5.0 导引

考虑 $\mathbf{C}^n$ 中的若干个向量或者 $M_{n}$ 中的若干个矩阵，说有些向量或矩阵“小”，而说另一些向量或矩阵“大”，这是什么意思？在什么情况下可以说两个向量“很接近”或者“离得很远”？

在二维及三维实向量空间中，“大小”问题与“接近”问题通常涉及到Euclid距离。向量 $z \in \mathbb{R}^n$ 的Euclid长度是 $(z^{\mathrm{T}}z)^{1/2} - (z^{\mathrm{I}}z)^{1/2}$ ，按该度量标准如果这个非负实数较小，就说 $z$ 是“小向量”。此外，说向量 $x$ 和 $y$ 离得“很近”，是指差 $z = x - y$ 的Euclid长度是一个很小的非负实数。

矩阵可以看成高维空间中的向量，那么矩阵的“大小”指的是什么？关于无限维空间中的向量的“大小”指的是什么？关于复向量呢？除了用Euclid长度以外，还有没有度量实向量“大小”的其他有效方法？

要回答这些问题，一个办法是研究矩阵与向量的范数或大小的度量。范数可以看作Euclid长度的推广。当然，研究范数并不仅仅是为了作一下数学推广而已。为了恰当地表达象矩阵幂级数这样一些概念，范数是必不可少的，并且在分析和评价关于数值计算的各种算法中，它也是必需的。此外，已被采用的各种不同的范数大体上可适用于各种场合，所以，研究所有范数所共有的一些性质，而不是把注意力集中到任何个别的范数上，这样做是可取的。

下述各例从几个方面说明引进范数的必要性.

5.0.1 例（收敛性）如果 $x$ 是复数，且 $|x| < 1$ ，我们知道，

(1 - x) ^ {1} - 1 + x + x ^ {2} \mid x ^ {3} + \dots .

它给出计算方阵 $I - A$ 的逆的公式

(I - A) ^ {1} = I \cdot | A | A ^ {\prime} + A ^ {3} + \dots ,

然而，什么时候这个公式才能成立呢？可以证明，这只要矩阵 $A$ 的范数小于1就行了，并且这对于任何范数也是如此！同样，利用范数可以证明，许多其他可以用来定义一个矩阵的矩阵值函数的幂级数是收敛的，因而其定义是有意义的，例如，

e ^ {A} \equiv \sum_ {k = 0} ^ {\infty} \frac {1}{k !} A ^ {k}

就是这样，为了按所要求的精确度计算一个特殊的函数值，范数也可以用来确定幂级数中所需要的项数，关于分析解方程组的迭代法的收敛性问题，也可以作类似的论述。

5.0.2 例（精确性）设 $f$ 是一个实变量的实值可微函数，我们知道，如果已知 $f(x)$ 在 $x = x_0$ 的值，则 $f$ 在其附近 $x = x_0 + h$ 的值可以用一阶导数

\frac {f \left(x _ {0} + h\right) - f \left(x _ {0}\right)}{h} = \frac {\Delta f}{\Delta x} \sim f ^ {\prime} \left(x _ {0}\right)

来估计。因此，在计算 $f$ 与 $x_0$ 的值时，如果实际上算出 $f$ 在附近 $x = x_0 + h$ 的值，那么，就有

一种估计相对误差的方法.

关于矩阵计算也会出现同样的问题。假定想计算 $A^{-1}$ （或 $A$ 的其他函数），但是 $A$ 的各元是通过实验、通过其他数据的分析、或者是从先验的计算得来的，并且不确切地知道这些数。这时可以把 $A$ 看成一个“真”的 $A_{0}$ 再加上一个误差 $E$ ，并且在计算 $A^{-1} = (A_{1} + E)^{-1}$ 而不是计算 $A_{0}^{-1}$ 时，我们想（用 $E$ 的“大小”）估计可能的“相对误差”，知道 $A^{-1}$ 与 $A_{0}^{-1}$ 之间的相差程度与知道 $A^{-1}$ 的精确值可能是同样重要的，而范数为处理这类问题提供了一个系统的方法。

5.0.3 例（界）对于与矩阵相关联的一些重要的量（例如特征值）的界常常要涉及范数，当矩阵产生扰动时，这些量的可能变化范围也要涉及范数。

5.0_导引

5.0 导引