多项式与《线性代数》 在线性代数里，研究的是“线性”，整个线性代数都是围绕“向量”打转，但是如果把线性代数进一步抽象、延伸，就形成了《高等代数》，在高等代数里，增加了多项式处理。
在历史上，由于研究一元高次代数方程，很自然地就开始研究一元多项式 f ( x ) = a 0 x n + a 1 x n − 1 + ⋯ + a n f(x)=a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_n f ( x ) = a 0 x n + a 1 x n − 1 + ⋯ + a n x x x f ( x ) f(x) f ( x ) x x x
要从理论上从更高的观点来研究一个代数系统，我们应当舍弃那些非本质的具体的东西。如果我们研讨的是多项式由其加法、乘法运算及相应的运算法则所决定的性质，那么 x x x f ( x ) f(x) f ( x ) x x x x x x 不定元 ＂，意思是说它未有任何具体的含义，仅当作界定一个多项式的记号而已。然后，定义多项式的加法与乘法运算，使其成为一个抽象的代数系统，从而成为代数学的研究对象．
多项式构成线性空间 要证明多项式构成线性空间，只要证明他们满足八大性质即可。
定义 设 K K K x x x
f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n + ⋯ f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_n x^n+\cdots f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n + ⋯ （其中 a 0 , a 1 , a 2 , ⋯ a_0, a_1, a_2, \cdots a 0 , a 1 , a 2 , ⋯ K K K K K K 一个不定元 x x x 。
注意现在上述表达式中的记号＂+ ＂，＂x 2 x^2 x 2 x 3 x^3 x 3 ⋯ \cdots ⋯
f ( x ) = ( a 0 , a 1 , a 2 , ⋯ , a n , ⋯ ) . f(x)=\left(a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots\right) . f ( x ) = ( a 0 , a 1 , a 2 , ⋯ , a n , ⋯ ) . 我们之所以要写成上面的样子，是因为只要我们在多项式间定义加法和乘法后，它们自然就会具有所期望的含义，这一点下面就会看到。
数域 K K K x x x K [ x ] K[x] K [ x ]
在 K [ x ] K[x] K [ x ] 加法 设
f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ , g ( x ) = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + ⋯ , \begin{aligned}
& f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots, \\
& g(x)=b_0+b_1 x+b_2 x^2+\cdots,
\end{aligned} f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ , g ( x ) = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + ⋯ , 则定义
f ( x ) + g ( x ) = ( a 0 + b 0 ) + ( a 1 + b 1 ) x + ( a 2 + b 2 ) x 2 + ⋯ . f(x)+g(x)=\left(a_0+b_0\right)+\left(a_1+b_1\right) x+\left(a_2+b_2\right) x^2+\cdots . f ( x ) + g ( x ) = ( a 0 + b 0 ) + ( a 1 + b 1 ) x + ( a 2 + b 2 ) x 2 + ⋯ . 显然，f ( x ) + g ( x ) f(x)+g(x) f ( x ) + g ( x ) K K K a i + b i a_i+b_i a i + b i 0 , f ( x ) + g ( x ) 0, f(x)+g(x) 0 , f ( x ) + g ( x ) f ( x ) f(x) f ( x ) g ( x ) g(x) g ( x ) 和 ；
乘法 设
f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ , g ( x ) = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + ⋯ . \begin{aligned}
& f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots, \\
& g(x)=b_0+b_1 x+b_2 x^2+\cdots .
