6.0 导引

对角矩阵的特征值是很容易确定的，并且矩阵的特征值是其诸元素的连续函数，于是，我们自然要问，如果矩阵的非对角元相对于主对角元是“小”的，那么，关于它的特征值，我们是否能够说出任何有用的结果来。这样的矩阵的确在实际中出现；由数值离散化椭圆型偏微分方程的边值问题得来的大线性方程组就可能具有这种形式。

在某些涉及一个振动系统的长期稳定性的微分方程问题中，人们感兴趣的往往是要证明一个矩阵的所有特征值都位于左半平面内，即 $\operatorname{Re}(\lambda_{i}) < 0$ 。而在统计学或数值分析中，人们有时需要证明Hermite矩阵是正定的，即所有 $\lambda_{i} > 0$ 。

有时我们想在一个容易刻化的有界集上估计一个矩阵的特征值。我们知道，矩阵 $A$ 的所有特征值都位于复平面上中心在原点，半径为 $\| A\|$ 的圆盘中，其中 $\| \cdot \|$ 是任意矩阵范数。然而，能否用更准确的估计区域做出比这更好的估计，使得该区域肯定包含或不包含这些特征值呢？我们将会看到，这是能够做到的。

最后，假定确实知道 $A$ 的各特征值，又假定 $A$ 必然会产生扰动 $A \rightarrow A + E$ 。这时，特征值如何变化呢？因为 $A$ 的特征值是 $A$ 的各元的连续函数，所以有理由相信，如果扰动矩阵 $E$ 有一个足够小的变化，则特征值不会有太大的变化。但是需要有准确的界限，以便知道在每种情形下怎样小才是所谓的“小”。这里的基本问题与(5.8)节中相同，在那里，我们讨论了线性方程组的解对数据扰动的灵敏度。