5._切比雪夫不等式 - 概率论与数理统计

切比雪夫不等式

设随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)$ 及方差 $D(X)$ 存在，则对于任意的 $\varepsilon>0$ ，有

\boxed { P(|X-E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^2} }

这就是切比雪夫不等式。

切比雪夫不等式的通俗解释

引例1

扔一个硬币求正面的概率。容易知道，他的概率是0.5，但是在实验时，有可能 ①扔100次，正面的次数是48 ②扔1000次，正面的次数490 ③扔10000次，正面的次数为4800 ④扔100000次，正面的次数为50001 可以发现，随着重复的次数越来越多，其正面的几率越来越接近期望值0.5。我们把这种重复次数很多的数叫做“大数”

引例2

方差表示的数据离数学期望上下浮动的参数，例如张三和李四的立定跳远都是3m，张三的方差为 $0.005^2$ ，李四的方差为 $0.008^2$ ，可以看到，张三的成绩更稳定。因为方差本质反映数据的波动性。

定义

有了上面两个引例，就容易理解切比雪夫不等式了。切比雪夫不等式的意思是：

“随机变量 $X$ 减去他的期望 $EX$ 得绝对值”大于 $\varepsilon$ 的概率小于方差除以 $\varepsilon^2$

我们把切比雪夫不等式拆开看。（1）在中学就学过， $|x-a|$ 的绝对值表示 $x$ 离开a的距离，因为有左右两个，所以加了绝对值。同样 $|X-EX|$ 表示，样本值和他的期望值距离。上面，张三跳远的平均值为3m，可能第一次跳 2.9米，第二次跳3.1米，不管是2.9米还是3.1米，样本值减去期望值后，误差都是0.1米（有绝对值，就不用考虑误差的正负了）。

（2）把 $|X-EX|$ 当成一个整体考虑，那 $|X-EX|$ 就表示每次跳远时，实际值和期望值的误差距离。比如上面张三第一次跳远的误差是0.1，第二次跳远误差是0.1，第三次跳远0.2，第四次跳远误差0.05，第五次跳远误差0.01等。可以看到，不管怎么跳，实际值总是在期望值左右来回摆动。（3）在 $P(|X-EX|) >\varepsilon$ 里, 微积分里已经学过 $\varepsilon$ 表示一个无穷小量，比如取 $\varepsilon=0.1$ ，则 $P(|X-EX|>0.1)$ 表示张三跳远时，误差范围超过0.1的概率，也就是下图阴影部分的值 $图片$

（4）切比雪夫不等式告诉我们，张三跳远时，误差范围超过0.1的概率小于 $\dfrac{D(x)}{\varepsilon^2} = \dfrac{1}{0.1^2}= \dfrac{0.005^2}{0.1^2}=0.25\%$

假设取 $\varepsilon=0.2$ ,可以计算张三跳远时，误差范围超过0.2的概率小于 $\dfrac{D(x)}{\varepsilon^2} = \dfrac{1}{0.1^2}= \dfrac{0.005^2}{0.2^2}=0.062\%$

可以看到， $\varepsilon$ 取的越大，他的概率越小。这也很好理解，想象一下，张三跳远平均值是3米，取误差 $\varepsilon=5$ ，然后可以说，张三跳远误差超过5米的概率为0，这是没问题的。

我们说过切比雪夫不等式左边求的是上图阴影部分的概率，这就像射箭，靶心是数学期望， $\varepsilon$ 相当于误差的半径，当允许的 $\varepsilon$ 误差半径越大，则落在外面的概率越低。

切比雪夫还有一个等价公式(反向说法)即：

\boxed{ P\{|X-EX|<\varepsilon\} \geqslant 1-\frac{DX^2}{\varepsilon^2} }

例如取 $\varepsilon=0.0001$ (趋近于零)，则 $1-\frac{DX^2}{\varepsilon^2}$ 就趋近于1( $\varepsilon$ 在分母上). 然后我们可以说，张三跳远平均值为3，每次跳远误差超过0.0001的概率为100%，即张三每次跳远误差一定超过0.0001m

证明

仅给出 $X$ 为连续型随机变量的证明。

\begin{aligned} & P(|X-E(X)| \geq \varepsilon)=\int_{|x-\varepsilon(x)| \geq \varepsilon} f(x) d x \leq \int_{|x-E(x)| \sum \varepsilon} \frac{|X-E(X)|^2}{\varepsilon^2} f(x) d x \\ & \leq \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{|X-E(X)|^2}{\varepsilon^2} f(x) d x=\frac{D(X)}{\varepsilon^2} \end{aligned}

切比雪夫不等式作用

如果记数学期望 $EX=\mu$ , 方差 $DX^2=\sigma^2$ , 利用切比雪夫不等式可以在未知随机变量 $X$ 分布的情况下，估计 $P\{|X-\mu| \geqslant \varepsilon\}$ 或 $P\{|X-\mu|<\varepsilon\}$ 。例如，

P\{|X-\mu|<3 \sigma\} \geqslant 1-\frac{\sigma^2}{9 \sigma^2} \approx 0.8889

P\{|X-\mu|<4 \sigma\} \geqslant 1-\frac{\sigma^2}{16 \sigma^2}=0.9375 .

由切比雪夫不等式可知当 $\sigma^2$ 越小时， $P\{|X-\mu|<\varepsilon\}$ 就越大，表明随机变量 $X$ 的取值集中在 $\mu$ 的附近，进一步体现了 $\sigma^2$ 的意义．特别地，当 $\sigma^2=0$ 时，有下列推论：

推论在切比雪夫不等式中，如果 $\sigma^2=0$ ，则 $P\{X=E X\}=1$ ．证如果 $\sigma^2=0$ ，则由切比雪夫不等式知，对任意的 $\varepsilon>0$ ，有 $P\{|X-\mu|<\varepsilon\} \geqslant 1$ ，从而 $P\{|X-\mu|<\varepsilon\}=1$ ．考虑到 $\varepsilon$ 的任意性，得 $P\{X=\mu\}=1$ ，即 $P\{X=E X\}=1$ ．

例题

例设 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 计算 $P(|X-\mu| \geq 3 \sigma)$ 。解: 因为 $\frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$ ，所以

\begin{aligned} & P(|X-\mu| \geq 3 \sigma)=P\left(\left|\frac{X-\mu}{\sigma}\right| \geq 3\right) \\ & P\left(\left|\frac{X-\mu}{\sigma}\right| \geq 3\right)=2-2 \Phi(3)=0.003 \end{aligned}

例设 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 用切比雪夫不等式估计概率 $P(|X-\mu| \geq 3 \sigma)$ 。解因为 $\varepsilon=3 \sigma$ ，由切比雪夫不等式得

\begin{aligned} & P(|X-E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^2} \\ & P(|X-\mu| \geq 3 \sigma) \leq \frac{D(X)}{(3 \sigma)^2}=\frac{1}{9} \end{aligned}

点评此类题型的求解方法比较单一，在随机变量 $X$ 的期望 $E X$ 和方差 $D X$ 已知的情况下，直接应用切比雪夫不等式即可；若 $E X$ 和 $D X$ 未知，当根据题意并结合数学期望和方差的性质计算出 $E X$ 和 $D X$ ，然后再套用切比雪夫不等式．

例设随机变量 $X$ 的方差 $D(X)=0$ ，求证， $X$ 服从参数为 $c$ 的退化分布。证明利用切比雪夫不等式得，对任意的 $\varepsilon>0$ ，有

0 \leq P(|X-E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^2}=0

由 $\varepsilon$ 的任意性知

P(X=E(X))=1

例设随机变量 $X$ 的标准化随机变量为 $X^*=\frac{X-E X}{\sqrt{D X}}$ ，试根据切比雪夫不等式估计概率 $P\left\{\left|X^*\right| \leq 2\right\}$ 。解

\begin{aligned} & \quad P\left\{\left|X^*\right|<2\right\}=P\left\{\left|\frac{X-E X}{\sqrt{D X}}\right|<2\right\}=P\{|X-E X|<2 \sqrt{D X}\} \geqslant 1- \\ & \frac{D X}{(2 \sqrt{D X})^2}=\frac{3}{4} \text {. } \end{aligned}

例已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是 7300 ，均方差是 700 ，利用切比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在 $5200 \sim 9400$ 之间的概率 $p$ 。

解假设正常男性成人血液中每毫升白细胞数为 $X$ ，依题设 $E(X)=7300, D(X)=700^2$ ，于是

P\{5200<X<9400\}=P\{|X-7300|<2100\} \geqslant 1-\frac{700^2}{2100^2}=\frac{8}{9},

即每毫升含白细胞数在 $5200 \sim 9400$ 之间的概率不低于 $\frac{8}{9}$ ．

例设电站供电网有 10000 个电灯，夜晚时每个电灯开灯的概率均为 0.7 ，假定所有电灯的开或关是相互独立的，试用切比雪夫不等式估计夜晚同时开着的电灯在 $6800 \sim 7200$ 个的概率．（解）令 $X$ 表示在夜晚同时开着的电灯数，则 $X$ 服从 $n=10000, p=0.7$ 的二项分布，这时 $E(X)=n p=7000, D(X)=n p q=2100$ ，由切比雪夫不等式可得

P\{6800<X<7200\}=P\{|X-7000|<200\} \geqslant 1-\frac{2100}{200^2} \approx 0.95

这个概率的近似值表明，在 10000 个电灯中，开着的电灯在 $6800 \sim 7200$ 个的概率大于 0.95 ．而实际上，此概率可由二项分布求得精确值为 0.99999 ．由此可知，切比雪夫不等式虽可用来估计概率，但精度不够高．