8.6_一般极限定理

8.6 一般极限定理

即使非负矩阵 AA 是不可约的， AA 的标准幂却不一定有极限，以矩阵

A=[0110]A = \left[ \begin{array}{l l} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right]

为例就不难说明这一点。尽管如此，在按平均值计算的确切意义下，这个极限的确存在。

8.6.1 定理 设 A∈MπA \in M_{\pi} 不可约非负矩阵，设 A.x=ρ(A)xA.x = \rho(A)x ， ATy=ρ(A)yA^T y = \rho(A)y ， xTy=1x^T y = 1 和 L=xyTL = xy^T 。则

lim⁡N→∞1N∑m=1N[ρ(A)−1A]m=I⋅.\lim _ {N \rightarrow \infty} \frac {1}{N} \sum_ {m = 1} ^ {N} [ \rho (A) ^ {- 1} A ] ^ {m} = I _ {\cdot}.

此外，存在有限正常数 C=C(A)C = C(A) 使得

∥1N∑m=1N[ρ(A)−1A]m−L∥⩽CN\left\| \frac {1}{N} \sum_ {m = 1} ^ {N} \left[ \rho (A) ^ {- 1} A \right] ^ {m} - L \right\| \leqslant \frac {C}{N}

对所有 N=1,2,…N = 1,2,\dots 成立.

证明：如果令 λ=ρ(A)\lambda = \rho(A) ，且选取 yy 和 xx 分别为 AA 的左和右 Perron 向量，则引理(8.2.7)的假定(1)-(5)被满足，因而矩阵

I−[ρ(A)−1A−L]=ρ(A)−1[ρ(A)I−(Aρ(A)L)]I - \left[ \rho (A) ^ {- 1} A - L \right] = \rho (A) ^ {- 1} \left[ \rho (A) I - (A \quad \rho (A) L) \right]

是可逆矩阵．利用引理(8.2.7)的(e)和本节末的习题I中的恒等式可算出

1N∑m=1N[ρ(A)−1A]m=1N∑m=1N[ρ(A)−1A−L]m+L)=L+1N∑m=1N[ρ(A)−1A−L]m=L+1N{ρ(A)−1A−L}{I−[ρ(A)−1A−L]N}{I−[ρ(A)−1A−L]}−1=L+1N{ρ(A)−1A−L}{I−[ρ(A)−1A]N+L}{I−[ρ(A)−1A−L]}−1.\begin{array}{l} \frac {1}{N} \sum_ {m = 1} ^ {N} [ \rho (A) ^ {- 1} A ] ^ {m} \\ = \frac {1}{N} \sum_ {m = 1} ^ {N} \left[ \rho (A) ^ {- 1} A - L \right] ^ {m} + L) = L + \frac {1}{N} \sum_ {m = 1} ^ {N} \left[ \rho (A) ^ {- 1} A - L \right] ^ {m} \\ = L + \frac {1}{N} \left\{\rho (A) ^ {- 1} A - L \right\} \left\{I - \left[ \rho (A) ^ {- 1} A - L \right] ^ {N} \right\} \left\{I - \left[ \rho (A) ^ {- 1} A - L \right] \right\} ^ {- 1} \\ = L + \frac {1}{N} \left\{\rho (A) ^ {- 1} A - L \right\} \left\{I - \left[ \rho (A) ^ {- 1} A \right] ^ {N} + L \right\} \left\{I - \left[ \rho (A) ^ {- 1} A - L \right] \right\} ^ {- 1}. \\ \end{array}

在后一个表示式中与 NN 有关的部分只有第二项的因子 1/N1 / N 和项 [ρ(A)−1A]N[\rho (A)^{-1}A]^N ，但是根据推论(8.1.33)，当 N→∞N\to \infty 时，矩阵 [ρ(A)1A]N[\rho (A)^{1}A]^{N} 各元一致有界．因此，当 N→∞N\rightarrow \infty 时，第二项的数量级为 1/N1 / N ，因此它一致趋于零. □

