12._考研试题训练

方程组基础解系是整个线性代数核心内容，因此，需要通过大量习题进行训练。

方程组解系例题实战

方程组 Ax=0A x=0 的基础解系的讨论

基础解系是一个十分重要的知识点, 给出

Am×nx=0,r(A)=r,\boldsymbol{A}_{m \times n} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}, \quad r(\boldsymbol{A})=r,

若向量组 α1,α2,⋯ ,αs\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s 满足: (1) Aαi=0,i=1,2,⋯ ,s\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_i=\mathbf{0}, i=1,2, \cdots, s; (2) α1,α2,⋯ ,αs\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s 线性无关; (3) s=n−rs=n-r, 则称 α1\boldsymbol{\alpha}_1, α2,⋯ ,αs\boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s 为 Ax=0\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0} 的基础解系. 读者要验证上述(1)(2)(3)是否都成立, 缺一不可.

例 设 A=[a11a12a13a21a22a23],B=[b11b12b21b22b31b32]\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32}\end{array}\right], 若 AB=[1021]\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\right], 则齐次线性方程组 Ax=0,By=\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}, \boldsymbol{B} \boldsymbol{y}= 0 线性无关解的个数分别是 ( ). (A) 0,1 (B) 1,0 (C) 2,1 (D) 2,0 解 应选 (B). 齐次线性方程组线性无关解的个数取决于其系数矩阵的秩. 由 AB=[1021]\boldsymbol{A B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\right], 知 r(AB)=2r(\boldsymbol{A B})=2, 即有

2=r(AB)⩽min⁡{r(A),r(B)}⩽min⁡{2,3}.2=r(\boldsymbol{A B}) \leqslant \min \{r(\boldsymbol{A}), r(\boldsymbol{B})\} \leqslant \min \{2,3\} .

因此 r(A)=r(B)=2r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})=2, 所以齐次线性方程组 Ax=0,By=0\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}, \boldsymbol{B} \boldsymbol{y}=\mathbf{0} 线性无关解的个数分别为 3−r(A)=1,2−3-r(\boldsymbol{A})=1,2- r(B)=0r(\boldsymbol{B})=0, 故本题应选 (B).

例 设 A=[α1,α2,α3,α4]\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4\right] 是 4 阶矩阵, A∗\boldsymbol{A}^* 为 A\boldsymbol{A} 的伴随矩阵, 若 [1,0,1,0]T[1,0,1,0]^{\mathrm{T}} 是方程组 Ax=0\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0} 的一个基础解系, 则 A∗x=0\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\mathbf{0} 的基础解系可以为 ( ). (A) α1,α3\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_3 (B) α1,α2\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2 (C) α1,α2,α3\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3 (D) α2,α3,α4\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4 解 应选 (D). 依题设, 知 r(A)=4−1=3,∣A∣=0r(\boldsymbol{A})=4-1=3,|\boldsymbol{A}|=0, 且 r(A∗)=1r\left(\boldsymbol{A}^*\right)=1. 又由 A∗A=∣A∣E=O\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{A}=|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{E}=\boldsymbol{O}, 知 A\boldsymbol{A} 的列向量都为方程组 A∗x=0\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\mathbf{0} 的解, 由 r(A∗)=1r\left(\boldsymbol{A}^*\right)=1, 知 A∗x=0\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\mathbf{0} 的基础解系由三个线性无关解构成. 又因 [1,0,1,0]T[1,0,1,0]^{\mathrm{T}} 是方程组 Ax=0\boldsymbol{A x}=\mathbf{0} 的一个解, 有 1α1+0α2+1α3+0α4=01 \boldsymbol{\alpha}_1+0 \boldsymbol{\alpha}_2+1 \boldsymbol{\alpha}_3+0 \boldsymbol{\alpha}_4=\mathbf{0}, 知 α1,α3\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_3线性相关, 从而知 α2,α3,α4\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4 或 α1,α2,α4\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_4 是 A∗x=0\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\mathbf{0} 的一个基础解系, 故选择 (D).

