1.7 课后习题

练习1.1 证明: $(A, B) \triangleq \operatorname{tr}(B^{\mathsf{T}} A)$ 是 $\mathbb{R}^{n \times n}$ 上的内积

练习1.2 证明: $\| A\| _1 = \max_{1\leq j\leq n}\left(\sum_{i = 1}^n |a_{ij}|\right)$

练习1.3 (定理1.33) 证明不等式:

(1) $\| x\| _2\leq \| x\| _1\leq \sqrt{n}\| x\| _2$
(2) $\| x\|_{\infty}\leq \| x\| _1\leq n\| x\|_{\infty}$
(3) $\| x\|_{\infty}\leq \| x\|_{2}\leq \sqrt{n}\| x\|_{\infty}.$

练习1.4 证明：(1) $\frac{1}{\sqrt{n}} \| A \|_1 \leq \| A \|_2 \leq \sqrt{n} \| A \|_1$ ；(2) $\frac{1}{\sqrt{n}} \| A \|_\infty \leq \| A \|_2 \leq \sqrt{n} \| A \|_\infty$

(3) $\frac{1}{\sqrt{n}} \| A \|_F \leq \| A \|_2 \leq \| A \|_F$ ;

(4) $\frac{1}{\sqrt{n}} \| A \|_F \leq \| A \|_1 \leq \sqrt{n} \| A \|_F.$

练习1.5 (推论1.40)设 $A\in \mathbb{R}^{n\times n}$ 证明： $\| A\| _2^2\leq \| A\| _1\| A\|_{\infty}$ ，且

练习1.6设 $\| \cdot \|$ 是 $\mathbb{R}^m$ 空间上的一个向量范数, $A\in \mathbb{R}^{m\times n}$ ，且 $\mathrm{rank}(A) = n$ 证明： $\| x\| _A\triangleq \| Ax\|$ 是一个向量范数.特别地，如果 $A\in \mathbb{R}^m$ 非奇异，则 $\| x\| _A\triangleq \| Ax\|$ 是一个向量范数

练习1.7 设 $\| \cdot \|$ 是 $\mathbb{R}^n$ 空间上的一个向量范数. 证明: $\| A^{-1} \|^{-1} = \min_{\| x \| = 1} \| Ax \|$ .

练习 $1.8^{*}$ 设 $A\in \mathbb{R}^{n\times n}$ ，证明 $\| A\| _F^2\geq \sum_{i = 1}^n |\lambda_i(A)|^2.$

练习1.9设 $\| \cdot \|_{\alpha}$ 是定义在 $\mathbb{C}^{n\times n}$ 上的一个矩阵范数.证明：存在 $\mathbb{C}^n$ 上的向量范数 $\| \cdot \|_{\beta}$ ，该范数与 $\| \cdot \|_{\alpha}$ 相容，即

练习1.10 设 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ . 试证明对任意矩阵范数都有 $\rho(A) \leq \|A\|$ .

练习1.11 设 $(\cdot, \cdot)$ 是 $\mathbb{C}^n$ 上的内积. 证明: $\|x\| \triangleq \sqrt{(x, x)}$ 是 $\mathbb{C}^n$ 上的一个向量范数.

练习1.12 设 $J = \left[ \begin{array}{cccc}\lambda & \varepsilon & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & \varepsilon \\ & & & \lambda \end{array} \right],$ 其中 $\lambda \geq 0,\varepsilon \geq 0.$ 证明 $\| J\| _2\leq \lambda +\varepsilon .$

练习1.13 设 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ , $x \in \mathbb{R}^n$ 且 $x \neq 0$ . 证明

练习1.14 (定理1.29) 设 $P \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是 $\mathbb{S}_1$ 上与 $\mathbb{S}_2$ 正交的投影矩阵. 证明:

其中 $V = [v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{m}]$ 和 $W = [w_{1}, w_{2}, \ldots, w_{m}]$ 的列向量组分别构成 $\mathbb{S}_1$ 和 $\mathbb{S}_2$ 的一组基. 练习 1.15 (定理 1.31) 证明: 投影矩阵 $P \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是正交投影矩阵的充要条件 $P^{\mathsf{T}} = P$

练习1.16 (定理1.42)设 $\mathbb{S}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的一个子空间， $z\in \mathbb{R}^n$ 是一个给定的向量，则最佳逼近问题

的唯一解为

即 $\mathbb{S}$ 中距离 $z$ 最近 (在 2-范数意义下) 的向量是 $z$ 在 $\mathbb{S}$ 中的正交投影.