分析一下引理(8.2.7)和(8.1.23)所需假设条件可知，相同的证法恰好证明下述更一般的（但叙述起来并不简短的）结果。

8.6.2 定理 设 A∈MnA \in M_n 是非负的，且设 xx 和 yy 是使 Ax=ρ(A)xAx = \rho(A)x 和 ATy=ρ(A)yA^T y = \rho(A)y 的非负向量。如果

(a) ρ(A)>0\rho (A) > 0
(b) xTy>0x^{T}y > 0
（c）矩阵

I−[ρ(A)−1A−(xTy)−1xyT]I - \left[ \rho (A) ^ {- 1} A - \left(x ^ {T} y\right) ^ {- 1} x y ^ {T} \right]

是可逆的；

(d) 当 m→∞m \to \infty 时， [ρ(A)−1A]m\left[\rho(A)^{-1}A\right]^{m} 一致有界；

则

lim⁡N→∞1N∑m=1N[ρ(A)−1A]m=(xTy)−1xyT.\lim _ {N \rightarrow \infty} \frac {1}{N} \sum_ {m = 1} ^ {N} [ \rho (A) ^ {- 1} A ] ^ {m} = (x ^ {T} y) ^ {- 1} x y ^ {T}.

另外，存在有限正常数 C=C(A)C = C(A) ，使得

∥1N∑m=1N[ρ(A)′A]m−(xTy)−1xyT∥∞⩽CN\left\| \frac {1}{N} \sum_ {m = 1} ^ {N} \left[ \rho (A) ^ {\prime} A \right] ^ {m} - \left(x ^ {T} y\right) ^ {- 1} x y ^ {T} \right\| _ {\infty} \leqslant \frac {C}{N}

对所有 N=1,2,…N = 1,2,\dots 成立.

习题

  1. 如果 B∈MnB \in M_{n} 且 I−BI - B 可逆，证明

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∑m−1NBm−B(I−BN)(I−B)1.\sum_ {m - 1} ^ {N} B ^ {m} - B (I - B ^ {N}) (I - B) ^ {1}.

提示：乘以 I−BI - B

  1. 证明定理(8.6.2).

  2. 试比较定理(8.5.1)和(8.6.1)的收敛速度。给出一个例子，说明(8.6.1)中的收敛速度不可能改进。

  3. 假定 A∈MnA \in M_{n} 是不可约非负矩阵，且记 Am=[aij(m)]A^{m} = \left[a_{ij}^{(m)}\right] ， m=1,2,⋯m = 1, 2, \cdots 。试用定理（8.6.1）证明，对每个给定的数对 (i,j)(i, j) ， aij(m)>0a_{ij}^{(m)} > 0 对 mm 的无限多个值成立。这个结果可以看作定理（8.5.2）的推广。给出一个例子，说明也有 mm 的无限多个值使得 aij(m)=0a_{ij}^{(m)} = 0 。

  4. 在定理(8.6.2)的假设条件下，证明，只要数对 (i,j)(i, j) 使 xiyi≠0x_i y_i \neq 0 ，则对 mm 的无限多个值有 aijm+1>0a_{ij}^{m+1} > 0 。这个结果为什么包括习题4。

  5. 当 AA 是素矩阵时，直接证明定理(8.5.1)蕴涵定理(8.6.1). 提示：这里所需要的是证明从分析中得来的下述结果：如果序列收敛于有限极限，则它 Cesaro—可和于同一极限.

  6. 假定 A=[0110]A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} . 直接计算

lim⁡N→N1∑m=1N[ρ(A)−1A]m.\lim _ {N \rightarrow} N ^ {1} \sum_ {m = 1} ^ {N} [ \rho (A) ^ {- 1} A ] ^ {m}.

再计算用定理(8.6.1)给定的这个极限值，然后进行比较

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