23._连续性_韦布尔分布Weibull - 概率论与数理统计

韦布尔分布

韦布尔分布在可靠性工程中被广泛应用，尤其适用于机电类产品的磨损累计失效的分布形式。由于它可以利用概率值很容易地推断出它的分布参数，被广泛应用于各种寿命试验的数据处理。

他的密度函数

f(x ; \lambda, k)= \begin{cases}\frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1} e^{-(x / \lambda)^k} & x \geq 0 \\ 0 & x<0\end{cases}

其中， x 是随机变量， $\lambda>0$ 是比例参数（scale parameter）， $k >0$ 是形状参数（shape parameter）。显然，它的累积分布函数是扩展的指数分布函数，而且，Weibull distribution与很多分布都有关系。如，当 $k=1$ ，它是指数分布； $k=2$ 且时，是Rayleigh distribution（瑞利分布）。

应用背景

Weibull 分布是最常用于对可靠性数据建模的分布。此分布易于解释且用途广泛。在可靠性分析中，可以使用此分布回答以下问题：

预计将在老化期间失效的项目所占的百分比是多少？例如，预计将在 8 小时老化期间失效的保险丝占多大百分比？

预计在有效寿命阶段有多少次保修索赔？例如，在该轮胎的 50,000 英里有效寿命期间预计有多少次保修索赔？

预计何时会出现快速磨损？例如，应将维护定期安排在何时以防止发动机进入磨损阶段？

Weibull 分布可以对右偏斜数据、左偏斜数据或对称数据建模。因此，分布可用来评估不同应用（包括真空管、电容器、滚珠轴承、继电器和材料强度）的可靠性。Weibull 分布还可以对递增、递减或固定故障函数建模，并允许使用该模型描述项目寿命的任何阶段。Weibull 分布可能不适用于由化学反应或退化过程（如半导体失效时出现的腐蚀）造成的产品失效。通常会使用对数正态分布对这些情况建模。