7.6_相合：乘积和同时对角化

7.6 相合：乘积和同时对角化

与正实数的乘法不同，普通的矩阵乘法不总保持正定性。两个Hermite矩阵的乘积甚至可以不是Hermite矩阵（只有当它们可交换时，乘积才是Hermite矩阵），且乘积诱导的二次型可以不是非负的。我们特别把这一节的重点放在正定矩阵上；关于Hermite矩阵的更一般的结果见(4.5)节。

7.6.1 例 设 A=[5−2−21]A = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} 和 B=[2111]B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} , AA 和 BB 是正矩定阵, 但 AB=[83−3−1]AB = \begin{bmatrix} 8 & 3 \\ -3 & -1 \end{bmatrix} 不是对称矩阵, H(AB)=[800−1]H(AB) = \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} 甚至连正定矩阵都不是.

但是，正定矩阵的普通乘积至少还保留了一点正性。我们的讨论要说明某些涉及矩阵的和与积的有用技巧。

7.6.2 定义 我们知道，两个矩阵 A,B′A, B' 相合，是指存在非奇异矩阵 C∈MnC \in M_n 使得 B=C∗ACB = C^*AC .

注意，和相似一样，相合是等价关系。有时在复的情形采用术语共轭相合，以便把它和实相合区别开来。

7.6.3 定理 正定矩阵 A∈MnA \in M_{n} 与 Hermite 矩阵 B∈MnB \in M_{n} 的乘积是可对角化矩阵，它的所有特征值都是实数。矩阵 ABAB 与 BB 有相同数目的正特征值，负特征值和零特征值。此外，任意只具有实特征值的可对角化矩阵是一个正定矩阵与一个 Hermite 矩阵的乘积。

证明：对于前一部分，注意到 A−1/2ABA1/2=A1/2BA1/2A^{-1/2}ABA^{1/2} = A^{1/2}BA^{1/2} ，于是后一个矩阵相似于 ABAB ，因而与它恰好有相同的特征值。因为 A1/2A^{1/2} 是Hermite矩阵，所以矩阵 A1/2BA1/2A^{1/2}BA^{1/2} 相合于 BB 。因此，根据Sylvester惯性定理(4.5.8)， BB 的特征值与 A1/2BA1/2A^{1/2}BA^{1/2} 的，因而与 ABAB 的特征值有相同的符号集。此外，因为 A1/2BA1/2A^{1/2}BA^{1/2} 是Hermite矩阵，它可对角化，因而 ABAB 也一定可对角化。关于后一个论断，假定 C∈MnC \in M_n 是可对角化矩阵，且只有实特征值： C=SDS1C = SDS^1 ，其中 DD 是实对角矩阵。则 C=S(S∗Sn−1)DS1=(SS∗)(S1∗DS−1)=ABC = S(S^*S^{n-1})DS^1 = (SS^*)(S^{1*}DS^{-1}) = AB ，其中 A≡SS∗A \equiv SS^* 是正定矩阵而 B≡S1∗DS−1B \equiv S^{1*}DS^{-1} 是Hermite矩阵。

两个矩阵可经相似同时对角化是不常有的，需要较强的附加条件：交换性。但是，两个Hermite矩阵可经共同的相合同时对角化所需要的假设条件就很弱。经相合同时对角化对应于用诸变量的一个线性变换把两个Hermite二次型变换成诸平方项的线性组合。下面的结果是经典的；关于综合的结果见(4.5.15)。

7.6.4 定理 设 A,B∈MnA, B \in M_{n} 是两个Hermite矩阵，且假定存在 AA 和 BB 的一个实线性组合可以是正定矩阵，则存在非奇异矩阵 C∈MnC \in M_{n} 使得 C∗ACC^{*}AC 和 C∗BCC^{*}BC 都是对角矩阵。

证明：假定对某个 α,β∈R,P=αA+βB\alpha, \beta \in \mathbb{R}, P = \alpha A + \beta B 是正定矩阵。 α\alpha 和 β\beta 中至少有一个必定非零，所以可以假定 β≠0\beta \neq 0 。但是，因为 B=β1(P−αA)B = \beta^{1}(P - \alpha A) ，如果能证明 AA 和 PP 可经相合同时对对角化，则可以得出， AA 和 BB 也可经相合同时对角化。由(7.2.7)可知， P∗P^{*} 相合于单位矩阵，即存在

