25._连续型随机变量函数的分布

初学者疑惑，已经学了连续型分布了，怎么又有随机变量函数的分布。随机变量函数的分布可以说是对随机变量再次定义随机变量。怎么比喻呢？比如函数$y=f(x)$，对它导数，可以得一阶导数 $y'=f'(x)$ ，如果把一阶导数再次求导，就得到二阶导数$y''=f''(x)$ ，这个二阶导数就可以看成原函数的导数的导数。随机变量函数的分布和此类似，他类似求复合的随机变量。比如我们已经知道随机变量半径为$X$的圆的分布，现在要求面积的，因为面积是$S=\pi X^2$，此时就可以看成是求“$\pi X^2$” 的分布。

相比离散型随机变量函数的分布，连续型随机变量函数的分布要复杂的多，因为他涉及大量积分运算，对学生微积分基础要求比较高。

连续型通常分为两种情况，设 $X$ 是连续型随机变量，则随机变量 $Y=g(X)$ 可能是离散型的，也可能是连续型的． （1）若 $Y$ 只有有限个或可列无限个可能值，则按照上述离散型情形处理； （2）若 $Y$ 所有可能值的集合是（有限或无限）区间，则一般先求 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$ ，再求导数 $F_Y^{\prime}(y)$ ，即可得到 $Y$ 的密度函数 $f_Y(y)$ ．

连续型随机变量函数的分布

1．分布函数法

设连续型随机变量 $X$ 的分布函数为 $F_X(x)$ ，即

$y=g(x)$ 是实数 $x$ 的函数，如何求随机变量 $Y=g(X)$ 的分布呢？ 首先，求出随机变量 $Y$ 的分布函数

由不等式＂$g(X) \leqslant y$＂得到关于 $X$ 的不等式，则 $F_Y(y)$ 就可以利用已知的分布函数 $F_X(x)$ 来表示． 其次，当 $Y=g(X)$ 是连续型随机变量时，将分布函数 $F_Y(y)$ 关于 $y$ 求导，就得到了 $Y$ 的概率密度 $f_Y(y)=F_Y^{\prime}(y)$ ；当 $Y=g(X)$ 不是连续型随机变量时，要根据函数 $g(x)$ 的特点做个案处理．

这种方法就称为分布函数法，它是求解连续型随机变量函数的分布函数的一般方法．

例已知随机变量 $X$ 是区间 $(0,1)$ 上的均匀分布，求 $Y=a X+b(a \neq 0)$ 的密度函数．

解（1）设 $a>0$ ，则

两边对 $y$ 求导，可得

因 $f_X(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & 0<x<1, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array}\right.$ 所以

（2）设 $a<0$ ，则

两边对 $y$ 求导，可得

将已知的密度函数 $f_X(x)$ 代人上式，得

综合（1）（2），得

例设 $\mathrm{X}$ 服从区间 $(1,3)$ 上的均匀分布，求 $X^2$ 的密度函数。

解 随机变量 $X$ 的取值范围 $(1,3)$ ，故随机变量 $Y=X^2$ 的取值范围为区间 $(1,9) ， Y$ 仍 然是一个连续型随机变量。因此需求解 $Y$ 的分布函数为 $F_Y(y)$ 和概率密度函数 $f_Y(y)=F^{\prime}(y)$ 。 根据题意， $X$ 的概率密度函数为 $\quad f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & 1<x<3 \\ 0 & \text { 其它 }\end{array}\right.$ $\mathrm{Y}$ 的分布函数 $\quad F_Y(y)=P(Y \leq y)=P\left(X^2 \leq y\right)$

Y 的分布函数 $\quad F_Y(y)=P(Y \leq y)=P\left(X^2 \leq y\right)$

当 $y<1$ 时，$F_Y(y)=0$ ； 当 $1 \leq y<9$ 时，$F_Y(y)=P(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y})=\int_1^{\sqrt{y}} \frac{1}{2} d x=\frac{\sqrt{y}-1}{2}$ ； 当 $y \geq 9$ 时，$F_Y(y)=1$ 。

