9._离散型_负二项分布 - 概率论与数理统计

抽查一个产品，质量可能合格或者不合格，这是两点分布，为了检查一批产品质量是否合格，我们可以抽查 $n$ 个产品(每个产品都有合格或者不合格两种可能)，这是二项分布 。但是实际情况更好复杂。对于一个产品，不仅仅只有合格或者不合格两个结果，有时候可能有更多的结果。比如抽查产品的结果使用“正品，次品，废品”表示这是多项分布，在抽查产品里，我们不断的抽取直到首次抽到正品的概率这是几何分布，下面的定义将介绍负二项分布:在抽查的产品里，我们抽取一个是不合格的，抽取一个是不合格的，一共抽取了 $r$ 次，第 $r+1$ 次才出现合格的，这种分布就是负二项分布。

注意：负二项分布在业界并没有统一的规定。比如有些人支持从0开始,有些人支持从1开始，有些人用p表示成功的概率, 有些人用p表示失败的概率.所以当你用不同的教材给出的公式进行比较时，仔细检查这些教材使用的标准形式

负二项分布

负二项分布是几何分布的一个延伸.在伯努利试验中，记每次试验中 $A$ 事件发生的概率 $P(A)=p(0<p<1)$ ，设随机变量 $X$ 表示 $A$ 事件第 $r$ 次出现时的试验次数，则 $X$ 的取值为 $r, r+1, \cdots, r+n, \cdots$ ，相应的分布律为:

P(X=k)=\left(\begin{array}{c} k-1 \\ r-1 \end{array}\right) p^r(1-p)^{k-r}, \quad 0<p<1, \quad k=r, r+1, \cdots, r+n, \cdots

根据组合数定义：

\begin{aligned} \binom{x+r-1}{x} & =\frac{(x+r-1)(x+r-2) \cdots r}{x!} \\ & =(-1)^x \frac{(-r-(x-1))(-r-(x-2)) \cdots(-r)}{x!} \\ & =(-1)^x \frac{(-r)(-r-1) \cdots(-r-(x-1))}{x!} \\ & =(-1)^x\binom{-r}{x} \end{aligned}

称随机变量 $X$ 服从参数为 $r, p$ 的负二顶分市，记为 $X \sim \mathrm{NB}(r, p)$ 。其中当 $r=1$ 时，即为几何分布.

负是指负二项级数， "负" 除了告诉我们负二项分布的由来

从伯努利过程的视角出发，也能自然的能理解负二项分布,实际上，负二项分布描述的是第 r 次成功前失败的次数，记为 $k$ ，那么有:

\operatorname{Pr}(X=k)=\binom{k+r-1}{r-1} \cdot(1-p)^k p^r

负二项分布和二项分布的区别

负二项分布就像一个“倒计时”分布：二项分布是：“我给你10次机会（固定次数），你去试试能成功几次（随机结果）。” 负二项分布是：“你必须要成功3次（固定目标），去吧，我会数着你失败了多少次（随机结果）才做到。” 所以，当你关心的是 “为了达到某个确定的成功次数，所需付出的代价（失败次数）是多少” 时，你就是在和负二项分布打交道了。它的名字里的“负”字，某种程度上就体现了这种“从目标倒推过程”的意味。

例某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p ，求此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率。

解：拿到题目要进行语义分解：题目就是说＂直到命中两次就停止射击＂，故射击的次数 X 服从参数为 $2, p$ 的负二项分布，从而 $P_0\{X=4\}=C_3^1 p^2(1-p)^{4-2}=3 p^2(1-p)^2$ 。

例 （巴拿赫火柴问题）某个抽烟的数学家总是在左右口袋里各放一盒火柴，每次他需要火柴时，都随机地从两个口袋中任取一盒，并从中取出一根火柴。假设开始时两盒中都有 $n$ 根火柴，当他第一次发现其中有一盒已经空了时，另一盒中恰好有 $k$ 根火柴的概率是多少？－分析与解：设事件A表示＂数学家第一次发现右口袋中的火柴盒空了时，左口袋的火柴盒中还有 $k$ 根火柴＂，当A发生时，此人已经从两个口袋中总共取了 $n+(n-k)=2 n-k$ 根火柴，且第 $2 n-k+1$ 次发现右口袋已空。如果将＂从右口袋取火柴＂看作试验成功，依题意累计成功 $n + 1$ 次即停止试验（第 $n +1$ 次成功即发现右口袋已空），此时试验的总次数 $X$ 服从参数为 $r=n+1, p=1 / 2$ 的负二项分布，从而有 $P(A)=P\{X=2 n-k+1\}=C_{2 n-k}^n\left\{\frac{1}{2}\right\}^{2 n-k+1}$ 。显然事件＂第一次发现左口袋中的火柴盒空了时，右口袋的火柴盒中还有 $k$ 根火柴＂发生的概率与 $P(A)$ 相等，而且这两个事件是互不相容的，从而所求概率 $\Rightarrow 2 P(A)=\frac{1}{2^{2 n-k}} C_{2 n-k}^n$ 。

最后指出，虽然考研数学中并不要求掌握本节介绍的这些离散分布，但完全能够以应用问题的形式去考查，比如曾有一道考研选择题，其背景知识就是负二项分布，情况下题。

负二项分布的数学期望与方差

可以算得负二项分布的数学期望为 $r / p$ , 方差为 $r(1-p) / p^2$ . 从直观上看这是合理的, 因为首次出现 $A$ 的平均试验次数是 $1 / p$ , 那么第 $r$ 个 $A$ 出现所需的平均试验次数是 $r / p$ .

我们发现，在NB中，方差总是大于期望的；而当r（stopping parameter）趋于无穷大的时候，方差与期望相等。前面我们已经推导了当r趋于无穷的时候，NB就成了泊松分布。这里再次印证了这个结论。

我们不妨把 $1 / r$ 称为 dispersion parameter，它能够帮助我们检验数据的overdispersion情况(利用 Wald test检验原假设 $1 / r=0$ 是否成立)。