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某个非奇异矩阵 C1∈MnC_1 \in M_n 使得 C1∗PC1=IC_1^* PC_1 = I . 因为 C1∗AC1C_1^* AC_1 是Hermite矩阵，所以存在酉矩阵 UU 使得 U∗C1∗AC1U=DU^* C_1^* AC_1 U = D 是对角矩阵。令 C=C1UC = C_1 U ，则有 C∗PC=IC^* PC = I 和 C∗AC=DC^* AC = D ，并且 C∗BC=β−1(I−αD)C^* BC = \beta^{-1}(I - \alpha D) 是对角矩阵。

这个结果最常见的应用是针对力学中的经典情形的，其中，两个实对称二次型是给定的且有一个是正定的.

7.6.5 推论 如果 A∈MnA \in M_{n} 是正定矩阵，且 B∈MB \in M 是Hermite矩阵，则存在非奇异矩阵 C∈MnC \in M_{n} ，使得 C∗BCC^{*}BC 是对角矩阵且 C∗AC=IC^{*}AC = I .

练习 试求诸变量的一个变换使得两个二次型 5x2−2xy+y25x^{2} - 2xy + y^{2} 和 x2+2xy−y2x^{2} + 2xy - y^{2} 都是平方项的加权和.

对于一个是正定矩阵，另一个是(复)对称矩阵的矩阵偶，也有类似的结果。这个结果也可以归并到(4.5.15)中。

7.6.6 定理 如果 A∈MnA \in M_{n} 是正定矩阵，且 B∈MnB \in M_{n} 是复对称矩阵，则存在一个非奇异矩阵 CC 使得 C∗ACC^{*}AC 和 C?BCC^{?}BC 都是对角矩阵。

证明：我们选取非奇异矩阵 C1∈MnC_1 \in M_n 使得 C1∗AC1=IC_1^* AC_1 = I 。于是 C1TBC1C_1^T BC_1 是对称矩阵，因而根据 Takagi 分解（4.4.4），存在酉矩阵 UU 使得 UT(C1TBC1)U=DU^T (C_1^T BC_1)U = D ，其中 DD 是对角矩阵。于是也有 U∗C1∗AC1U=IU^* C_1^* AC_1 U = I ，这样，可以取 C≡C1UC \equiv C_1 U □

这个结果可应用于复变函数论；关于单叶函数的 Grunsky 不等式是由正定 Hermite 矩阵和复对称矩阵所诱导的二次型之间的不等式。

下面的结果是(7.6.5)的直接应用

7.6.7 定理 函数 f(A)=log⁡det⁡Af(A) = \log \det A 是 MnM_{n} 中正定Hermite矩阵组成的凸集上的严格凹函数.

证明：对任意两个给定的正定矩阵 AA ， B∈MnB\in M_{n} ，必须证明，

f(αA+(1−α)B)⩾αf(A)+(1−α)f(B)(7.6.8)f (\alpha A + (1 - \alpha) B) \geqslant \alpha f (A) + (1 - \alpha) f (B) \tag {7.6.8}

对所有 α∈(0,1)\alpha \in (0,1) 成立，而其中等式成立当且仅当 A=BA = B 。利用(7.6.5)写出 A=CIC∗A = CIC^{*} 和 B=CAC∗B = CAC^{*} ，其中， C∈MnC \in M_{n} 是某个非奇异矩阵， Λ=diag(λ1,…,λn)\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n) ，且所有 λi>0\lambda_i > 0 。于是，

f(αA+(1−α)B)=f(C[αI+(1−α)A]C∗)=f(C∗+f(αI+(1−α)A)=f(A)+f(αI+(1−α)A),\begin{array}{l} f (\alpha A + (1 - \alpha) B) = f (C [ \alpha I + (1 - \alpha) A ] C ^ {*}) = f \left(C ^ {*} + f (\alpha I + (1 - \alpha) A\right) \\ = f (A) + f (\alpha I + (1 - \alpha) A), \\ \end{array}

且

αf(A)+(1−α)f(B)=αf(A)+(1−α)f(CAC∗)=αf(A)+(1−α)[f((X∗)+f(A)]=αf(A)+(1−α)f(A)+(1−α)f(A)=f(A)+(1−α)f(Λ).\begin{array}{l} \alpha f (A) + (1 - \alpha) f (B) = \alpha f (A) + (1 - \alpha) f (C A C ^ {*}) \\ = \alpha f (A) + (1 - \alpha) [ f ((X ^ {*}) + f (A) ] \\ = \alpha f (A) + (1 - \alpha) f (A) + (1 - \alpha) f (A) \\ = f (A) + (1 - \alpha) f (\Lambda). \\ \end{array}