例设 ξ1,ξ2,ξ3\xi_1, \xi_2, \xi_3 是方程组 Ax=0\boldsymbol{A x}=\mathbf{0} 的基础解系, 则下列向量组中也是方程组 Ax=0\boldsymbol{A x}=\mathbf{0} 的基础解系的是 ( ). (A) ξ1−ξ2,ξ2−ξ3,ξ3−ξ1\xi_1-\xi_2, \xi_2-\xi_3, \xi_3-\xi_1 (B) ξ1+ξ2,ξ2−ξ3,ξ3+ξ1\xi_1+\xi_2, \xi_2-\xi_3, \xi_3+\xi_1 (C) ξ1+ξ2−ξ3,ξ1+2ξ2+ξ3,2ξ1+3ξ2\xi_1+\xi_2-\xi_3, \xi_1+2 \xi_2+\xi_3, 2 \xi_1+3 \xi_2 (D) ξ1+ξ2,ξ2+ξ3,ξ3+ξ1\xi_1+\xi_2, \xi_2+\xi_3, \xi_3+\xi_1 分析 本题基础解系应由三个线性无关的解向量组成, 题设的四个选项, 均是三个向量, 且由解的性质知, 三个向量均是解向量, 故关键是看哪个选项是线性无关向量组. 解 应选 (D).

(ξ1−ξ2)+(ξ2−ξ3)+(ξ3−ξ1)=0;−(ξ1+ξ2)+(ξ2−ξ3)+(ξ3+ξ1)=0;2ξ1+3ξ2=(ξ1+ξ2−ξ3)+(ξ1+2ξ2+ξ3).\begin{aligned} & \left(\xi_1-\boldsymbol{\xi}_2\right)+\left(\boldsymbol{\xi}_2-\boldsymbol{\xi}_3\right)+\left(\boldsymbol{\xi}_3-\boldsymbol{\xi}_1\right)=\mathbf{0} ; \\ & -\left(\boldsymbol{\xi}_1+\boldsymbol{\xi}_2\right)+\left(\boldsymbol{\xi}_2-\boldsymbol{\xi}_3\right)+\left(\boldsymbol{\xi}_3+\boldsymbol{\xi}_1\right)=\mathbf{0} ; \\ & 2 \xi_1+3 \boldsymbol{\xi}_2=\left(\boldsymbol{\xi}_1+\boldsymbol{\xi}_2-\boldsymbol{\xi}_3\right)+\left(\boldsymbol{\xi}_1+2 \boldsymbol{\xi}_2+\boldsymbol{\xi}_3\right) . \end{aligned}

故 (A), (B), (C)中向量组都是线性相关的, 由排除法, 应选(D).

对于(D),

[ξ1+ξ2,ξ2+ξ3,ξ3+ξ1]=[ξ1,ξ2,ξ3][101110011],\left[\xi_1+\xi_2, \xi_2+\xi_3, \xi_3+\xi_1\right]=\left[\xi_1, \xi_2, \xi_3\right]\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right],

其中 ξ1,ξ2,ξ3\xi_1, \xi_2, \xi_3 线性无关, 又

∣101110011∣=2≠0,\left|\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right|=2 \neq 0,

因此 ξ1+ξ2,ξ2+ξ3,ξ3+ξ1\xi_1+\xi_2, \xi_2+\xi_3, \xi_3+\xi_1 是线性无关的, 故应选(D).

线性方程组系数矩阵列向量和解的关系

（1）齐次线性方程组

α1x1+α2x2+⋯+αnxn=0\boldsymbol{\alpha}_1 x_1+\boldsymbol{\alpha}_2 x_2+\cdots+\boldsymbol{\alpha}_n x_n=\mathbf{0}

的解是使 α1,α2,⋯ ,αn\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n 的线性组合为零向量时的线性组合的系数. （2）非齐次线性方程组

α1x1+α2x2+⋯+αnxn=β\boldsymbol{\alpha}_1 x_1+\boldsymbol{\alpha}_2 x_2+\cdots+\boldsymbol{\alpha}_n x_n=\boldsymbol{\beta}

的解是 β\boldsymbol{\beta} 由 α1,α2,⋯ ,αn\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n 线性表出的表出系数. 简而言之, “方程组的解就是描述列向量组中各向量之间数量关系的系数. ”这个观点对于解题也很有用处.

