3._联合分布函数

引入

例① 联合分布是指一个事件受到多个因素控制，比如判断一个孩子的健康需要考虑：身高和体重两个维度，我们就说“身高”和“体重”这两个参数联合起来共同决定了孩子的健康程度，后面还会有一个边缘分布，他只有一个参数决定。

例② 射靶，如果以靶心为原点建立直角坐标系，那么靶点落的位置则是有$(X,Y)$共同决定。 上面这两个引例都告诉我们，现实世界很多事情是由多个参数来决定，因此，引入多维联合分布。

二维联合分布

定义1 如果 $X=X(\omega), Y=Y(\omega)$ 是定义在同一个样本空间 $\Omega=\{\omega\}$ 上的两个随机变量，则称 $(X(\omega), Y(\omega))=(X, Y)$ 为定义在 $\Omega$ 上的二维随机变量。

定义2 设 $(X, Y)$ 是二维随机变量, 对任意实数 $x 、 y$, 二元函数

称为二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布函数或随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合分布函数.

离散型联合分布函数求法

例袋中有一个红色球，两个黑色球，三个白球，现有放回的从袋中取两次，每次取一球，以 $X, Y, Z$ 分别表示两次取球的红，黑，白球的个数． （1）求 $P\{X=1 \mid Z=0\}$ ； （2）求二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布．

解（1）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用样本空间的缩减法，相当于只有 1 个红球， 2 个黑球有放回摸两次，其中摸一个红球的概率，所以

（2）$X, Y$ 取值范围为 $0,1,2$ ，故

最后列表可得

连续型联合分布的数学定义

联合分布用数学语言可以表示为：

对于二维随机变量 $\xi =(X, Y)$, 如果存在非负函数 $p(x, y)(-\infty<x<\infty,-\infty<y<\infty)$, 使对任意 $a<b, c<d$ 及 $D=\{(x, y): a<x<b, c<y<d\}$ 有

则称随机变量 $\xi=(X, Y)$ 为连续型的, 并称 $p(x, y)$ 为 $\xi$ 的分布密度, 也称 $p(x, y)$ 为 $(X, Y)$ 的联合分布密度 (简称联合密度)。

续型随机变量属于更一般的平面子集 $D$ 的概率为

联合分布的几何解释

我们容易给出分布函数的几何解释：如果把二维随机变量 $(X, Y)$ 看成是平面上随机点的坐标，那么分布函数 $F(x, y)$ 在 $(x, y)$ 处的函数值就是随机点 $(X, Y)$ 落在直线 $X=x$ 的左侧和直线 $Y=y$ 的下方的无穷矩形域内的概率，如下图3-1所示．

对于联合分布，用通俗语言理解是，例如用$X$表示学生的身高，用$Y$表示学生的体重，那么联合分布 $F(170,60)=P(X \leqslant 170, Y \leqslant 60)$ 表示的是：身高低于170cm，体重低于60kg的学生的分布。这句话还可以正面解释为求：身高在$(-\infty,170)$ 与 体重在 $(-\infty,60)$ 的学生的分布。

因此，给出一个点$(X,Y)$，求他的联合分布，其实表示的该点“左边下边”所围成的面积（参考图3-1阴影部分面积）。

根据以上的几何解释，借助于图3-2，我们可以计算出随机点 $(X, Y)$ 落在矩形域 $\left\{(x, y) \mid x_1<x \leqslant x_2, y_1<y \leqslant y_2\right\}$ 内的概率为

对于图3-2，也可以用学生身高体重解释。用$X$表示学生的身高，用$Y$表示学生的体重，那么联合分布 $P\left\{ 160<X \leqslant 170, 50<Y \leqslant 60\right\}=F\left(170, 60\right)-F\left(170, 50\right)-F\left( 160, 60\right)+F\left( 160, 50\right)$ 等式左边表示的是求学生身高在$160 \sim 170$ 和 体重在$50 \sim 60$ 之间的人数，他等于身高体重在 $(170,60)$以下的人数减去 身高$170$以下的人数，再减去体重$60$以下的人数，注意此时对$(160,50)$以下的人数减了两次，所以还要再补上一次，因此最后加上$(160,50)$

看懂联合密度的密度图

我们在一维平面里说过，概率密度$(a,b)$曲线下的面积是事件发生在$(a,b)$间的频率，详见此处, 那么如何理解二维概率密度呢？

首先，我们要明白，二维概率事件是由3个参数决定：比如射靶，我们说“射在(1,2)的概率为0.01”，那么这里就有$X=1,Y=2,Z=0.01$三个参数 因此，如果把密度函数画在坐标系里，他需要是三维空间，如下图： {width=400px}

这个图形很像农民带的草帽，我们通常称呼这个图形为“草帽”图形。因为密度函数必须大于等于零，所以这个草帽可以认为为平底的，又因为所有射靶所有的概率最多为1，因此，这个概率的体积最大只能为1.

