0.1 向量空间

在本书的论述中，虽然一般是含蓄地述及向量空间，但是，向量空间是矩阵理论的基本结构.

0.1.1 纯量域 构成向量空间的基础是域，或者是具有乘法的纯量集。对于实际应用来说，在通常的加法和乘法运算下，基域几乎总是实数域 $\mathbb{R}$ 或复数域 $\mathbf{C}$ （见附录A）。但是，它也可能是有理数域，也可能是关于一个特定素数的整数同余类域或一些其他的域。当未指明是哪种域时，就用符号 $\mathbf{F}$ 表示域。为了验证一个纯量集是域，它必须在两个指定的二元运算（“加法”和“乘法”）下封闭；两个运算必须满足结合律和交换律，且在该集合中各有一个单位元；对于所有的元素，在该集合中必须有关于加法运算的逆元素，并且对于除加法单位元(0)以外的所有元素，在该集合中有关于乘法运算的逆元素；同时，乘法运算对加法运算必须满足分配律。

0.1.2 向量空间 域 $\mathbf{F}$ 上的向量空间是一些对象（称为向量）的集合 $V$ ，它在一个二元运算（加法）下封闭，这个运算是结合的和交换的，在集合 $V$ 中有一个单位元“(0)”，且有加法逆元。该集合对用纯量域 $\mathbf{F}$ 的元素左乘向量的运算也是封闭的，且有性质：对所有的 $a, b \in \mathbb{F}$ ，以及所有的 $x, y \in V$ ，有 $a(x + y) = ax + ay$ ， $(a + b)x = ax + bx$ ， $a(bx) = (ab)x$ ，以及对乘法单位元 $e \in \mathbb{F}$ ，有 $ex = x$ 。

对于给定的域 $\mathbf{F}$ ，分量取自 $\mathbf{F}$ 的 $n$ 元组的集合 $\mathbf{F}^{n}$ （ $n$ 是整数），在通常的运算（在 $\mathbf{F}^{n}$ 中按分量相加）下构成 $\mathbf{F}$ 上的一个向量空间。特别地， $\mathbf{R}^{n}$ 和 $\mathbf{C}^{n}$ 是本书的基本向量空间。具有实系数或复系数的（不超过某一指定次数的或任意次数的）多项式集合，以及区间 $[a, b] \subset \mathbb{R}$ 上的实值或复值连续函数，或任意函数的集合也是 $(\mathbb{R}$ 上或 $\mathbb{C}$ 上）向量空间的例子。当然，在有限维空间 $\mathbf{R}^{n}$ 与由[0，1]上的实值连续函数组成的无限维向量空间之间，有着本质的差别。

0.1.3 子空间和张成向量空间 $V$ 的子空间 $U$ 是 $V$ 的非空子集，它自身正好是同一个纯量域上的向量空间。例如 $[a, b, 0]^T$ ： $a, b \in \mathbb{R}$ 是 $\mathbb{R}^3$ 的子空间。通常，我们用某种关系来定义向

量空间 $V$ 的子空间，如此得到的由 $V$ 中部分元素组成的集合关于 $V$ 中的加法是封闭的一一例如， $\mathbf{R}^3$ 中最后一个分量是0的所有元素组成的集合．一般认为，把所得到的集合看成一个子空间比自身看成一个向量空间更有用，在任何情况下，两个子空间的交还是子空间.

如果 $S$ 是向量空间 $V$ 的子集， $S$ 的张成是集合 $\operatorname{Span} S = \{a_{1}v_{1} + a_{2}v_{2} + \dots + a_{k}v_{k}\}$ ； $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k} \in \mathbb{F}, v_{1}, v_{2}, \dots, v_{k} \in S, k = 1, 2, \dots\}$ 。注意，即使 $S$ 不是子空间， $\operatorname{Span} S$ 总是子空间。如果 $\operatorname{Span} S = V$ ，就称 $S$ 张成向量空间 $V$ 。

0.1.4 线性相关和线性无关 称一个向量空间中的向量组 $\{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{k}\}$ 线性相关，指的是在纯量基域 $\mathbf{F}$ 中存在不全为 0 的系数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}$ ，使得

或等价地，某一向量 $r_i$ 是其余向量的线性组合，其中系数取自 $\mathbf{F}$ 。例如， $\{[1, 2, 3]^7, [1, 0, -1]^1, [2, 2, 2]^7\}$ 是 $\mathbb{R}^3$ 的中线性相关组， $V$ 中的一个子集在 $\mathbf{F}$ 上不线性相关，就说它线性无关。例如， $\{[1, 2, 3^-], [1, 0, -1]^4\}$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的线性无关组。重要的是要注意这两个概念实质上与向量组有关。线性无关的任一非空子集线性无关； $0$ 是线性相关组；因而，包含 $0$ 向量的任一集合线性相关。可能一个向量集线性相关，而它的任一真子集是线性无关的。