例 已知 A=[α1,α2,α3,α4]\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4\right], 其中 α1,α2,α3,α4\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4 是 4 维列向量, 且 α1=2α2+α3,r(A)=3\boldsymbol{\alpha}_1=2 \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, r(\boldsymbol{A})=3. 若 β=α1+2α2+3α3+4α4\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}_1+2 \boldsymbol{\alpha}_2+3 \boldsymbol{\alpha}_3+4 \boldsymbol{\alpha}_4, 则线性方程组 Ax=β\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta} 的通解是 \qquad 解 应填 k[1,−2,−1,0]T+[1,2,3,4]Tk[1,-2,-1,0]^{\mathrm{T}}+[1,2,3,4]^{\mathrm{T}}, 其中 kk 是任意常数. 因 α1−2α2−α3=α1−2α2−α3+0α4=0\boldsymbol{\alpha}_1-2 \boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3=\boldsymbol{\alpha}_1-2 \boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3+0 \boldsymbol{\alpha}_4=\mathbf{0}, 故 ξ=[1,−2,−1,0]T\boldsymbol{\xi}=[1,-2,-1,0]^{\mathrm{T}} 是对应齐次线性方程组的非零解, 又 η=[1,2,3,4]T\boldsymbol{\eta}=[1,2,3,4]^{\mathrm{T}} 是 Ax=β\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta} 的特解, r(A)=3r(\boldsymbol{A})=3, 故线性方程组 Ax=β\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta} 的通解为 kξ+ηk \boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\eta}, 其中 kk 是任意常数.

例 已知线性方程组

α1x1+α2x2+α3x3+α4x4=α5\boldsymbol{\alpha}_1 x_1+\boldsymbol{\alpha}_2 x_2+\boldsymbol{\alpha}_3 x_3+\boldsymbol{\alpha}_4 x_4=\boldsymbol{\alpha}_5

有通解 [2,0,0,1]T+k[1,−1,2,0]T[2,0,0,1]^{\mathrm{T}}+k[1,-1,2,0]^{\mathrm{T}}, 则下列说法正确的是 ( ). (A) α5\boldsymbol{\alpha}_5 可由 α1,α2,α3\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3 线性表出 (B) α4\boldsymbol{\alpha}_4 不能由 α1,α2,α3\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3 线性表出 (C) α5\boldsymbol{\alpha}_5 不能由 α2,α3,α4\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4 线性表出 (D) α4\boldsymbol{\alpha}_4 不能由 α1,α2,α5\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_5 线性表出 解 应选 (B). 由题设条件知

α5=(k+2)α1−kα2+2kα3+α4.\boldsymbol{\alpha}_5=(k+2) \boldsymbol{\alpha}_1-k \boldsymbol{\alpha}_2+2 k \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4 .

α5\boldsymbol{\alpha}_5 的表出式中必定有 α4\boldsymbol{\alpha}_4, 故 α5\boldsymbol{\alpha}_5 不可由 α1,α2,α3\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3 表出, 排除 (A); α5\boldsymbol{\alpha}_5 可由 α2,α3,α4\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4 表出, 取 k=−2k=-2, 即有 α5=2α2−4α3+α4\boldsymbol{\alpha}_5=2 \boldsymbol{\alpha}_2-4 \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4, 排除 (C); α4\boldsymbol{\alpha}_4 可由 α1,α2,α5\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_5 表出, 取 k=0k=0, 即有 α4=α5−2α1+0α2\boldsymbol{\alpha}_4=\boldsymbol{\alpha}_5-2 \boldsymbol{\alpha}_1+0 \boldsymbol{\alpha}_2, 排除 (D). 由排除法,应选 (B). 对于 (B), 由题设条件知 r(α1,α2,α3,α4)=3r\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4\right)=3. 若 α4\boldsymbol{\alpha}_4 可由 α1,α2,α3\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3 线性表出, 因 α1−α2+2α3=0\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+2 \boldsymbol{\alpha}_3=\mathbf{0}, 则 r(α1,α2,α3,α4)⩽2r\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4\right) \leqslant 2, 这和 r(α1,α2,α3,α4)=3r\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4\right)=3 矛盾, 故(B) 成立.

