10._二项分布的泊松估计与中心极限定理估计 - 概率论与数理统计

二项分布的泊松估计与中心极限定理估计

德莫弗-拉普拉斯定理和泊松分布都可以估算二项分布，那么如何区分他们的应用场景呢？

首先，德莫弗-拉普拉斯定理估算二项分布，适用于二项分布当 $n$ 很大时的情况。这时候二项分布可以用正态分布来近似。定理的条件是 $n$ 足够大，而 $p$ 不接近 $0$ 或 $1$ ，这样 $np$ 和 $n(1-p)$ 都大于 $5$ 之类的。这时候用正态分布来近似计算二项分布的概率会更方便，尤其是计算区间概率的时候，比如 $P(a ≤ X ≤ b)$ 。

而泊松分布估算二项分布，它通常是在 $n$ 很大而 $p$ 很小的情况下，且 $λ=np$ 保持适中时，用来近似二项分布。比如，当事件发生的概率 $p$ 很小，但试验次数 $n$ 很大，这时候泊松分布可以用一个参数 $λ$ 来近似二项分布。例如，稀有事件的发生次数，比如电话呼叫中心每小时接到的电话数，或者某段时间内网站的访问量。

1. 核心条件与数学原理

方法	适用条件	数学原理
德莫弗-拉普拉斯定理	- 试验次数 $n$ 极大- 成功概率 $p$ 适中（ $np$ 和 $n(1-p)$ 均大于5）	基于中心极限定理，将二项分布 $B(n,p)$ 近似为正态分布 $N(np, np(1-p))$ 。
泊松分布近似	- 试验次数 $n$ 极大- 成功概率 $p$ 极小（ $\lambda = np$ 适中）	基于泊松定理，当 $n \to \infty$ 且 $p \to 0$ 时，二项分布收敛于泊松分布 $P(\lambda)$ 。

关键区别： • 德莫弗-拉普拉斯要求 $p$ 不接近0或1（保证正态性），而泊松要求 $p$ 极小但 $\lambda$ 适中。

• 德莫弗-拉普拉斯是中心极限定理的特例，泊松是二项分布在稀有事件下的极限形式。

2. 近似形式与计算特点

方法	近似分布形式	计算优势	典型场景
德莫弗-拉普拉斯定理	正态分布 $N(np, \sigma^2)$	适用于计算区间概率（如 $P(a \leq X \leq b)$ ），可直接用标准正态表查询。	- 抛硬币1000次中正面数超过60次的概率- 工业质检中次品数的估计。
泊松分布近似	泊松分布 $P(\lambda)$	适用于离散事件计数（如稀有事件），计算更简单，无需处理大组合数。	- 电话呼叫中心每小时来电数- 放射性物质衰变计数。

关键区别： • 德莫弗-拉普拉斯通过连续性修正（如 $P(X \leq k) \approx P(Z \leq \frac{k+0.5 - np}{\sqrt{npq}})$ ）提高精度，而泊松直接替换为离散公式。

• 泊松在 $p$ 极小时更高效（如 $p=0.001$ ， $n=10^6$ ， $\lambda=1000$ ）。

3. 误差与适用范围

方法	误差来源	适用范围
德莫弗-拉普拉斯定理	- 当 $p$ 接近0或1时误差较大- 需满足 $np(1-p) \geq 5$ 才能保证精度。	- 二项分布对称性较好时（如 $p=0.5$ ）- 需要高精度连续概率的场景。
泊松分布近似	- 当 $\lambda$ 较大时（如 $\lambda > 20$ ）误差增加- 不适用于非稀有事件。	- 事件发生概率极低但试验次数极大（如保险索赔、网站访问量）。

关键区别： • 德莫弗-拉普拉斯在 $p$ 中等时更优，泊松在 $p$ 极小时更优。

• 泊松无法处理高频率事件（如抛硬币正面数），而德莫弗-拉普拉斯可覆盖更广范围。

4. 实际应用对比 案例1：抛硬币问题 • 条件：抛硬币 $n=1000$ 次，求正面数超过60次的概率。

• 德莫弗-拉普拉斯：

\mu = 500, \quad \sigma = \sqrt{250} \approx 15.81, \quad P(X > 60) \approx P\left(Z > \frac{60.5 - 500}{15.81}\right) \approx 0.0228

• 泊松：不适用（因 $p=0.5$ 不满足极小条件）。

案例2：罕见故障检测 • 条件：某设备每天故障概率 $p=0.001$ ，运行 $n=10^6$ 天，求至少2次故障的概率。

• 泊松：

\lambda = 1000, \quad P(X \geq 2) = 1 - P(0) - P(1) = 1 - e^{-1000}(1 + 1000) \approx 1

• 德莫弗-拉普拉斯：误差大（因 $p$ 极小）。

核心差异口诀：

德莫弗-拉普拉斯正态逼近，泊松定理为稀有小概率当事件发生频率适中时用正态，极低时用泊松。

通过合理选择方法，可显著提升二项分布计算的效率和精度。还要注意，德莫弗-拉普拉斯是中心极限定理的应用，而泊松分布是基于二项分布在稀有事件下的极限情况。两者的数学推导不同，泊松分布是通过让n趋近无穷，p趋近0，保持λ不变得到的，而德莫弗-拉普拉斯则是让n趋近无穷，p保持适中，使得np和n(1-p)都趋近无穷。