beta _3=\left(\begin{array}{r} -1 \\ 0 \\ 5 \\ 2 \end{array}\right), \beta _4=\left(\begin{array}{r} 3 \\ 0 \\ -2 \\ 8 \end{array}\right) \text {. }

解：令

B=(β1,β2,β3,β4)=(21−130000175−24628),B =\left( \beta _1, \beta _2, \beta _3, \beta _4\right)=\left(\begin{array}{rrrr} 2 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 7 & 5 & -2 \\ 4 & 6 & 2 & 8 \end{array}\right),

因为 ∣B∣=0| B |=0 ，由上面推论知，方程组有解，因此，向量 β1,β2,β3,β4\beta _1, \beta _2, \beta _3, \beta _4 线性相关．

快速判断一组向量是线性相关与线性无关

给你一组m个n维向量，如何快速判断他们是线性相关还是线性无关？做法是：把这些向量组成一个矩阵A，然后判断行列式

例 判断向量 a1=[0,1,5],a2=[1,2,8],a3=[4,−1,0]a_1=[0,1,5], a_2=[1,2,8],a_3=[4,-1,0] 的相关性。

解：把 向量组成矩阵，A=[01412−1580]A =\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & -1 \\ 5 & 8 & 0\end{array}\right] 对 AA 进行初等行变换化为阶梯形矩阵：

A=[01412−1580]→[12−10140−25]→[12−10140013]A =\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & -1 \\ 5 & 8 & 0 \end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & -2 & 5 \end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 13 \end{array}\right]

可以看出， Ax=0A x = 0 仅有零解，因此 AA 列线性无关． 即 a1,a2,a3a_1,a_2,a_3 线性相关。

例 设有向量组

α=(2,−1,1,3),β=(1,0,4,2),γ=(−4,2,−2,k),\alpha =(2,-1,1,3), \beta =(1,0,4,2), \gamma =(-4,2,-2, k),

讨论 kk 取何值时 α,β,γ\alpha , \beta , \gamma 线性相关？kk 取何值时 α,β,γ\alpha , \beta , \gamma 线性无关？ 解：以 α,β,γ\alpha , \beta , \gamma 为列构造矩阵

A=(αT,βT,γT)=(21−4−10214−232k)→ 初等行变换 (10−201000k+6000), A =\left( \alpha ^{T}, \beta ^{T}, \gamma ^{T}\right)=\left(\begin{array}{rrr} 2 & 1 & -4 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & 4 & -2 \\ 3 & 2 & k \end{array}\right) \xrightarrow{\text { 初等行变换 }}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & k+6 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \text {, }

由上式右端的矩阵可见，当 k=−6k=-6 时，r(A)=2<3,α,β,γr( A )=2<3, \alpha , \beta , \gamma 线性相关；当 k≠−6k \neq-6 时，r(A)=3,α,β,γr( A )=3, \alpha , \beta , \gamma 线性无关．

线性组合与线性相关的关系

定理1 向量 α1,α2,⋯ ,αm(m⩾2)\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m(m \geqslant 2) 线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合．

证明：略

定理1建立了线性相关与线性组合这两个概念之间的联系．从几何上看，三个三维向量 α,β,γ\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma} 线性相关，由定理1可知，则至少有一个向量是另外两个向量的线性组合，譬如 γ=kα+lβ\boldsymbol{\gamma}=k \boldsymbol{\alpha}+l \boldsymbol{\beta} ．如果把它们都看成几何向量，并将它们的起点放在同一个点处，这就表示 γ\boldsymbol{\gamma} 在 α\boldsymbol{\alpha} 与 β\boldsymbol{\beta} 所在的平面上．因而三个三维向量 α,β,γ\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma} 线性相关的几何意义就是它们共面．

定理2 若向量 α1,α2,⋯ ,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m 线性无关，而向量 α1,α2,⋯ ,αm,β\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m, \boldsymbol{\beta}线性相关，则向量 β\boldsymbol{\beta} 可由 α1,α2,⋯ ,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m 线性表示，且表示系数唯一。

证明：略

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