理解二维密度函数图像 如果我们从俯视图的视角从下看这个草帽，可以发现他的定义域D就是一个二维平面。 {width=400px}

想想一下我们用一把刀沿着$X,Y$ 切开草帽，因为分布函数的定义为 $F(x, y)=P(X \leqslant x, Y \leqslant y)=\int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} p(x, y) d x d y$ ,所以，我们取的西瓜就是左边下边的那一部分。

如果把二维随机变量 $(X, Y)$ 视为平面上随机点的坐标, 那么, 分布函数 $F(x, y)$在点 $(x, y)$ 处的函数值就是随机点 $(X, Y)$ 落在直线 $X=x$ 的左侧和直线 $Y=y$ 的下方以 $(x, y)$ 为顶点的无穷直角区域内的概率, 如图所示.

联合分布函数得性质

性质1： $0 \leq F(x, y) \leq 1$ 这个性质很好理解，分布函数反映到是概率，概率总是大于等于0小于等于1.

单调性2: $F(x, y)$ 关于 $x$ 和 $y$ 均为单调非减函数, 即 对任意固定的 $y$ ，当 $x_2>x_1$ 时， $F\left(x_2, y\right) \geqslant F\left(x_1, y\right)$ ； 对任意固定的 $x$, 当 $y_2>y_1$ 时, $F\left(x, y_2\right) \geqslant F\left(x, y_1\right)$.

有界性3：对任意实数 $x 、 y$ ，有 $0 \leqslant F(x, y) \leqslant 1$ ，且 对任意固定的 $y$ ，有 $F(-\infty, y)=0$ ， 对任意固定的 $x$, 有 $F(x,-\infty)=0$, $F(-\infty,-\infty)=0, \quad F(+\infty,+\infty)=1$.

右连续性4 $F(x, y)$ 关于 $x$ 和 $y$ 均为右连续, 即

非负性5 对于任意 $x_1<x_2 、 y_1<y_2$ ，下述不等式成立：

注意：对任意的 $x_1<x_2, y_1<y_2$ ，有矩形公式

参考下图

例题

例 (离散型)下图 所示的二维离散型随机向量 $X=\left(X_1, X_2\right)$ 的概率分布为

{width=300px} 解：

从图上看出, $X_1$ 的可能值为 $2$ 和 $5, X_2$ 的可能值为 $1,2.5$ 和 $3$ . 故形式上看， $X=\left(X_1, X_2\right)$ 应有 $6$组可能值，即 $(2,1),(2,2.5),(2,3),(5,1),(5,2.5),(5,3)$

$X$的概率分布告诉我们, 实际上只有第 $1,2,6$ 组是真正的可能值, 但这并无关系：对一组不可能的值，只要把它的概率定为 0 就行了.

例(连续型)设二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布函数为

(1) 试求 $X, Y$ 联合分布函数. (2) 试求 $P\left(0 \leq X \leq \frac{\pi}{4} \leq Y \leq \frac{\pi}{2}\right)$.

解（1）根据限制域的特点，我们很显然要做分类讨论。 以下设待求函数为 $F(u, v)$. 但是，这是完全没有必要一个一个情况代的。因为只需要在图上标出积分域, 就自然而然清楚需要怎么积分了。 (a) $u, v$ 中有一个小于 0 (包括均小于 0$)$. 很明显, 只要有这种情况存在, 积分域内就没有非 0 的情况. (b) $u, v$ 均介于 $0, \frac{\pi}{2}$ 之间. 那么 $F(u, v)=\int_0^u \int_0^v \cos x \cos y d x d y=\sin u \sin v$. (c) $u, v$ 中有一个大于 $\frac{\pi}{2}$, 另一个介于 $0, \frac{\pi}{2}$ 之间. 那么 $F(u, v)=\int_0^1 \int_0^v \cos x \cos y d x d y=$ $\sin v$ 或同理, $\sin u$. (d) $u, v$ 均大于 $\frac{\pi}{2}$. 显然 $F(u, v)=1$.

综上, $F(x, y)=\left\{\begin{array}{l}0, x \leq 0 \text { or } y \leq 0 \\ \sin x \sin y, 0<x, y<\frac{\pi}{2} \\ \sin x, 0<x<\frac{\pi}{2}, y \geq \frac{\pi}{2} . \text {.(2) 只需套公式即可. } \\ \sin y, x \geq \frac{\pi}{2}, 0<y<\frac{\pi}{2} \\ 1, x, y \geq \frac{\pi}{2}\end{array}\right.$

分布函数和密度函数的转化

已知分布函数求密度函数 例 设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布函数为

则二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度 $\varphi(x, y)$ 为 $\qquad$ ． 解 可以验证这是二维连续型随机变量的分布函数，由公式：

有

故 $\varphi(x, y)= \begin{cases}3^{-x-y}(\ln 3)^2, & x \geqslant 0, y \geqslant 0 \\ 0, & \text { 其他．}\end{cases}$

已知密度函数求分布函数 例 设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为

则 $P\{X+Y \leqslant 1\}$ 是多少

解 由题意作图 所示