27.2_泰勒展开的理论知识

27.2 泰勒展开的理论知识

下面进入正题。我们思考一下如何用另一种方法求出sin函数的导数。所谓的另一种方法就是使用泰勒展开。泰勒展开是使用多项式逼近任意函数的方法。式子如下所示。

f (x) = f (a) + f ^ {\prime} (a) (x - a) + \frac {1}{2 !} f ^ {\prime \prime} (a) (x - a) ^ {2} + \frac {1}{3 !} f ^ {\prime \prime \prime} (a) (x - a) ^ {3} + \dots \tag {27.1}

式子27.1就是 $f(x)$ 在点 $a$ 的泰勒展开。 $a$ 是任意值， $f(a)$ 是 $f(x)$ 在点 $a$ 的值。式子中的 $f'$ 表示一阶导数， $f''$ 表示二阶导数， $f'''$ 表示三阶导数。式子中的符号！表示阶乘（factorial）， $n! (n$ 的阶乘）是从1到 $n$ 的所有整数的乘积，例如， $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 。

二阶导数是对普通导数进一步求导的结果。以物理学概念为例，位置的导数(变化)是速度，速度的导数(变化)是加速度。在这个例子中，速度对应于一阶导数，加速度对应于二阶导数。

利用泰勒展开，以点 $a$ 为起点， $f(x)$ 可以表示为式子27.1。式子27.1中的项包括一阶导数、二阶导数、三阶导数……如果在某一阶停止，得到的就是 $f(x)$ 的近似值。近似值中包含的项数越多，近似值的精度就越高。

$a = 0$ 时的泰勒展开也叫麦克劳林展开。将 $a = 0$ 代入式子27.1，可得式子27.2。

f (x) = f (0) + f ^ {\prime} (0) x + \frac {1}{2 !} f ^ {\prime \prime} (0) x ^ {2} + \frac {1}{3 !} f ^ {\prime \prime \prime} (0) x ^ {3} + \dots \tag {27.2}

从式子27.2可以看出，通过将 $a$ 限制为 $a = 0$ ，我们得到的数学式更加简洁。现在将 $f(x) = \sin (x)$ 代入式子27.2，此时 $f^{\prime}(x) = \cos (x),f^{\prime \prime}(x) = -\sin (x),$ $f^{\prime \prime \prime}(x) = -\cos (x),f^{\prime \prime \prime}(x) = \sin (x),\dots$ 。另外，由于 $\sin (0) = 0$ ， $\cos (0) = 1$ 所以可推导出以下式子。

\sin (x) = \frac {x}{1 !} - \frac {x ^ {3}}{3 !} + \frac {x ^ {5}}{5 !} - \dots = \sum_ {i = 0} ^ {\infty} (- 1) ^ {i} \frac {x ^ {2 i + 1}}{(2 i + 1) !} \tag {27.3}

从式子27.3可以看出， $\sin$ 函数用 $x$ 的多项式表示，多项式的项无限延续。这里很重要的一点是，随着 $\sum$ 的 $i$ 的增大，近似值的精度会升高。另外，随着 $i$ 的增大， $(-1)^{i}\frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!}$ 的绝对值会越来越小，所以我们可以根据这个绝对值来确定 $i$ 的值（重复次数）。