练习1.17 (推论1.43)设 $A\in \mathbb{R}^{n\times n}$ 对称正定， $\mathbb{S}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的一个子空间,给定 $z\in \mathbb{R}^n$ ，则 $x_{*}$ 是最佳逼近问题

的解的充要条件是

此处 $\| \cdot \| _A$ 的定义为： $\| x - z\| _A\triangleq \sqrt{(x - z)^{\mathsf{T}}A(x - z)}.$

练习1.18 (定理1.51) 证明: $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 正定 (半正定) 的充要条件是矩阵 $H = \frac{1}{2}(A + A^*)$ 正定 (半正定).

练习1.19 (定理1.52) 证明: $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 正定 (半正定) 的充要条件是对任意非零向量 $x \in \mathbb{R}^n$ 有 $x^{\top}Ax > 0$ ( $x^{\top}Ax \geq 0$ ).

练习1.20 设 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ , $B \in \mathbb{R}^{n \times m}$ , 证明: $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ .

练习1.21 (定理1.61) 设 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 是不可约对角占优矩阵, 证明: $A$ 非奇异.

练习1.22 (Sherman-Morrison公式) 设 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 非奇异, $x, y \in \mathbb{R}^n$ .

证明：若 $y^{\mathsf{T}}A^{-1}x\neq 1$ ，则 $A - xy^{\mathsf{T}}$ 可逆，且

练习1.23 证明下面的结论：

(1) 设 $A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 可交换, 即 $AB = BA$ . 若 $A$ 是对角矩阵且对角线元素互不相等, 则 $B$ 也是对角矩阵.
(2) 设 $A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 可交换, 即 $AB = BA$ . 若 $A$ 是块对角矩阵且对角块为标量矩阵, 即 $A = \lambda_1 I_{n_1} \oplus \lambda_2 I_{n_2} \oplus \dots \oplus \lambda_p I_{n_p}$ , 其中 $n_1 + n_2 + \dots + n_p = n$ , 且 $\lambda_i$ 互不相等, 则 $B$ 是具有相应分块结构的块对角矩阵, 即 $B = B_1 \oplus B_2 \oplus \dots \oplus B_p$ , 其中 $B_i \in \mathbb{R}^{n_i \times n_i}, i = 1, 2, \ldots, p$ .

(3) 设 $A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 都是对称矩阵, 则 $AB = BA$ 的充要条件是存在正交矩阵 $Q$ 使得

其中 $\Lambda_{A}$ 和 $\Lambda_{B}$ 分别表示由 $A$ 和 $B$ 的特征值构成的对角矩阵.

练习1.24 判断下列矩阵是否可约：

(1) $\left[ \begin{array}{lll}1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right],$

(2) $\left[ \begin{array}{lll}0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right],$

(3) $\left[ \begin{array}{rrr}0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 2\\ -3 & 0 & 0 \end{array} \right].$

练习 $1.25^{*}$ (定理 1.54) 设 $(\cdot, \cdot)$ 是 $\mathbb{C}^n$ 上的一个内积. 证明: 存在一个 Hermite 正定矩阵 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 使得 $(x, y) = y^{*}Ax$ 对任意 $x, y \in \mathbb{C}^n$ 都成立. 反之, 若 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 是 Hermite 正定矩阵, 则 $f(x, y) \triangleq y^{*}Ax$ 是 $\mathbb{C}^n$ 上的一个内积.

练习 $1.26^{*}$ 设 $B \in \mathbb{R}^{m \times n} (m \leq n)$ 是满秩矩阵, $C \in \mathbb{R}^{m \times m}$ 是对称半正定矩阵. 证明:

是对称半正定的.

练习 $1.27^{*}$ 设 $P$ 是置换矩阵, 则 $P$ 可以表示为一系列初等置换矩阵 (即交换单位矩阵的两行所得到的矩阵) 的乘积. 试问在什么条件下, 有 $P^{\mathsf{T}} = P$ .

以下为可选题

练习1.28 设 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ( $m < n$ ) 是满秩矩阵, $Z \in \mathbb{R}^{n \times (n - m)}$ 是由 $\ker(A)$ 的一组基构成的矩阵. 证明:

练习1.29 设 $A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ , 证明:

(1) 若 $AB = 0$ ，则 $\operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) \leq n$ .
(2) 若 $A^2 = A$ , 则 $\operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(I - A) = n$ .
(3) 若 $A^2 = I$ ，则 $\operatorname{rank}(I + A) + \operatorname{rank}(I - A) = n$ .

练习1.30 设 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 和 $k (k \geq 1)$ 次首1多项式 $p(t)$ . 证明:

(1) 若 $(\lambda, x)$ 是 $A$ 的一个特征对, 则 $(p(\lambda), x)$ 是 $p(A)$ 的一个特征对.
(2) 反之, 若 $\mu$ 是 $p(A)$ 的一个特征值, 则存在 $A$ 的一个特征值 $\lambda$ , 使得 $\mu = p(\lambda)$ .