两个方程组的公共解

(1) 齐次线性方程组 Am×nx=0\boldsymbol{A}_{m \times n} \boldsymbol{x}=0 和 Bm×nx=0\boldsymbol{B}_{m \times n} \boldsymbol{x}=\mathbf{0} 的公共解是满足方程组 [AB]x=0\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B}\end{array}\right] x=0 的解, 即联立求解.同理, 可求 Ax=α\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\alpha} 与 Bx=β\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta} 的公共解. 这里对读者的计算能力要求较高, 理论上没有什么难点. （2）求出 Am×nx=0\boldsymbol{A}_{m \times n} \boldsymbol{x}=\mathbf{0} 的通解 k1ξ1+k2ξ2+⋯+ksξsk_1 \boldsymbol{\xi}_1+k_2 \boldsymbol{\xi}_2+\cdots+k_s \boldsymbol{\xi}_s, 代人 Bm×nx=0\boldsymbol{B}_{m \times n} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}, 求出 ki(i=1,2,⋯ ,s)k_i(i=1,2, \cdots, s) 之间的关系,代回 Am×nx=0A_{m \times n} x=0 的通解, 即得公共解. （3）若给出 Am×nx=0\boldsymbol{A}_{m \times n} \boldsymbol{x}=\mathbf{0} 的基础解系 ξ1,ξ2,⋯ ,ξs\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2, \cdots, \boldsymbol{\xi}_s 与 Bm×nx=0\boldsymbol{B}_{m \times n} \boldsymbol{x}=\mathbf{0} 的基础解系 η1,η2,⋯ ,ηt\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \cdots, \boldsymbol{\eta}_t, 则公共解 γ=\boldsymbol{\gamma}= k1ξ1+k2ξ2+⋯+ksξs=l1η1+l2η2+⋯+ltηtk_1 \xi_1+k_2 \xi_2+\cdots+k_s \xi_s=l_1 \boldsymbol{\eta}_1+l_2 \boldsymbol{\eta}_2+\cdots+l_t \boldsymbol{\eta}_t, 即

k1ξ1+k2ξ2+⋯+ksξs−l1η1−l2η2−⋯−ltηt=0,k_1 \xi_1+k_2 \xi_2+\cdots+k_s \xi_s-l_1 \boldsymbol{\eta}_1-l_2 \boldsymbol{\eta}_2-\cdots-l_t \boldsymbol{\eta}_t=\mathbf{0},

解此式, 求出 kik_i 或 lj,i=1,2,⋯ ,s,j=1,2,⋯ ,tl_j, i=1,2, \cdots, s, j=1,2, \cdots, t, 即可求出 γ\gamma.

例 已知线性方程组 ( I ) {x1+x2=0,x2−x4=0,\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=0, \\ x_2-x_4=0,\end{array}\right. ( II ) {x1−x2+x3=0,x2−x3+x4=0.\left\{\begin{array}{l}x_1-x_2+x_3=0, \\ x_2-x_3+x_4=0 .\end{array}\right. (1) 分别求方程组 ( I ), ( II ) 的基础解系; (2)求方程组 ( I ), ( II ) 的公共解.

解 (1) 由方程组 (I) 得其系数矩阵为

A=[1100010−1],\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{array}\right],

解得其基础解系为

ξ1=[0,0,1,0]T,ξ2=[−1,1,0,1]T.\boldsymbol{\xi}_1=[0,0,1,0]^{\mathrm{T}}, \quad \boldsymbol{\xi}_2=[-1,1,0,1]^{\mathrm{T}} .

同理, 方程组 (II)的系数矩阵为

B=[1−11001−11],\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right],

其基础解系为

η1=[0,1,1,0]T,η2=[−1,−1,0,1]T.\boldsymbol{\eta}_1=[0,1,1,0]^{\mathrm{T}}, \quad \boldsymbol{\eta}_2=[-1,-1,0,1]^{\mathrm{T}} .

(2) 方法一 直接解 ( I ), ( II ) 的联立方程组, 即求解 [AB]x=0\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B}\end{array}\right] \boldsymbol{x = 0}. 因

[AB]=[1100010−11−11001−11]⟶[1100010−10−21000−12]⟶[1100010−1001−200−12]⟶[1100010−1001−20000]⟶[1001010−1001−20000],\begin{aligned} {\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} \end{array}\right] } & =\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right] \longrightarrow\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{array}\right] \\ & \longrightarrow\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{array}\right] \longrightarrow\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \longrightarrow\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right], \end{aligned}

故得方程组 (I),(II)(\mathrm{I}),(\mathrm{II}) 的公共解为 k[−1,1,2,1]Tk[-1,1,2,1]^{\mathrm{T}}, 其中 kk 是任意常数. 方法二 在方程组 (I) 的通解中找出满足方程组 (II) 的解 (或在 (II) 的通解中找出满足 (I) 的解),即是 (I), ( II ) 的公共解. 方程组 (I) 的通解为 k1ξ1+k2ξ2=[−k2,k2,k1,k2]Tk_1 \xi_1+k_2 \xi_2=\left[-k_2, k_2, k_1, k_2\right]^{\mathrm{T}}, 代人方程组 (II), 得

{−k2−k2+k1=0k2−k1+k2=0\left\{\begin{array}{l} -k_2-k_2+k_1=0 \\ k_2-k_1+k_2=0 \end{array}\right.

