6._二维连续型随机变量及其联合密度函数

本文基础定义已经整合到 联合分布函数里，详见 此处

二维连续型随机变量及其联合密度函数

设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布函数为 $F(x, y)$ ，如果存在二元非负实值函 数 $f(x, y)$ ，使得对任意的 $(x, y) \in R^2$ 有

则称 $(X, Y)$ 为二维连续型随机变量，称 $f(x, y)$ 为二维连续型随机变量 $(X, Y)$ 的联合 (概率) 密度函数.

定义n维随机变量与联合密度

设 $n$ 维随机变量 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 的联合分布函数为 $F\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ ，如果存在一个 $n$ 元非负 函数 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ ，使得对任意的 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \in R^n$ 有

成立，则称 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为 $n$ 维连续型随机变量， $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 为 $n$ 维连续型随机变量 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 的联合 (概率) 密度函数。

联合密度函数的性质

设 $f(x, y)$ 为二维连续型随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度函数，则 （1） 非负性 $f(x, y) \geq 0,-\infty<x, y<+\infty$; （2）规范性 $\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=1$.

（3）任意一条平面曲线 $L$ ，有 $P((X, Y) \in L)=0$ ； （4）$F(x, y)$ 为连续函数，在 $f(x, y)$ 的连续点处有

（5）对 $xoy$ 平面上任意一区域 $D$ ，有

联合分布的几何解释

我们容易给出分布函数的几何解释：如果把二维随机变量 $(X, Y)$ 看成是平面上随机点的坐标，那么分布函数 $F(x, y)$ 在 $(x, y)$ 处的函数值就是随机点 $(X, Y)$ 落在直线 $X=x$ 的左侧和直线 $Y=y$ 的下方的无穷矩形域内的概率，如下图3-1所示．

对于联合分布，用通俗语言理解是，例如用$X$表示学生的身高，用$Y$表示学生的体重，那么联合分布 $F(170,60)=P(X \leqslant 170, Y \leqslant 60)$ 表示的是：身高低于170cm，体重低于60kg的学生的分布。这句话还可以正面解释为求：身高在$(-\infty,170)$ 与 体重在 $(-\infty,60)$ 的学生的分布。

因此，给出一个点$(X,Y)$，求他的联合分布，其实表示的该点“左边下边”所围成的面积（参考图3-1阴影部分面积）。

根据以上的几何解释，借助于图3-2，我们可以计算出随机点 $(X, Y)$ 落在矩形域 $\left\{(x, y) \mid x_1<x \leqslant x_2, y_1<y \leqslant y_2\right\}$ 内的概率为

对于图3-2，也可以用学生身高体重解释。用$X$表示学生的身高，用$Y$表示学生的体重，那么联合分布 $P\left\{ 160<X \leqslant 170, 50<Y \leqslant 60\right\}=F\left(170, 60\right)-F\left(170, 50\right)-F\left( 160, 60\right)+F\left( 160, 50\right)$ 等式左边表示的是求学生身高在$160 \sim 170$ 和 体重在$50 \sim 60$ 之间的人数，他等于身高体重在 $(170,60)$以下的人数减去 身高$170$以下的人数，再减去体重$60$以下的人数，注意此时对$(160,50)$以下的人数减了两次，所以还要再补上一次，因此最后加上$(160,50)$

看懂联合密度的密度图

我们在一维平面里说过，概率密度$(a,b)$曲线下的面积是事件发生在$(a,b)$间的频率，详见此处, 那么如何理解二维概率密度呢？

首先，我们要明白，二维概率事件是由3个参数决定：比如射靶，我们说“射在(1,2)的概率为0.01”，那么这里就有$X=1,Y=2,Z=0.01$三个参数 因此，如果把密度函数画在坐标系里，他需要是三维空间，如下图： {width=400px}

这个图形很像农民带的草帽，我们通常称呼这个图形为“草帽”图形。因为密度函数必须大于等于零，所以这个草帽可以认为为平底的，又因为所有射靶所有的概率最多为1，因此，这个概率的体积最大只能为1.

理解二维密度函数图像 如果我们从俯视图的视角从下看这个草帽，可以发现他的定义域D就是一个二维平面。 {width=400px}

想想一下我们用一把刀沿着$X,Y$ 切开草帽，因为分布函数的定义为 $F(x, y)=P(X \leqslant x, Y \leqslant y)=\int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} p(x, y) d x d y$ ,所以，我们取的西瓜就是左边下边的那一部分。

如果把二维随机变量 $(X, Y)$ 视为平面上随机点的坐标, 那么, 分布函数 $F(x, y)$在点 $(x, y)$ 处的函数值就是随机点 $(X, Y)$ 落在直线 $X=x$ 的左侧和直线 $Y=y$ 的下方以 $(x, y)$ 为顶点的无穷直角区域内的概率, 如图所示.

例题

例 设二维连续型随机变量 $\left(X_1, X_2\right)$ 与 $\left(Y_1, Y_2\right)$ 的联合密度分别为 $p(x, y)$ 和 $g(x, y)$ ，令 $f(x, y)=a p(x, y)+b g(x, y)$ 。要使函数 $f(x, y)$ 是某个二维随机变量的联合密度，则 $a, b$ 应满足 （A）$a+b=1$ （B）$a>0, \quad b>0$ （C） $0 \leqslant a \leqslant 1, \quad 0 \leqslant b \leqslant 1$ （D）$a \geqslant 0, b \geqslant 0$ ，且 $a+b=1$ 解 $f(x, y)$ 为密度函数 $\Leftrightarrow f(x, y) \geqslant 0$ 且 $\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d x d y=1$ ， 由此可推得， $1=a+b$ ，且 $a p(x, y)+b g(x, y) \geqslant 0 \quad(\forall x, y \in R )$ ． 所以选择（D）． 对于 $a \geqslant 0, b \geqslant 0$ ，由 $p(x, y) \geqslant 0, g(x, y) \geqslant 0$ 得

如果 $a<0$（或 $b<0$ ），则对一切 $x, y$ 有

此式未必成立。 故应选（D）

例 设二维随机变量 $(X, Y)$ 具有概率密度

(1) 求分布函数 $F(x, y)$; (2) 求概率 $P(Y \leqslant X)$.

解 (1) $F(x, y)=\int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^y f(s, t) d s d t=\left\{\begin{array}{ll}\int_0^x \int_0^y 2 e ^{-(2 s+t)} d s d t, & x>0, y>0 \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$,即有

(2) 将 $(X, Y)$ 视为平面上随机点的坐标，即有 $(Y \leqslant X)=\{(Y \leqslant X) \in G\}$ ，其中 $G$ 为 $x O y$ 平面上直线 $y=x$ 及其下方的部分，于是

例 设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度函数为

求 （1）常数 $c$ （2） 联合分布函数 $F(x, y)$ （3）$P(|X| \leq Y)$

解：（1） 由密度函数性质 $1=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d x d y=\int_0^1 d y \int_0^{2 y} c y^2 d x=\frac{1}{2} c \quad$ 所以 $c=2$

（2）由已知得 当 $x<0$ 或 $y<0$ 时， $F(x, y)=0$

(3)如右图所示

对于连续性的计算涉及大量二重积分，不熟悉的可以看本站高等数学教程。