16._和的分布 - 概率论与数理统计

和的分布

设 $X$ 和 $Y$ 的联合密度为 $f(x, y)$ ，求 $Z=X+Y$ 的密度。由定义可得 $Z=X+Y$ 的分布函数为

F_Z(z)=P(Z \leqslant z)=\iint_{x+y \leqslant z} f(x, y) d x d y,

其中积分区域 $G_z=\{(x, y) \mid x+y \leqslant z\}$ 是直线 $x+y=z$ 左下方的半平面，化成累次积分得

F_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{z-y} f(x, y) d x\right] d y .

固定 $z$ 和 $y$ ，对积分 $\int_{-\infty}^{z-y} f(x, y) d x$ 做变量变换，令 $x=u-y$ ，得

\int_{-\infty}^{z-y} f(x, y) d x=\int_{-\infty}^z f(u-y, y) d u .

于是

F_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^z f(u-y, y) d u\right] d y=\int_{-\infty}^z\left[\int_{-\infty}^{+\infty} f(u-y, y) d y\right] d u .

由概率密度的定义, 即得 $Z$ 的概率密度为

f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(z-y, y) d y

由 $X$ 和 $Y$ 的对称性, $f_Z(z)$ 又可写成

f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, z-x) d x .

由此得到了两个随机变量的和的概率密度的一般公式。特别地, 当 $X$ 和 $Y$ 相互独立时, 设 $(X, Y)$ 关于 $X 、 Y$ 的边缘概率密度分别为 $f_X(x)$ 、 $f_Y(y)$ , 则有

\boxed{ \begin{aligned} f_Z(z) & =\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(z-y) f_Y(y) d y ; \\ f_Z(z) & =\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) f_Y(z-x) d x . \end{aligned} }

这两个公式称为卷积（Convolution）公式，记为 $f_X * f_Y(y)$ ，即

\left.f_X * f_Y=\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(z-y) f_Y(y) d y=\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) f_Y(z-x) d x . \quad \text { (连续卷积公式 }\right)

同理, 若 $X$ 和 $Y$ 是两个相互独立的随机变量, 它们都取非负整数值, 其概率分布分别为 $\left\{a_r\right\} 、\left\{b_r\right\}$ , 下面计算 $Z=X+Y$ 的概率分布。因为

P(Z=k)=P(X=0, Y=k)+P(X=1, Y=k-1)+\cdots+P(X=k-1, Y=1)+P(X=k, Y=0)

利用独立性的性质可得

c_k=a_0 b_k+a_1 b_{k-1}+a_2 b_{k-2}+\cdots+a_k b_0 \text {, 其中 } c_k=P(Z=k), \quad k=0,1,2, \cdots \text {. (离散卷积公式) }

例 设 $X$ 和 $Y$ 是两个相互独立的随机变量. 它们都服从 $N(0,1)$ 分布, 其概率密度为

\begin{aligned} & f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}, \quad-\infty<x<+\infty \\ & f_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{y^2}{2}}, \quad-\infty<y<+\infty \end{aligned}

求 $Z=X+Y$ 的概率密度.

解由卷积公式得

\begin{aligned} f_Z(z) & =\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) f_Y(z-x) d x=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot e^{-\frac{(z-x)^2}{2}} d x \\ & =\frac{1}{2 \pi} e^{-\frac{z^2}{4}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\left(x-\frac{z}{2}\right)^2} d x \xlongequal{t=x-\frac{z}{2}} \frac{1}{2 \pi} e^{-\frac{z^2}{4}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2} d t \\ & =\frac{1}{2 \pi} e^{-\frac{z^2}{4}} \sqrt{\pi}=\frac{1}{2 \sqrt{\pi}} e^{-\frac{z^2}{4}}, \quad \text { 即 } Z \sim N(0,2) . \end{aligned}

例 已知某商品一周的需求量是一个随机变量，其密度函数为

f(x)= \begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}, & x>0 \\ 0, & x \leqslant 0\end{cases}

设各周的需求量是相互独立的，试求两周需求量的密度函数。解记两周的需求量为 $Z$ ，第一，二周的需求量分别为 $X, Y$ 。则 $X, Y$ 相互独立且同分布， $Z=X+Y$ ，从而有

\begin{aligned} f_Z(z) & =\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) f(z-x) d x=\left\{\begin{array}{ll} \int_0^z \lambda e^{-\lambda x} \cdot \lambda e^{-\lambda(z-x)} d x, & z>0 \\ 0, & z \leqslant 0, \\ & = \begin{cases}\lambda^2 z e^{-\lambda z}, & z>0, \\ 0, & z \leqslant 0 .\end{cases} \end{array} . \begin{array}{l} \end{array}\right. \end{aligned}

定理

设 $X 、 Y$ 相互独立，且 $X \sim N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right), Y \sim N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right)$ 则 $Z=X+Y$ 仍然服从正态分布，且 $Z \sim N\left(\mu_1+\mu_2, \sigma_1^2+\sigma_2^2\right)$ .

例设 $X$ 和 $Y$ 是两个相互独立的随机变量, 其概率密度分别为

f_X(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1, & 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ 0, & \text { 其他 } \end{array}, \quad f_Y(y)= \begin{cases}e^{-y}, & y>0 \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}\right.

求随机变量 $Z=X+Y$ 的概率密度。解因为 $X 、 Y$ 相互独立，所以由卷积公式知

f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) f_Y(z-x) d x .

由题设可知 $f_X(x) f_Y(y)$ 只有当 $0 \leqslant x \leqslant 1$ 且 $y>0$ , 即当 $0 \leqslant x \leqslant 1$ 且 $z-x>0$ 时才不等于零.现在所求的积分变量为 $x, z$ 是参数, 当积分变量满足 $x$ 的不等式组 $0 \leqslant x \leqslant 1, z>x$ 时, 被积函数 $f_X(x) f_Y(z-x) \neq 0$ . 下面针对参数 $z$ 的不同取值范围来计算积分.

当 $z<0$ 时, 上述不等式组无解, 故 $f_X(x) f_Y(z-x)=0$ ; 当 $0 \leqslant z \leqslant 1$ 时, 不等式组的解为 $0 \leqslant x \leqslant z$ ; 当 $z>1$ 时, 不等式组的解为 $0 \leqslant x \leqslant 1$ . 所以

f_Z(z)=\left\{\begin{array}{ll} \int_0^z e^{-(z-x)} d x=1-e^{-z}, & 0 \leqslant z \leqslant 1 \\ \int_0^1 e^{-(z-x)} d x=e^{-z}(e-1), & z>1 \\ 0, & \text { 其他 } \end{array} .\right.