0.1.5 基 设 $S$ 是向量空间 $V$ 的子集。如果 $V$ 的每个元素可以表示成 $S$ 的诸元素（具有纯量基域中的系数）的线性组合，就称 $S$ 张成 $V$ 。例如， $\{[1, 0, 0]^T, [0, 1, 0]^T, [0, 0, 1]^T, [1, 0, 1]^T\}$ 在 $\mathbf{R}$ 上张成 $\mathbf{R}^3$ （或在 $\mathbf{C}$ 上张成 $\mathbf{C}^3$ ）。张成向量空间 $V$ 的一个线性无关组为 $V$ 的一个基。基虽然不是唯一的，但是基很有用， $V$ 的每个元素能且只能用一种方式由基来表示，且在该基中再添加任何一个元素或从该基中去掉任一元素，上述性质不再成立。 $V$ 中的无关组是 $V$ 的一个基，当且仅当没有真包含它的无关组。张成 $V$ 的一个集合是 $V$ 的一个基，当且仅当它没有真子集仍张成 $V$ 。每个向量空间总有一个基。

0.1.6 扩充成一个基 向量空间 $V$ 中的任何线性无关组都可以扩充为 $V$ 的一个基，也就是说，给定 $V$ 中的线性无关组 $\{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{k}\}$ ，存在另外的向量 $x_{k+1}, \cdots, x_{n}, \cdots \in V$ ，使得 $\{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}, \cdots\}$ 是 $V$ 的一个基，把一个已知的无关组扩充为一个基，当然不是唯一的[例如，可以把第三个分量是非零的任一向量添加到无关组 $\{1, 0, 0\}$ ， $[0, 1, 0]$ ]中，便得到 $\mathbb{R}^{3}$ 的一个基]。由[0，1]上实值连续函数组成的实向量空间 $C[0, 1]$ 的例子说明，一般地，一个基未必有限；由单项式 $\{1, x, x^{2}, x^{3}, \cdots\}$ 组成的无限集是 $C[0, 1]$ 中的无关组。

0.1.7 维数 如果向量空间 $V$ 的某个基包含有限个元素，那么所有的基有相同的元素个数，并且称这个公共的数为向量空间的维数。这时，就说 $V$ 是有限维的，否则，就说 $V$ 是无限维的。无限维的情形（例如， $\mathbb{C}[0,1]$ ），在任意两个基的元素之间存在一个一一对应。实向量空间 $\mathbb{R}^n$ 有维数 $n$ 。向量空间 $\mathbb{C}^n$ 在域 $\mathbb{C}$ 上有维数 $n$ ，但在域 $\mathbb{R}$ 上有维数 $2n$ 。有时称基 $\{e_1, e_2, \dots, e_n\}$ 为 $\mathbb{R}^n$ 或 $\mathbb{C}^n$ 的标准基。其中 $e_i$ 的第 $i$ 个分量是 1，其余分量是 0。

0.1.8 同构 如果 $U$ 和 $V$ 是同一个纯量域 $\mathbf{F}$ 上的向量空间，且 $f: U \to V$ 是可逆函数，使得对所有的 $r, y \in U$ 和所有的 $a, b \in \mathbb{F}$ 有 $f(ax + by) = af(r) + bf(y)$ ，则 $f$ 是一个同构，且称 $U$ 和 $V$ 同构（“结构相同”）。同一个域上的两个有限维向量空间同构，当且仅当它们有相同的维

数：于是，域 $\mathbf{F}$ 上的任一 $n$ 维向量空间同构于 $\mathbf{F}^n$ 。因此，任一 $n$ 维实向量空间同构于 $\mathbb{R}^n$ ，而任一 $n$ 维复向量空间同构于 $\mathbf{C}^n$ 。特别是，如果 $V$ 是域 $\mathbf{F}$ 上的 $n$ 维向量空间，具有一个给定的基 $\beta = \{x_1, \dots, x_n\}$ ，那么，因为任一元素 $x \in V$ 可以唯一地写成 $x = a_1 x_1 + \dots + a_n x_n$ ， $a_i \in \mathbf{F}$ ， $i = 1, 2, \dots, n$ ，于是，相对于这个基，可以把 $n$ 对应于 $n$ 元组 $[x]_i = [a_1, \dots, a_n]^i$ 。对于任一个基 $\beta$ ，映射 $x \rightarrow [x]$ ，是 $V$ 与 $\mathbf{F}^n$ 之间的一个同构。