因此只需证明，对所有 α∈(0,1)\alpha \in (0,1) ， f(αI+(1−α)Λ)⩾(1−α)f(Λ)f(\alpha I + (1 - \alpha)\Lambda) \geqslant (1 - \alpha)f(\Lambda) 对具有正对角元的任意对角矩阵 Λ\Lambda 成立。但这容易从对数函数本身的严格凹性推出，因为

f(αI+(1−α)A)=log⁡∏i=1n[α+(1−α)λi]=∑i=1nlog⁡[α+(1−α)λi]f (\alpha I + (1 - \alpha) A) = \log \prod_ {i = 1} ^ {n} [ \alpha + (1 - \alpha) \lambda_ {i} ] = \sum_ {i = 1} ^ {n} \log [ \alpha + (1 - \alpha) \lambda_ {i} ]
⩾∑i=1n[αlog⁡1+(1−α)log⁡λi]=(1−α)∑i=1nlog⁡λi=(1−α)log⁡∏i=1nλi=(1−α)log⁡det⁡Λ=(1−α)f(Λ).\begin{array}{l} \geqslant \sum_ {i = 1} ^ {n} [ \alpha \log 1 + (1 - \alpha) \log \lambda_ {i} ] \\ = (1 - \alpha) \sum_ {i = 1} ^ {n} \log \lambda_ {i} = (1 - \alpha) \log \prod_ {i = 1} ^ {n} \lambda_ {i} \\ = (1 - \alpha) \log \det \Lambda = (1 - \alpha) f (\Lambda). \\ \end{array}

这个不等式中的等式成立，当且仅当每个 λi=1\lambda_{i} = 1 ，而这能成立当且仅当 A=IA = I 且 B=CIC∗=AB = CIC^{*} = A

定理(7.6.7)常常采用下述形式，它是对不等式(7.6.8)取幂得到的，它对正定矩阵的凸组合是正定矩阵，因而一定是非奇异矩阵的事实给出了数量表示。

7.6.9 推论 设 A,B∈MnA, B \in M_{n} 是正定矩阵，且设 0<α<10 < \alpha < 1 。则

det⁡[αA+(1−a)B]⩾[det⁡A]a[det⁡B]1−a,\det [ \alpha A + (1 - a) B ] \geqslant [ \det A ] ^ {a} [ \det B ] ^ {1 - a},

其中等式成立当且仅当 A=BA = B

习题

  1. 假定 A∈MnA \in M_{n} 适合 A∗=S−1ASA^{*} = S^{-1}AS ，其中 S∈MnS \in M_{n} 是正定矩阵。证明 AA 可对角化且 AA 的所有特征值都是实数。提示：考虑 AS=SA∗AS = SA^{*} 。证明 ASAS 是Hermite矩阵，然后利用(7.6.3)。

  2. 证明 f(A)=tr⁡Af(A) = \operatorname{tr} A 是关于正定矩阵的严格凸函数。提示：（7.6.7）的证明。

  3. 如果 A∈MnA \in M_{n} 是半正定矩阵，如何推广（7.6.3）？证明， ABAB 的特征值还是实数，且 ABAB 的正特征值和负特征值不会比 BB 的多，不过它可能有更多的零特征值。

  4. 如果 B∈MnB \in M_{n} 不是Hermite矩阵，(7.6.3)可以推广到什么程度？

  5. 试用例子说明，可能两个Hermite矩阵可经相合同时对角化，但它们不满足(7.6.4)的假设条件。

  6. 设 A,B∈M2A, B \in M_2 是给定的 Hermite 矩阵，就 AA 和 BB 的特征值而论， ABAB 的两个特征值的实部的所有可能符号是什么？你能把它推广到 MnM_n 吗？

  7. 设 A,B∈MnA, B \in M_{n} 是Hermite矩阵，且 AA 是正定矩阵。试用(7.6.5)证明， A+BA + B 是正定矩阵，当且仅当 A−1BA^{-1}B 的每个特征值大于 −1-1 。提示： A+B=A(I+A−1B)A + B = A(I + A^{-1}B) 。