练习1.31 设 $A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 都是正交矩阵，且 $\operatorname*{det}(A) = -\operatorname*{det}(B)$ . 证明： $A + B$ 奇异

练习1.32 证明: 定义在 $\mathbb{R}^{n \times n}$ 上的算子范数和 $F$ -范数都是相容范数

练习1.33 证明：

(1) 对任意的算子范数 $\| \cdot \|$ ，有 $\| I \| = 1$
(2) 对任意的相容范数 $\| \cdot \|$ , 有 $\| I \| \geq 1$ .

练习1.34 证明: $\| A\| \triangleq \max_{1\leq i,j\leq n}|a_{ij}|$ 是矩阵范数, 但不是相容范数.

练习1.35 设 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是正交矩阵. 证明: $\operatorname*{det}(A) = \pm 1$ .

练习1.36 设 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ . 证明: $\operatorname{rank}(A) = 1$ 的充要条件是存在非零向量 $a, b \in \mathbb{R}^n$ 使得 $A = ab^{\mathsf{T}}$ .

练习1.37 设 $A_{k}$ 是 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 的一个 $k$ 阶子矩阵. 证明: $\| A_{k} \|_{p} \leq \| A \|_{p}$ .

练习1.38 设 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}, U, V \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是正交矩阵. 证明:

练习1.39 设 $A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ , 矩阵

证明： $\| C\| _2 = \max \{\| A\| _2,\| B\| _2\} ,\| D\| _2 = \max \{\| A\| _2,\| B\| _2\} .$

练习1.40 设 $\alpha \in \mathbb{R}, x \in \mathbb{R}^n$ , 矩阵 $A = \begin{bmatrix} \alpha & x^{\mathrm{T}} \\ x & 0 \end{bmatrix}$ . 证明: $\| A \|_2 \leq |\alpha| + \| x \|_2$ .

练习1.41 设 $P \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是一个投影矩阵, 且秩为 $r$ , 计算 $P$ 的所有特征值.

练习1.42 (引理1.27) 设 $P \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是一个投影矩阵. 证明: $\operatorname{Ker}(P) = \operatorname{Ran}(I - P)$ .

练习1.43 设 $P$ 是从 $\mathbb{S}$ 沿 $\mathbb{S}_1$ 到 $\mathbb{S}_2$ 上的投影变换, $V = [v_1, v_2, \ldots, v_m]$ 构成 $\mathbb{S}_1$ 的一组基, $W = [w_1, w_2, \ldots, w_{n-m}]$ 构成 $\mathbb{S}_2$ 的一组基. 证明:

练习1.44设 $A\in \mathbb{R}^{m\times n}$ $(m < n)$ 是满秩矩阵， $Z\in \mathbb{R}^{n\times (n - m)}$ 是由 $\operatorname {Ker}(A)$ 的一组基构成的矩阵证明：

(1) $P_{Z} \triangleq Z(Z^{\mathsf{T}}Z)^{-1}Z^{\mathsf{T}}$ 是 $\operatorname{Ker}(A)$ 上的正交投影算子;
(2) $P_A \triangleq A^\top (AA^\top)^{-1}A$ 是 $\operatorname{Ran}(A^\top)$ 上的正交投影算子;
(3) $P_{Z} = I - P_{A}$ .

练习1.45 设 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 非奇异, $X, Y \in \mathbb{R}^{n \times m}$ ( $n \geq m$ ).

证明：若 $Y^{\mathsf{T}}A^{-1}X - I$ 非奇异，则 $A - XY^{\mathsf{T}}$ 可逆，且

练习 $1.46^{*}$ 设 $A = \left[ \begin{array}{cc}B & C\\ 0 & D \end{array} \right],$ 其中 $B,D\in \mathbb{C}^{n\times n}$ 均为上三角矩阵,且 $B$ 和 $D$ 的对角线元素互不相等.证明：存在矩阵 $S,$ 使得 $S^{-1}AS = \left[ \begin{array}{ll}B & 0\\ 0 & D \end{array} \right].$ （提示：可设 $S = \left[ \begin{array}{ll}I & \tilde{S}\\ 0 & I \end{array} \right]$

练习1.47 设 $x, y, z \in \mathbb{R}^n$ , 试证明:

(1) $[x\otimes z,y\otimes z] = [x,y]\otimes z$
(2) $[x\otimes y,x\otimes z] = x\otimes [y,z]$

练习1.48 设 $a \in \mathbb{R}$ , 证明: