5.5 向量范数的几何性质

向量范数的原始几何特征是它的单位球，通过它，可以透彻理解有关范数的重要性质。

5.5.1 定义 设 $\|\cdot\|$ 是实或复向量空间 $V$ 上的向量范数， $x$ 是 $V$ 的一个点，且设 $r > 0$ 是给定的。以 $x$ 为中心， $r$ 为半径的球是集合

$\| \cdot \|$ 的单位球是集合

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练习 证明，对每个 $r > 0$ 以及每个 $x \in V$ ， $B(r; x) = \{x + y : y \in B(r; 0)\} = x + B(r; 0)$ .

一个以任意点 $x$ 为中心的有给定半径的球与以零点为中心的有相同半径的球看做是一样的；这只要把零点平移到 $x$ 点就可以了。单位球是范数的一个几何缩影，因为齐次性，单位球刻划了范数的特征（实际上只需要 $B$ 的边界）。现在我们要确定，究竟 $\mathbf{C}^n$ 的哪些子集可以是某个向量范数的单位球。

练习 画出 $\mathbf{R}^2$ 上的 $l_1, l_2$ 和 $l$ 范数的单位球的草图，它们之间是否存在包含关系？哪些点一定在 $\mathbf{R}^2$ 上的任一 $l_p$ 范数的单位球的边界上？画出几个 $l_p$ 范数的单位球的草图.

练习 如果 $\| \cdot \|_{\alpha}$ 与 $\| \cdot \|_{\beta}$ 是向量空间 $V$ 上的两个范数，证明， $\| x \|_{\alpha} \leqslant \| x \|_{\beta}$ 对所有 $x \in V$ 成立，当且仅当 $B_{\| \cdot \|_{\beta}} \subset B_{\cdot \alpha}$ ，因此向量范数的自然偏序关系可以用几何的包含关系来表示。当一个范数乘以一个正常数时，单位球会发生什么变化？

练习 如果 $\|\cdot\|$ 是 $V$ 上的向量范数，又如果 $x \in V$ ，且 $\alpha$ 是使 $\|\alpha x\| = \|x\|$ 的纯量，证明 $\alpha = 0$ 或 $|\alpha| = 1$ ，由此得出，每条“射线” $\{\alpha x: \alpha > 0\}$ 与 $|\cdot|$ 的单位球的边界恰好相交一次。

5.5.2 定义 一个范数称为是多面的，是指它的单位球是多面体。

练习 哪些 $l_{p}$ 范数是多面的？

练习 如果 $\| \cdot \|$ 是多面范数，如果 $S \in M_{n}$ 是非奇异矩阵， $\| \cdot \|_{s}$ 是多面范数吗？

开集和闭集这些基本的拓扑概念在具有范数的向量空间中是很容易定义的.

5.5.3 定义 设 $\|\cdot\|$ 是实或复向量空间 $V$ 上的范数， $S$ 是 $V$ 的子集，点 $x \in S$ 称为 $S$ 的内点，是指存在 $\varepsilon > 0$ 使 $B(\varepsilon; x) \subset S$ 。集合 $S$ 称为开集，是指 $S$ 的每点都是 $S$ 的内点； $S$ 称为闭集，是指它的补集是开集。 $S$ 的极限点是这样一个点 $x \in V$ ，它对某个序列 $x^{(k)} \subset S$ （关于 $\|\cdot\|$ ）有 $\lim_{k \to \infty} x^{(k)} - x$ 。 $S$ 的闭包是 $S$ 与它的极限点集合的并集。 $S$ 的边界是 $S$ 的闭包与 $S$ 的补集的闭包的交。集合 $S$ 是有界的，指的是，存在某个 $M > 0$ ，使得 $S \subset B_{\| \cdot |}(M; 0)$ ，集合 $S$ 是紧的，如果可以从每个用开集作成的复盖 $U_{\bullet} S_{\bullet} \supset S$ 中选出有限多个集合 $S_{a_1}, \dots, S_{a_N}$ 使得 $\bigcup_{i=1}^{N} S_{a_i} \supset S$ 。

练习 证明任意实或复向量空间 $V$ 上的任何范数的单位球 $B_{n}$ 是有界闭集.

练习 设 $V$ 是有限维实或复向量空间， $S \subset V$ 是有界闭集。利用对某个 $n$ 有 $V$ 同构于 $\mathbb{R}^n$ 或 $\mathbb{C}^n$ 的事实（见附录 E）证明 $S$ 是紧集。

5.5.4 论断 如果 $\| \cdot \|$ 是非平凡（即非零维）的实或复向量空间 $V$ 上的向量范数，则 0 是单位球 $B_{\parallel}$ 的内点。这可由范数 $\| \cdot \|$ 的齐次性及正定性得到，它蕴涵 $B_{\parallel} \left( \frac{1}{2}; 0 \right) \subset B_{\parallel - \parallel}(1; 0)$ ；目前者的边界处在后者的内部。

5.5.5 论断 向量范数的单位球是均衡的；也就是说，如果 $x$ 在这个单位球中，则对适合 $|\alpha| = 1$ 的所有纯量 $\alpha, \alpha x$ 也在该单位球中。这一结论可由向量范数的齐次性得到。

5.5.6 论断 有限维向量空间上的向量范数的单位球是紧集，因为向量范数的齐次性它是有界的；因为范数总是连续函数，它又是闭的。在有限维情形，有界闭集是紧集，但在无维情形，有界闭集不总是紧的。要经常用到的紧集性质是 Weierstrass 定理（附录 E）：紧集上的连续实值函数是有界的，并且在该集上达到它的上确界和下确界。因为这个理由，我们经常提及这种函数的“极大值”和“极小值”。

练习 考虑由具有可数多个分量的向量 $x = (x_{1})$ 组成的复向量空间 $l_{2}$ ，它的范数是有限范数的自然推广

证明，对每对不同的单位基向量 $e_k$ 和 $e_j, j, k = 1, 2, \dots$ ，有 $\| e_k - e_j \|_2 = \sqrt{2}$ 。因此 $\{e_k\}$ 的任何无穷子序列不可能是 Cauchy 序列，所以不可能有任何收敛的子序列。由此可知 $l_2$ 的单位球不可能是紧集。

5.5.7 论断 向量范数的单位球是凸集。

证明：如果 $\| x\| \leqslant 1$ ， $\| y\| \leqslant 1$ ，且 $\alpha \in [0,1]$ ，则

所以 $\alpha x + (1 - \alpha)y$ 也位于单位球中.

上述关于范数的单位球的这些必要条件也是刻划范数特征的充分条件.

5.5.8 定理 有限维实或复向量空间中的集合 $B$ 是 $V$ 上一个向量范数的单位球，当且仅当 $B$ 是：（i）紧集，（ii）凸集，（iii）均衡集，（iv）以 $O$ 作为内点。

证明：我们已经得知条件 $(1) \sim (IV)$ 是必要的，为了看出它们对范数定义是充分的，考虑任意非零点 $x \in V$ ，作从原点到 $x$ 的一条射线线段 $\{a x: 0 < a \leqslant 1\}$ ，在这条射线上，用原点到单位球的边界上的唯一一点间的线段长度作为一个单位，于是 $x$ 的“长度”定义为沿该射线从原点到 $x$ 的比例距离，更形式地，定义 $\| x\|$ 为：

这个函数是有意义的，有限的，且对每个非零向量 $x$ 是正的，这是因为 $B$ 是紧集，且 0 是 $B$ 的内点。利用均衡性假设容易看出 $\| \cdot \|$ 是齐次函数，所以，余下只需验证三角不等式。如果 $x$ 与 $y$ 是给定的非零向量，则 $x / \| x\|$ 与 $y / \| y\|$ 是 $B$ 的边界上的单位向量。由凸性，向量

[283]

也一定在 $B$ 中. 因此, $\|z\| \leqslant 1$ , 且易算出, 这等价于 $\|x+y\| \leqslant \|x\| + \|y\|$ .

练习 给出(5.5.8)的证明细节，仔细注意四个假设中的每一个各用在何处。

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我们熟悉的所有 $l_{p}$ 向量范数都有这样的性质，那就是 $\| x\|$ 只依赖于 $x$ 的各元的绝对值，此外，每个 $l_{p}$ 范数是 $x$ 的各元的绝对值的递增函数，这两个性质不是没有关系的.

5.5.9 定义 如果 $x = [x_i] \in \mathbf{F}^n (\mathbf{R}^n \text{ 或 } \mathbf{C}^n)$ ，定义 $|x| = [x, |x|]$ 。我们说 $|x| \leqslant |y|$ ，是指 $|x_i| \leqslant |y_i|$ 对所有 $i = 1, 2, \dots, n$ 成立。 $\mathbf{F}^n$ 上的向量范数 $\| \cdot \|$ 称为

（a）单调的，指的是对所有 $x, y \in \mathbf{F}^n$ ， $|x| \leqslant |y|$ 蕴涵 $\| x \| \leqslant \| y \|$ ；
（b）绝对的，指的是对所有 $x \in \mathbf{F}^n$ 有 $\| x \| = \| x\|$

5.5.10 定理 $\mathbf{F}^{\prime \prime}(\mathbf{R}^{\prime \prime}$ 或 $\mathbf{C}^{\prime \prime}$ ) 上的范数 $\| \cdot \|$ 是单调的当且仅当它是绝对的.