\end{aligned} f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ , g ( x ) = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + ⋯ . 令
c k = a 0 b k + a 1 b k − 1 + a 2 b k − 2 + ⋯ + a k b 0 ( k = 0 , 1 , 2 , ⋯ ) . c_k=a_0 b_k+a_1 b_{k-1}+a_2 b_{k-2}+\cdots+a_k b_0 \quad(k=0,1,2, \cdots) . c k = a 0 b k + a 1 b k − 1 + a 2 b k − 2 + ⋯ + a k b 0 ( k = 0 , 1 , 2 , ⋯ ) . 现在 c 0 , c 1 , c 2 , ⋯ c_0, c_1, c_2, \cdots c 0 , c 1 , c 2 , ⋯
f ( x ) g ( x ) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + ⋯ , f(x) g(x)=c_0+c_1 x+c_2 x^2+\cdots, f ( x ) g ( x ) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + ⋯ , f ( x ) g ( x ) f(x) g(x) f ( x ) g ( x ) K K K f ( x ) f(x) f ( x ) g ( x ) g(x) g ( x ) 乘积 ．
性质 容易验证，上面定义的加法、乘法满足如下运算法则：
1）加法有结合律，即
f ( x ) + ( g ( x ) + h ( x ) ) = ( f ( x ) + g ( x ) ) + h ( x ) ; f(x)+(g(x)+h(x))=(f(x)+g(x))+h(x) ; f ( x ) + ( g ( x ) + h ( x )) = ( f ( x ) + g ( x )) + h ( x ) ; 2 ) 2) 2 ) 0 ( x ) = 0 + 0 x + 0 x 2 + ⋯ 0(x)=0+0 x+0 x^2+\cdots 0 ( x ) = 0 + 0 x + 0 x 2 + ⋯ f ( x ) ∈ K [ x ] f(x) \in K[x] f ( x ) ∈ K [ x ] f ( x ) + 0 ( x ) = f ( x ) , 0 ( x ) f(x)+0(x)=f(x), 0(x) f ( x ) + 0 ( x ) = f ( x ) , 0 ( x )
3）任给 f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ − f ( x ) = − a 0 + ( − a 1 ) x + ( − a 2 ) x 2 + ⋯ -f(x)=-a_0+\left(-a_1\right) x +\left(-a_2\right) x^2+\cdots − f ( x ) = − a 0 + ( − a 1 ) x + ( − a 2 ) x 2 + ⋯ f ( x ) + ( − f ( x ) ) = 0 f(x)+(-f(x))=0 f ( x ) + ( − f ( x )) = 0 4 ) 4) 4 ) f ( x ) + g ( x ) = g ( x ) + f ( x ) f(x)+g(x)=g(x)+f(x) f ( x ) + g ( x ) = g ( x ) + f ( x ) f ( x ) ( g ( x ) h ( x ) ) = ( f ( x ) g ( x ) ) h ( x ) f(x)(g(x) h(x))=(f(x) g(x)) h(x) f ( x ) ( g ( x ) h ( x )) = ( f ( x ) g ( x )) h ( x ) I ( x ) = 1 + 0 x + 0 x 2 + ⋯ I(x)=1+0 x+0 x^2+\cdots I ( x ) = 1 + 0 x + 0 x 2 + ⋯ ∀ f ( x ) ∈ K [ x ] \forall f(x) \in K[x] ∀ f ( x ) ∈ K [ x ] f ( x ) I ( x ) = f ( x ) , I ( x ) f(x) I(x) =f(x), I(x) f ( x ) I ( x ) = f ( x ) , I ( x )
7）乘法有交换律，即 f ( x ) g ( x ) = g ( x ) f ( x ) f(x) g(x)=g(x) f(x) f ( x ) g ( x ) = g ( x ) f ( x ) f ( x ) ( g ( x ) + h ( x ) ) = f ( x ) g ( x ) + f ( x ) h ( x ) f(x)(g(x)+h(x))=f(x) g(x)+f(x) h(x) f ( x ) ( g ( x ) + h ( x )) = f ( x ) g ( x ) + f ( x ) h ( x )
K [ x ] K[x] K [ x ] K K K 一元多项式环 。
应当指出，如果把上面的数域 K K K p p p p p p F p \mathbb{F}_p F p F p \mathbb{F}_p F p F p [ x ] \mathbb{F}_p[x] F p [ x ]
下面约定，在多项式 f ( x ) f(x) f ( x ) 0 x i 0 x^i 0 x i 1 x i 1 x^i 1 x i x i x^i x i
f ( x ) = a 0 + a 1 x + ⋯ + a n x n f(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_n x^n f ( x ) = a 0 + a 1 x + ⋯ + a n x n 其中 a 0 , a 1 , ⋯ , a n ∈ K , a n ≠ 0. a 0 , a 1 , ⋯ , a n a_0, a_1, \cdots, a_n \in K, a_n \neq 0 . a_0, a_1, \cdots, a_n a 0 , a 1 , ⋯ , a n ∈ K , a n = 0. a 0 , a 1 , ⋯ , a n f ( x ) f(x) f ( x ) 系数 ，a n a_n a n 首项系数 ，a 0 a_0 a 0 常数项 ，n n n f ( x ) f(x) f ( x ) 次数 ，记做 deg f ( x ) = n \operatorname{deg} f(x)=n deg f ( x ) = n deg f = n . a k x k \operatorname{deg} f =n . a_k x^k deg f = n . a k x k 单项式 ，它是最简单的一类多项式。