解得 k1=2k2k_1=2 k_2, 代人方程组 (I) 的通解, 得方程组 (I), (II) 的公共解是

[−k2,k2,2k2,k2]T=k2[−1,1,2,1]T, \left[-k_2, k_2, 2 k_2, k_2\right]^{\mathrm{T}}=k_2[-1,1,2,1]^{\mathrm{T}} \text {, }

其中 k2k_2 是任意常数. 方法三 从方程组 (I), ( II )的通解中找出公共解. (I) 的通解为 k1ξ1+k2ξ2k_1 \boldsymbol{\xi}_1+k_2 \boldsymbol{\xi}_2, (II) 的通解为 l1η1+l2η2l_1 \boldsymbol{\eta}_1+l_2 \boldsymbol{\eta}_2, 则公共解应满足 k1ξ1+k2ξ2=l1η1+l2η2k_1 \boldsymbol{\xi}_1+k_2 \boldsymbol{\xi}_2=l_1 \boldsymbol{\eta}_1+l_2 \boldsymbol{\eta}_2, 即

k1[0010]+k2[−1101]=l1[0110]+l2[−1−101].k_1\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right]+k_2\left[\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right]=l_1\left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right]+l_2\left[\begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right] .

由上式可得 k2=l2,k2=l1−l2,k1=l1k_2=l_2, k_2=l_1-l_2, k_1=l_1. 故

k2=l1−l2=k1−k2⇒k1=2k2,k2=l2=l1−l2⇒l1=2l2.\begin{gathered} k_2=l_1-l_2=k_1-k_2 \Rightarrow k_1=2 k_2, \\ k_2=l_2=l_1-l_2 \Rightarrow l_1=2 l_2 . \end{gathered}

或 因此, 公共解为

2k2ξ1+k2ξ2=k2(2ξ1+ξ2)=k2[−1,1,2,1]T,2 k_2 \xi_1+k_2 \xi_2=k_2\left(2 \xi_1+\xi_2\right)=k_2[-1,1,2,1]^{\mathrm{T}},

其中 k2k_2 是任意常数; 或

2l2η1+l2η2=l2(2η1+η2)=l2[−1,1,2,1]T,2 l_2 \boldsymbol{\eta}_1+l_2 \boldsymbol{\eta}_2=l_2\left(2 \boldsymbol{\eta}_1+\boldsymbol{\eta}_2\right)=l_2[-1,1,2,1]^{\mathrm{T}},

其中 l2l_2 是任意常数. 【注】两个方程组的公共解问题, 除了直接给出两个方程组求其公共解之外, 还可以给出一个方程组和另一个方程组的通解(或基础解系), 然后求公共解, 或者给出两个方程组的通解(或基础解系), 然后求公共解. 对于上述三种形式, 本题均已给出了求解方法. 当然, 也可将一个方程组改成满足某个(或某些)条件(满足另一个方程组就是满足某些条件)的方程组, 再求解.

同解方程组

若两个方程组 Am×nx=0\boldsymbol{A}_{m \times n} x=0 和 Bs×nx=0B_{s \times n} \boldsymbol{x}=0 有完全相同的解, 则称它们为同解方程组. 于是, x=0,Bx=0˙\quad \boldsymbol{x}=\mathbf{0}, \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\dot{0} 是同解方程组 ⇔Ax=0\Leftrightarrow A x=0 的解满足 Bx=0B x=0, 且 Bx=0B x=0 的解满足 Ax=0\boldsymbol{A x}=0 (互相把解代人求出结果即可) ⇔r(A)=r(B)\Leftrightarrow r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B}), 且 Ax=0\boldsymbol{A x}=\mathbf{0} 的解满足 Bx=0\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0} (或 Bx=0\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0} 的解满足 Ax=0\boldsymbol{A x}=\mathbf{0} ) ⇔r(A)=r(B)=r([AB])\Leftrightarrow r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})=r\left(\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B}\end{array}\right]\right) (三秩相同较方便).