  8. 设 H∈MnH \in M_{n} 是 Hermite 矩阵，将 HH 写成 H=A+iBH = A + iB ，其中 A,B∈Mn(R)A, B \in M_{n}(\mathbb{R}) 。验证 AA 是对称矩阵而 BB 是斜对称矩阵，因而 BB 的特征值是纯虚的，且成共轭对出现。试证 HH 是正定矩阵当且仅当 AA 是正定矩阵且 iA−1BiA^{-1}B 的每个特征值大于 -1。提示：利用 x∗Hx=x∗Axx^{*}Hx = x^{*}Ax 对所有 x∈Rnx \in \mathbb{R}^{n} 成立的事实。利用习题 7。如果 AA 是正定矩阵，证明，如果 λ\lambda 是 iA−1BiA^{-1}B 的特征值，则 −λ-\lambda 亦是它的特征值。由此得出， HH 是正定矩阵，当且仅当 AA 是正定矩阵且 iA−1BiA^{-1}B 的每个特征值位于区间 (−1,1)(-1, 1) 内，并且 iA−1BiA^{-1}B 的特征值成对 {−λ,λ}\{-\lambda, \lambda\} 出现。由此得出 0⩽det⁡iA−1B<10 \leqslant \det iA^{-1}B < 1 ，因而 det⁡B<det⁡A\det B < \det A ，这是 H.P.Robertson 的不等式。现在记 H=A+iB=A(I+iA−1B)H = A + iB = A(I + iA^{-1}B) ，然后证明，如果 HH 是正定矩阵，则 det⁡H=det⁡Adet⁡(I+iA−1B)\det H = \det A\det (I + iA^{-1}B) 且 0<det⁡(I+iA−1B)<10 < \det (I + iA^{-1}B) < 1 。由此得出，如果 HH 是正定矩阵，则 det⁡H⩽det⁡A\det H \leqslant \det A ，这是 0。Taussky 的不等式。

  9. 由定理(4.1.7)可知，矩阵 A∈MnA \in M_{n} 是两个Hermite矩阵的乘积，当且仅当 AA 相似于实矩阵。试用(7.6.3)证明， A∈MnA \in M_{n} 是两个正定的Hermite矩阵的乘积，当且仅当 AA 可对角化且

只有正特征值. 提示: 关于逆命题, 考虑 A=SΔS−1=SS∗(S−1)∗AS−1A = S \Delta S^{-1} = SS^{*}(S^{-1})^{*} A S^{-1} .

  1. 如果 A,B∈MnA, B \in M_{n} 是正定矩阵，则我们知道，乘积 ABAB 是正定矩阵当且仅当 ABAB 是Hermite 矩阵。证明相同的结论对三个正定矩阵的乘积也成立；也就是说，如果 A,B,C∈MnA, B, C \in M_{n} 是正定矩阵，则乘积 S=ABCS = ABC 是正定矩阵，当且仅当它是Hermite 矩阵。提示：记 S=(AB)C=ECS = (AB)C = EC ，根据习题9，其中 EE 有 nn 个正特征值。利用(7.6.3)证明，如果 SS 是Hermite 矩阵，则 E=SC−1E = SC^{-1} 与 SS 有相同数目的正特征值。

  2. 对习题 10 中的结果的下述另一个证明作详细的论述：设 S(α)≡[(1−α)C+αA]BCS(\alpha) \equiv [(1 - \alpha)C + \alpha A]BC ，其中 0⩽α⩽10 \leqslant \alpha \leqslant 1 。如果 S(1)S(1) 是 Hermite 矩阵，又因为 S(0)=CBCS(0) = CBC 自然是 Hermite 矩阵，所以所有 S(α)S(\alpha) 都是 Hermite 矩阵。证明所有 S(α)S(\alpha) 都是非奇异的，因为 (1−α)C+αA(1 - \alpha)C + \alpha A 是非奇异的。 S(α)S(\alpha) 的诸特征值连续地依赖 α\alpha ，当 α=0\alpha = 0 时所有特征值是正的，因为所有 S(α)S(\alpha) 是非奇异的，故它无零特征值。由此得出 S(1)S(1) 的所有特征值是正的。

进一步阅读 关于取自各种正定类的矩阵所作乘积的其他结果，以及关于多个正定矩阵之积的较早结果，其有关的资料可参看 C. S. Ballantine and C. R. Johnson“Accretive Matrix Products,” Lin. Multilin. Alg. 3(1975)，169-185.

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