通过 $F_Y^{\prime}(y)=f_Y(y)$ 得到 Y 的密度函数

问题总结

$Y=g(X)$ 的分布函数与密度函数求解的一般步骤：

1 由随机变量 $x$ 的取值范围 $\Omega_x$ 确定随机变量 $y$ 的取值范围 $\Omega_x$ ；

2 对任意一个 $y \in \Omega_Y$ ，求出 $F(y)=P(Y \leq y)=P(g(X) \leq y)=P\left\{X \in G_y\right\}=\int_{G_Y} f(x) d x$ ． 其中 $\left\{X \in G_y\right\}$ 是与 $\{g(X) \leq y\}$ 等价的随机事件，而 $G_y=\{x: g(x) \leq y\}$ 是实数轴上的某个集合（通常是一个区间或若干个区间的并集）。

3 按分布函数的定义写出 $F_Y(y),-\infty<y<+\infty$ 4 通过对分布函数求导，得到 $f_Y(y)=F_Y^{\prime}(y), ~-\infty<y<+\infty$ 。

例设 $X \sim N(0,1)$ ，求随机变量 $Y=|X|$ 的密度函数. 解 易得随机变量 $Y=|X|$ 的取值范围为区间 $[0,+\infty) ， Y$ 仍然是一个连续 型随机变量。当 $y \geq 0$ 时， $Y$ 的分布函数为

直接对上式求导有 $f_Y(y)=F_y^{\prime}(y)=\Phi^{\prime}(y)-\Phi^{\prime}(-y)=\frac{2}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{y^2}{2}}$ 所以， $Y$ 的概率密度函数为 $\quad f_Y(y)= \begin{cases}\frac{2}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{y^2}{2}}, & y>0, \\ 0, & \text { 其它. }\end{cases}$

例设连续型随机变量 $X$ 具有密度函数 $f_X(x)(-\infty<x<+\infty)$ ，求 $Y=g(X)=$ $X^2$ 的密度函数。

解 先求 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$ 。因为 $Y=g(X)=X^2 \geqslant 0$ ，所以当 $y \leqslant 0$ 时，事件 $\{Y \leqslant y\}$的概率为 0 ，即 $F_Y(y)=P\{Y \leqslant y\}=0$ ；

当 $y>0$ 时，有

将上述所得的 $F_Y(y)$ 关于 $y$ 求导，即得 $Y$ 的密度函数为

例如，当 $X \sim N(0,1)$ 时，则 $Y=X^2$ 的密度函数为

此时称 $Y$ 服从自由度为 1 的 $\chi^2$ 分布．

上例 中关键的一步在于将事件 $Y \leq y\}$ 由其等价事件 $\{-\sqrt{y} \leqslant X \leqslant \sqrt{y}\}$ 代替，即将事件 $\{Y \leqslant y\}$ 转换为关于 $X$ 的范围所表示的等价事件。下面我们仅对 $Y=g(X)$［函数 $g(x)$ 为严格单调的］写出一般结论．

公式法

定理1 设连续型随机变量 $X$ 的密度函数为 $f_X(x) ， Y=g(X)$ 是连续型随机变量， 若 $y=g(x)$ 为严格单调函数， $x=g^{-1}(y)$ 为相应的反函数，且为可导函数，则 $Y=g(X)$ 的密度函数为

证明：略。

定理2 设 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，则当 $k \neq 0$ 时， $Y=k X+b \sim N\left(k \mu+b, k^2 \sigma^2\right)$ ， 特别地， $\frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$

证明：略。

例设随机变量 $X$ 表示某服务行业一位顾客的服务时间，$X$ 服从指数分布，其概率密度为

求 $Y=\mathrm{e}^X$ 的概率密度． 解 函数 $y=\mathrm{e}^x$ 是单调函数，其反函数为 $x=\ln y, x^{\prime}=\frac{1}{y}$ ，故 $Y$ 的概率密度为

应用公式法时，要注意函数 $g(x)$ 必须是单调可导的，若不满足这个条件，就可以用分布函数法处理

例设 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，求随机变量 $Y=\mathrm{e}^X$ 的密度函数. 解 因 $y=\mathrm{e}^x$ 的反函数为 $x=\ln y$ ；当 $y>0$ 时单增， $x^{\prime}=\frac{1}{y}$ ，所以当 $y>0$ 时

所以 $Y=\mathrm{e}^X$ 的密度函数为