按多项式加法的定义，现在 f ( x ) f(x) f ( x ) n + 1 n+1 n + 1 a 0 , a 1 x , a 2 x 2 , ⋯ , a n x n a_0, a_1 x, a_2 x^2, \cdots, a_n x^n a 0 , a 1 x , a 2 x 2 , ⋯ , a n x n f ( x ) f(x) f ( x ) x m ⋅ x n = x m + n x^m \cdot x^n=x^{m+n} x m ⋅ x n = x m + n x k x^k x k k k k x x x x k = x x ⋯ x x^k=x x^{\cdots} x x k = x x ⋯ x f ( x ) f(x) f ( x ) x 2 , x 3 , ⋯ , x n x^2, x^3, \cdots, x^n x 2 , x 3 , ⋯ , x n x m ⋅ x n = x m + n , ( x m ) n = x m n x^m \cdot x^n=x^{m+n},\left(x^m\right)^n=x^{m n} x m ⋅ x n = x m + n , ( x m ) n = x mn x 0 = 1 ( x x^0=1(x x 0 = 1 ( x
我们使用 deg f = n \operatorname{deg} f =n deg f = n
注意零多项式次数没有定义．但有时为了方便，也可认为零多项式的次数是 − ∞ -\infty − ∞
另外，我们把 f ( x ) + ( − g ( x ) ) f(x)+(-g(x)) f ( x ) + ( − g ( x )) f ( x ) − g ( x ) f(x)-g(x) f ( x ) − g ( x ) K [ x ] K[x] K [ x ] 减法 ．下面两条简单的事实也请读者注意．
1）两个多项式
f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ , g ( x ) = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + ⋯ \begin{aligned}
& f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots, \\
& g(x)=b_0+b_1 x+b_2 x^2+\cdots
\end{aligned} f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ , g ( x ) = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + ⋯ 相等是指 a i = b i ( i = 0 , 1 , 2 , ⋯ ) a_i=b_i(i=0,1,2, \cdots) a i = b i ( i = 0 , 1 , 2 , ⋯ )
2)若 f ( x ) ≠ 0 , g ( x ) ≠ 0 f(x) \neq 0, g(x) \neq 0 f ( x ) = 0 , g ( x ) = 0
deg ( f ( x ) g ( x ) ) = deg f ( x ) + deg g ( x ) . \operatorname{deg}(f(x) g(x))=\operatorname{deg} f(x)+\operatorname{deg} g(x) . deg ( f ( x ) g ( x )) = deg f ( x ) + deg g ( x ) . 即两个非零多项式相乘时，其次数相加。设 f ( x ) f(x) f ( x ) a n a_n a n g ( x ) g(x) g ( x ) b m b_m b m f ( x ) g ( x ) f(x) g(x) f ( x ) g ( x ) a n b m a_n b_m a n b m 首一多项式 。因此，两个首一多项式的乘积仍为首一多项式。
从性质（2）立即推出：当 f ( x ) , g ( x ) f(x), g(x) f ( x ) , g ( x ) f ( x ) g ( x ) ≠ 0 f(x) g(x) \neq 0 f ( x ) g ( x ) = 0 K [ x ] K[x] K [ x ] f ( x ) g ( x ) = f ( x ) h ( x ) , f ( x ) ≠ 0 f(x) g(x)=f(x) h(x), f(x) \neq 0 f ( x ) g ( x ) = f ( x ) h ( x ) , f ( x ) = 0 f ( x ) ( g ( x ) − h ( x ) ) = 0 f(x)(g(x)-h(x))=0 f ( x ) ( g ( x ) − h ( x )) = 0 g ( x ) = h ( x ) g(x)=h(x) g ( x ) = h ( x )
多项式的基与维度 既然是一个向量空间，自然就有基和维度的概念。
自然的基 ：{ 1 , x , x 2 , x 3 , … } \{1, x, x^2, x^3, \dots\} { 1 , x , x 2 , x 3 , … } 无限维 的，因为你有无穷多个基向量( x (x ( x
有限维子空间 ：如果我们只考虑所有次数不超过 (n) 的多项式，它们就构成了一个 n + 1 n+1 n + 1 { 1 , x , x 2 , … , x n } \{1, x, x^2, \dots, x^n\} { 1 , x , x 2 , … , x n } n n n
这就把多项式系数和向量的坐标联系起来了！ 多项式 p ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n p ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n ( a 0 , a 1 , a 2 , … , a n ) T (a_0, a_1, a_2, \dots, a_n)^T ( a 0 , a 1 , a 2 , … , a n ) T
嗯，有基、有维度、有坐标，这就是向量空间。
有什么用？线性变换与矩阵表示 当我们把多项式看作向量后，作用于多项式的操作就可以看作是线性变换 。
一个非常重要的线性变换是求导运算 D D D D ( p ( x ) ) = p ‘ ( x ) D(p(x)) = p‘(x) D ( p ( x )) = p ‘ ( x )
线性验证 ：
D ( p ( x ) + q ( x ) ) = p ′ ( x ) + q ′ ( x ) = D ( p ( x ) ) + D ( q ( x ) ) D(p(x) + q(x)) = p'(x) + q'(x) = D(p(x)) + D(q(x)) D ( p ( x ) + q ( x )) = p ′ ( x ) + q ′ ( x ) = D ( p ( x )) + D ( q ( x ))