证明：如果 $\| \cdot \|$ 是单调的，且 $x \in \mathbb{F}^n$ ，设 $y \equiv |x|$ ，于是 $|y| \leqslant |x|$ ，且 $|x| \leqslant |y|$ ，所以 $\| y \| \leqslant \| x \|$ 且 $\| x \| \leqslant \| y \|$ ，因此 $\| \cdot \|$ 是绝对的。如果 $\| \cdot \|$ 是绝对的，设 $x = [x_i] \in \mathbb{F}^n$ 是给定的向量，设 $k$ 是给定的整数，且 $1 \leqslant k \leqslant n$ ，又设 $\alpha \in [0, 1]$ 。则

范数是绝对的这一假设条件只用在倒数第二个等式中。对各不相同的分量重复应用（5.5.11），可以证明绝对范数有性质：对每个 $x \in \mathbb{F}^n$ 及 $\alpha_k \in [0, 1]$ 的所有选择， $k = 1, \dots, n$

最后，如果 $|x| \leqslant |y|$ ，则对每个 $k = 1, 2, \dots, n$ ，存在实数 $\alpha_{k}$ 和 $\theta_{k}$ ，且 $\alpha_{k} \in [0, 1]$ ，使 $x_{k} = \alpha_{k} e^{i\theta_{k}} y_{k}$ 。于是，利用绝对性便有

所以这个范数一定是单调的.

不等式(5.5.11)启发我们提出稍弱的单调性概念，

[285] 5.5.13 定义 $\mathbf{F}^n(\mathbb{R}^n$ 或 $\mathbf{C}^n)$ 上的向量范数 $\|\cdot\|$ 称为弱单调的，是指

对所有 $r \in \mathbb{F}^n$ 及所有 $k = 1, 2, \dots, n$ 成立.

如果范数 $\| \cdot \|$ 是弱单调的，又如果 $\alpha \in [0,1]$ ，则

所以弱单调范数满足较强的条件(5.5.12). 因此, 如果在弱单调范数的单位球面上给定一点, 且该点的一个坐标变到零, 则这样产生的整个线段一定在单位球内. 单调范数显然是弱单调的, 但是, 反之不成立, 这正是下面的练习要证明的.

练习 证明顶点在 $\pm [2, 2]^r$ 与 $\pm [1, -1]^r$ 的平行四边形是 $\mathbb{R}^2$ 上的一个向量范数的单位球，且这个范数不是弱单调的。

练习函数 $f(x) = |x_1 - x_2| + |x_2|$ 是 $\mathbf{R}^2$ 上的向量范数吗？它是单调的吗？它是弱单调的吗？画出它的单位球的草图。

练习 设 $\| \cdot \|$ 是 $\mathbf{R}^2$ 上的绝对范数，证明，如果 $x = [x_1, x_2]^T$ 是单位球边界上一点，则 $[\pm x_1, \pm x_2]^T$ （所有四种可能的选择）都在边界上。举例并画出 $\mathbf{R}^2$ 上的一个非绝对向量范数的单位球的草图，说明它的几何性质。在 $\mathbf{R}^n$ 中会出现什么情形？

练习 画出 $\mathbb{R}^2$ 中顶点在 $\pm [0,1]^t$ ， $\pm [1,0]^r$ 和 $\pm [1,1]^s$ 的多边形的草图。说明它为什么是 $\mathbb{R}^n$ 上的一个弱单调向量范数的单位球，而不是单调或绝对向量范数的单位球。

向量范数的单位球的凸性具有许多往往是令人惊叹的深刻结论。其中之一是下面的对偶性定理，我们一般从准范数的角度来叙述它。所涉及的基本思想是很自然的几何思想，也就是说，包含某个集合 $S$ 的最小闭凸集（闭凸包 $\cos$ ；见附录B）是包含 $S$ 的所有闭半空间（在超平面一边的所有点）的交，并且，如果存在这样一点 $x$ ，只要 $S$ 位于一个半空间内， $x$ 也就位于这同一个半空间内，则 $x$ 必定属于 $S$ 的闭凸包。这些简单的概念直接导出一个重要结论，一个向量范数的两次对偶等于原范数。

5.5.14 定理（对偶性定理）设 $f(\cdot)$ 是 $V = \mathbf{R}^n$ 或 $\mathbf{C}^n$ 上的准范数，设 $f^{\mathrm{D}}$ 表示 $f$ 的对偶范数，而 $f^{DD}$ 是 $f^{D}$ 的对偶范数，又设

分别表示 $f$ 的“单位球”和 $f^{DD}$ 的单位球. 则

因而 $f^{DD}(x) \leqslant f(x)$ 对所有 $x \in V$ 成立。如果 $f$ 是 $V$ 上的向量范数，则 $B = B''$ 且 $f^{D(i)} = f$ .

