附录C 代数基本定理

促使人们去建立复数域 $\mathbf{C}$ 的一个历史动机是实系数多项式可能有非实的复零点。例如，二次公式表明，方程 $x^{2} - 2x + 2 = 0$ 有根（解） $\{1 + i, 1 - i\}$ 。然而，任一实系数多项式的所有零点都包含在 $\mathbf{C}$ 中。事实上，当把可能的系数域扩充到 $\mathbf{C}$ 时，所有复系数多项式的所有零点仍然包含在 $\mathbf{C}$ 中。因此， $\mathbf{C}$ 是代数闭域的一个例子；也就是，不存在以 $\mathbf{C}$ 为其子域的域 $\mathbf{F}$ ，使得有一个系数取自 $\mathbf{C}$ 的多项式，它的根在 $\mathbf{F}$ 中而不在 $\mathbf{C}$ 中。

代数基本定理是说，次数至少是1的任一复系数多项式在复数中至少有一个零点 $z$ [即 $z$ 是方程 $p(x) = 0$ 的一个根]。运用综合除法可知，如果 $z$ 是 $p(x)$ 的零点，那么 $x - z$ 就除尽 $p(x)$ ；即， $p(x) = (x - z)q(x)$ ，其中， $q(x)$ 是复系数多项式，它的次数比 $p(x)$ 少1。于是 $p(x)$ 的诸零点是 $q(x)$ 的零点及 $z$ 。

下述定理是代数基本定理的一个推论.

定理 每个次数为 $n \geqslant 1$ 的复系数多项式在复数域中恰好有 $n$ 个根（重根按重数计算）.

$p(x) = 0$ 的一个根的重数是使 $(x - z)^n$ 除尽 $p(x)$ 的最大整数 $k$ ，即 $z$ 作为 $p(x) = 0$ 的根出现的次“数”。如果一个根有重数3，那么在 $p(x) = 0$ 的 $n$ 个根中，它要累计3次。由此推出，每个复系数多项式在复数域上总可以分解成线性因式的乘积。

不过，如果实系数多项式 $p(x)$ 有某些非实复根，那么它们必须成共轭对出现，因为，如果 $0 = p(z)$ ，则 $0 = \overline{0} = \overline{p(z)} = p(\overline{z})$ 。由于

由此得出，任一实多项式在实数域上可分解成线性因式和二次因式的幂的乘积，而每个不可约二次因式对应一对共轭复根.

进一步阅读 关于代数基本定理的一个初等证明可参看[Chi].

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