5._非线性回归的线性化处理

非线性回归的线性化处理

前面讨论了线性回归问题，对线性情形有了一整套的理论与方法. 但在实际中常会遇见回归函数并非是自变量的线性函数，如果通过变量代换法可以将其转化为线性函数，从而可以利用一元线性回归方法对其分析，这是处理非线性回归问题的一种常用方法。下面通过一个例子说明非线性回归的分析步骤。

例设 $y=\beta_0+\frac{\beta_1}{x}+\varepsilon, \varepsilon \sim N\left(0, \sigma^2\right)$, 其中 $\beta_0 、 \beta_1 、 \sigma^2$ 是与 $x$ 无关的未知参数. 解 令 $x^{\prime}=\frac{1}{x}$, 则可化为下列一元线性回归模型:

例设 $y=\alpha e ^{\beta x} \cdot \varepsilon, \ln \varepsilon \sim N\left(0, \sigma^2\right)$, 其中 $\alpha>0, \beta>0, \sigma^2$ 是与 $x$ 无关的未知参数。

解 在 $y=\alpha e ^{\beta x} \cdot \varepsilon$ 两边取对数得

令 $y^{\prime}=\ln y, a=\ln \alpha, b=\beta, x^{\prime}=x, \varepsilon^{\prime}=\ln \varepsilon$, 则可转化为下列一元线性回归模型:

例设 $y=\alpha+\beta h(x)+\varepsilon, \varepsilon \sim N\left(0, \sigma^2\right)$, 其中 $\alpha 、 \beta 、 \sigma^2$ 是与 $x$ 无关的未知参数. $h(x)$ 是 $x$ 的已知函数.

解 令 $y^{\prime}=y, a=\alpha, b=\beta, x^{\prime}=h(x)$, 则可转化为

例设 $h(y)=a+b x^{\prime}+\varepsilon, \varepsilon \sim N\left(0, \sigma^2\right)$, 其中 $h$ 为已知函数, 且设 $h(y)$ 存在单值的反函数， $a 、 b 、 \sigma^2$ 为与 $x$ 无关的未知参数。

解 令 $z=h(y)$, 得

在求得 $z$ 的回归方程和预测区间后，再按 $z=h(y)$ 的逆变换，变回原变量 $y$ 。分别称它们为关于 $y$ 的回归方程和预测区间。此时 $y$ 的回归方程的图形是曲线，故又称为曲线回归方程.