证明：设 $x \in V$ 是给定的向量，则(5.4.13)说明，对任意 $y \in V$

因而

因此， $f^{(D)}(x)\leqslant f(x)$ 对所有 $x\in V$ 成立，这个不等式等价于几何命题 $B\subset B^{\prime}$

为了证明第二个包含关系，采用对偶范数的特征(5.4.18)是方便的，还应知道集合 $\{t \in V: \operatorname{Re} t^* v \leqslant 1\}$ 是包含原点一般闭半空间。利用对偶的范数的定义，设 $u \in B''$ 是给定的点，我们看出，

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这说明 $u$ 位于包含 $B$ 的各个点的每个闭半空间中：即 $u$ 位于每个包含 $B$ 的闭半空间中。因为所有这些闭半空间的交是 $B$ 的闭凸包 $\operatorname{Co} B$ ，得知 $u \in \operatorname{Co} B$ 。然而点 $u \in B''$ 是任意的，所以 $B'' \subset \operatorname{Co} B$ ，因为 $\operatorname{Co} B$ 是包含 $B$ 的所有凸集的交，我们也有 $\operatorname{Co} B \subset B'$ ，因而 $B'' = \operatorname{Co} B$ 。

如果准范数 $f$ 实际上是范数，则它的闭单位球 $B$ 是凸集，因而 $B = \operatorname{Co} B$ ，所以 $B \subset B'' \subset B$ ；因而 $B = B''$ 。因为它们的单位球是恒等的，所以范数 $f$ 与 $f^{DD}$ 相同. □

对偶性定理的一个应用是下述有用的结果。它是泛函分析中的一个重要的一般结果（称之为Hahn-Banach定理）关于有限维形式的特殊情形。

5.5.15 推论 设 $y \in \mathbb{C}^n$ 是给定的向量， $\|\cdot\|$ 是 $\mathbf{C}^n$ 上给定的向量范数，则存在向量 $y_0 \in \mathbf{C}^n$ 使得

(a) $\left|\left(y_{0}\right)^{*}x\right| \leqslant \left\| x\right\|$ 对所有 $x \in \mathbf{C}^{n}$ 成立；
(b) $(y_{ii})^{*}y = \| y\|$

向量 $y_0$ 不一定唯一，不过 $\| y_0\|^D = 1$ 且 $(y_0)\cdot y = \| y\|$

证明：我们知道，根据对偶性定理，

并且由向量范数 $\| \cdot \|^{D}$ 的单位球面的紧性可知，该极大值实际上可由某个（不一定唯一的）适合 $\| y_{0} \|^{D} = 1$ 的 $z = y_{0}$ 达到，因而 $\| y \| = |y^{*}y_{0}|$ 。用模为1的适当因子乘 $y_{0}$ 便知，可以使内积 $y^{*}y_{0}$ 为正值，因而(b)已被证明。一般，从(5.4.13)可知，对所有 $x \in \mathbf{C}^{n}$ 有

因此向量 $y_{0}$ 同样适合(a). 注意，(a)说明 $\| y_0\|^p \leqslant 1$ ，而(b)使 $\| y_0\|^p = 1$

习题

1. 证明，集合 $S$ 是闭的，当且仅当它包含它的所有极限点。

2. 证明， $S$ 的每一点是 $S$ 的极限点，因而 $S$ 的闭包恰好是由 $S$ 的极限点组成的集合。

3. 给出一个既是开集又是闭集的集合例子。给出一个既不是开集又不是闭集的集合例子。

4. 设 $S$ 是具有范数 $\|\cdot\|$ 的实或复向量空间 $V$ 中的紧集。证明 $S$ 是有界闭集，如果 $\{x_{\alpha}\}$ 是给定的无穷序列，证明，存在一个可数子序列 $\{x_{\alpha_i}\} \subset \{x_{\alpha}\}$ 和一点 $x \in S$ ，使得 $\lim_{i \to (\infty)} x_{\alpha_i} = x$ 。证明紧集的任意闭子集是紧集。

5. 在(5.5.4)中，如果 $V$ 是零维的，会出现什么情形？

6. 如何定义向量半范数的单位球，它的形状与范数的单位球有何不同？画出一个例子的草图。

7. 如果 $\| \cdot \|_{\alpha}$ 和 $\| \cdot \|_{\beta}$ 是一个向量空间上的向量范数，又如果 $\| \cdot \|$ 是用

定义的向量范数，证明 $B_{\parallel \cdot \parallel} = B_{\parallel \cdot \parallel_{0}}\bigcap B_{\parallel \cdot \parallel_{\mathfrak{g}}}$

1. 证明， $\mathbf{F}^{n}(\mathbf{R}^{n}$ 或 $\mathbf{C}^n$ )上的向量范数 $\| \cdot \|$ 是绝对的，当且仅当

对所有 $[x_1, x_2, \dots, x_n]^T \in \mathbf{F}^n$ 和所有适合 $|\alpha_1| = \dots = |\alpha_n| = 1$ 的纯量 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n \in \mathbf{F}$

成立.

在以下六个题中，要用到下述记号，设 $x, y \in V$ ，设 $\|\cdot\|$ 是实或复向量空间 $V$ 上的向量范数。则

表示 $x$ 与 $y$ 间的普通(线性代数)线段，且

表示关于范数 $\| \cdot \|$ 的 $x$ 和 $y$ 的（度量）凸包.

1. 证明 $L(x, y) \subset C(x, y; \| \cdot \|$ \n\n

2. 如果 $V = \mathbf{C}^{n}$ , 且其范数是 $l_{2}$ 范数, 证明 $C(x, y; \| \cdot \|_{2}) = L(x, y)$ 对所有 $x, y \in \mathbf{C}^{n}$ 成立; 即证明, $\| x + y \|_{2} = \| x - z \|_{2} + \| z - y \|_{2}$ , 当且仅当 $z = x + t(y - x)$ 对某个 $t \in [0, 1]$ 成立.

3. 证明 $C(x, y; \| \cdot \|$ $)$ 总是一个普通凸集；即证明，如果 $z_1, z_2 \in C(x, y; \| \cdot \|$ $)$ ，则 $tz_1 + (1 - t)z_2 \in C(x, y; \| \cdot \|$ $)$ 对所有 $t \in [0, 1)$ 成立.

4. 考虑 $\mathbf{R}$ 上的 $V = \mathbb{R}^2$ ，证明 $C((1,0), (0,1); \| \cdot \|_1)$ 是平面中顶点在点 $(0,0)$ ， $(0,1)$ ， $(1,1)$ 和 $(1,0)$ 的整个正方形。提示：证明 $(0,0)$ 和 $(1,1)$ 在 $(0,1)$ 和 $(1,0)$ 的 $l_1$ 凸包中，然后利用习题 11。另外证明 $C((1,0), (0,1); \| \cdot \|_{\infty})$ 恰好是线段 $L((1,0), (0,1))$ 。

5. 再考虑 $\mathbf{R}$ 上的 $V = \mathbb{R}^2$ ，证明 $C((1, 1), (1, -1); \| \cdot \|_1)$ 是平面中顶点 $(0, 0)$ ， $(1, 1)$ ， $(2, 0)$ 和 $(1, -1)$ 的整个正方形。提示：证明 $(0, 0)$ 和 $(2, 0)$ 在 $(1, 1)$ 和 $(1, -1)$ 的 $l_{\infty}$ 凸包中。另外证明 $C((1, 1), (1, -1); \| \cdot \|_1)$ 恰好是线段 $L((1, 1), (1, -1))$ 。

6. 有 $k(\geqslant 2)$ 个点的点组 $\mathbb{S} \subset V$ 的度量凸包可以定义为所有这样一些 $z \in V$ 的点组成的集合，使得 $z$ 在两个点的度量凸包中，而这两个点中的每一点又在 $S$ 的某一对点的度量凸包中。证明，当 $k = 2$ 时，这与上述定义是一致的，描述 $\mathbf{R}^n$ 中的一组标准正交基向量 $\{e_1, e_2, \dots, e_n\}$ 的 $l_1$ 凸包。这个基的 $l_2$ 凸包是什么？这个基的普通线性代数凸包是什么？

进一步阅读关于向量范数的几何特性的进一步讨论见[Hou 64]. Von Neumann 在(5.4)节末引用的文章中采用了证明对偶性定理的关键思想（一个范数或准范数的单位球等同于所有包含该范数或准范数的单位球的所有半空间之交）．关于凸集，凸包，半空间等等的详细讨论见[Val].