例 设线性方程组

 ( I ) {x1+3x3+5x4=0,x1−x2−2x3+2x4=02x1−x2+x3+3x4=0.\text { ( I ) }\left\{\begin{array}{l} x_1+3 x_3+5 x_4=0, \\ x_1-x_2-2 x_3+2 x_4=0 \\ 2 x_1-x_2+x_3+3 x_4=0 . \end{array}\right.

在 ( I ) 的基础上, 添加一个方程 4x1+ax2+bx3+13x4=04 x_1+a x_2+b x_3+13 x_4=0, 得

 ( II {x1+3x3+5x4=0,x1−x2−2x3+2x4=0,2x1−x2+x3+3x4=0,4x1+ax2+bx3+13x4=0.\text { ( II }\left\{\begin{array}{l} x_1+3 x_3+5 x_4=0, \\ x_1-x_2-2 x_3+2 x_4=0, \\ 2 x_1-x_2+x_3+3 x_4=0, \\ 4 x_1+a x_2+b x_3+13 x_4=0 . \end{array}\right.

(1)求方程组 (I)的通解; (2) a,ba, b 满足什么条件时,方程组 ( I ), ( II ) 是同解方程组?

解 (1)对方程组 (I)的系数矩阵作初等行变换, 即

[10351−1−222−113]→[10350−1−5−30−1−5−7]→[10350−1−5−3000−4]\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 5 \\ 1 & -1 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & 1 & 3 \end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 5 \\ 0 & -1 & -5 & -3 \\ 0 & -1 & -5 & -7 \end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 5 \\ 0 & -1 & -5 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & -4 \end{array}\right]

将自由未知量 x3x_3 赋值为 1 , 代回方程组, 得基础解系 ξ=[−3,−5,1,0]T\xi=[-3,-5,1,0]^{\mathrm{T}}, 故方程组 (I) 的通解为 k[−3,−5,1,0]T,kk[-3,-5,1,0]^{\mathrm{T}}, k 是任意常数. (2) 由方程组 (I ), ( II ) 同解,知 ( I ) 的解应满足 (II ). 因 ( I ), ( II ) 前 3 个方程相同, 故只需满足第 4 个方程即可, 将 (I) 的通解代人 (II) 的第 4 个方程, 得

4(−3k)+a(−5k)+bk+13(0k)=0,4(-3 k)+a(-5 k)+b k+13(0 k)=0,

即 (−12−5a+b)k=0,k(-12-5 a+b) k=0, k 是任意常数. 故 a,ba, b 满足

b−5a=12.b-5 a=12 .

当 b−5a=12b-5 a=12 时, ( I ) 的解满足 (II), 又 (II) 的前 3 个方程即是 ( I ), 所以 ( II ) 的解也满足 ( I ), 方程组 (I),(II)(\mathrm{I}),(\mathrm{II}) 是同解方程组.

例 设方程组 Ax=b\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b} 有解, 证明: ATx=0\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=\mathbf{0} 和 [ATbT]x=0\left[\begin{array}{c}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{b}^{\mathrm{T}}\end{array}\right] \boldsymbol{x}=\mathbf{0} 是同解方程组. 证明 (1) 显然 [ATbT]x=0\left[\begin{array}{c}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{b}^{\mathrm{T}}\end{array}\right] \boldsymbol{x}=\mathbf{0} 的解必满足 ATx=0\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}.

(2)因 Ax=b\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} 有解, 故 r(A)=r([A,b])r(\boldsymbol{A})=r([\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}]), 得 r([ATbT])=r(AT)r\left(\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{b}^{\mathrm{T}}\end{array}\right]\right)=r\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right). 故 ATx=0\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=\mathbf{0} 和 [ATbT]x=0\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{b}^{\mathrm{T}}\end{array}\right] \boldsymbol{x}=\mathbf{0} 的基础解系中所含解向量个数相等. 由(1), (2)知, 方程组 ATx=0\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=\mathbf{0} 和 [ATbT]x=0\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{b}^{\mathrm{T}}\end{array}\right] \boldsymbol{x}=\mathbf{0} 是同解方程组.

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