11._随机变量的矩 - 概率论与数理统计

随机变量的矩

数学期望、方差、协方差和相关系数都是随机变量常用的数字特征，实际上它们都是某种矩，下面给出矩的一般定义。

定义设 $X$ 和 $Y$ 是随机变量，若

E\left(X^k\right), \quad k=1,2, \cdots

存在，则称它为 $X$ 的 $k$ 阶原点矩．若

E\left\{[X-E(X)]^k\right\}, \quad k=1,2, \cdots

存在，则称它为 $X$ 的 $k$ 阶中心矩．若

E\left(X^k Y^l\right), \quad k, l=1,2, \cdots

存在，则称它为 $X$ 和 $Y$ 的 $k+l$ 阶混合矩．若

E\left\{[X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l\right\}, \quad k, l=1,2, \cdots

存在，则称它为 $X$ 和 $Y$ 的 $k+l$ 阶混合中心矩．由该定义可知，随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)$ 是 $X$ 的一阶原点矩，方差 $D(X)$ 是 $X$ 的二阶中心矩，协方差 $\operatorname{cov}(X, Y)$ 是 $X$ 与 $Y$ 的 $1+1$ 阶混合中心矩．

关于对矩的理解，请点击此处