D ( c ⋅ p ( x ) ) = c ⋅ p ′ ( x ) = c ⋅ D ( p ( x ) ) D(c \cdot p(x)) = c \cdot p'(x) = c \cdot D(p(x)) D ( c ⋅ p ( x )) = c ⋅ p ′ ( x ) = c ⋅ D ( p ( x ))
结论 ：求导算子 D D D
既然是线性变换，我们就可以为它选取一组基，并写出它的矩阵 。让我们在次数不超过2的多项式子空间 P 2 P_2 P 2 { 1 , x , x 2 } \{1, x, x^2\} { 1 , x , x 2 }
D ( 1 ) = 0 = 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ x + 0 ⋅ x 2 D(1) = 0 = 0 \cdot 1 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^2 D ( 1 ) = 0 = 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ x + 0 ⋅ x 2
D ( x ) = 1 = 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ x + 0 ⋅ x 2 D(x) = 1 = 1 \cdot 1 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^2 D ( x ) = 1 = 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ x + 0 ⋅ x 2
D ( x 2 ) = 2 x = 0 ⋅ 1 + 2 ⋅ x + 0 ⋅ x 2 D(x^2) = 2x = 0 \cdot 1 + 2 \cdot x + 0 \cdot x^2 D ( x 2 ) = 2 x = 0 ⋅ 1 + 2 ⋅ x + 0 ⋅ x 2
那么，求导算子 D D D
A = [ 0 1 0 0 0 2 0 0 0 ] A = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} A = 0 0 0 1 0 0 0 2 0 现在，对一个多项式 p ( x ) = a + b x + c x 2 p(x) = a + bx + cx^2 p ( x ) = a + b x + c x 2 [ a b c ] \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} a b c A A A
A [ a b c ] = [ b 2 c 0 ] A \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b \\ 2c \\ 0 \end{bmatrix} A a b c = b 2 c 0 这个结果向量 [ b 2 c 0 ] \begin{bmatrix} b \\ 2c \\ 0 \end{bmatrix} b 2 c 0 p ′ ( x ) = b + 2 c x p'(x) = b + 2cx p ′ ( x ) = b + 2 c x
意义 ：我们将一个分析运算（求导）完全转化为了一个代数运算（矩阵乘法）。
无处不在的伴侣矩阵 这是多项式与线性代数勾搭最富成果的领域之一。
问题 ：如何找到一个矩阵，它的特征多项式恰好是某个给定的多项式？
答案 ：伴侣矩阵。
对于首一多项式 p ( x ) = x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 p(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0 p ( x ) = x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 n × n n \times n n × n p ( x ) p(x) p ( x ) 伴侣矩阵 ：
C ( p ) = [ 0 0 … 0 − a 0 1 0 … 0 − a 1 0 1 … 0 − a 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 … 1 − a n − 1 ] C(p) = \begin{bmatrix}
0 & 0 & \dots & 0 & -a_0 \\
1 & 0 & \dots & 0 & -a_1 \\
0 & 1 & \dots & 0 & -a_2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & 1 & -a_{n-1}
\end{bmatrix} C ( p ) = 0 1 0 ⋮ 0 0 0 1 ⋮ 0 … … … ⋱ … 0 0 0 ⋮ 1 − a 0 − a 1 − a 2 ⋮ − a n − 1 可以证明，矩阵 C ( p ) C(p) C ( p ) p ( x ) p(x) p ( x ) 。
在特征值里，会更有体会。
从代数角度研究质数 另外一个方面，对于
f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n + ⋯ f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_n x^n+\cdots f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n + ⋯ 如果 f ( x ) = 0 f(x)=0 f ( x ) = 0
而求解方程最简单的就是因此分解，假设f ( x ) f(x) f ( x ) f ( x ) f(x) f ( x )
f ( x ) = ( x − a ) g ( x ) f(x)=(x-a)g(x) f ( x ) = ( x − a ) g ( x ) 的形式，这相当于把高次方程转换为了低次方程。
重因式（重根）
在高次方程解里，重根是一个比较棘手的问题，或者你在求解矩阵特征值会能理解。 让我们看一个例子：
f ( x ) = ( x − 2 ) 3 ∗ ( x + 1 ) f(x) = (x - 2)³ * (x + 1) f ( x ) = ( x − 2 ) 3 ∗ ( x + 1 )
( x − 2 ) (x - 2) ( x − 2 ) 3 次 。所以，( x − 2 ) (x - 2) ( x − 2 ) f ( x ) f(x) f ( x ) 三重因式 。
( x + 1 ) (x + 1) ( x + 1 ) 1 次 。所以，( x + 1 ) (x + 1) ( x + 1 ) f ( x ) f(x) f ( x ) 单因式 。
对应的： 方程 f ( x ) = 0 f(x) = 0 f ( x ) = 0 x = 2 x = 2 x = 2 三重根 （重根）。 在 x = − 1 x = -1 x = − 1 单根 。
图像上的直观感受
重因式（重根）会显著影响函数图像的几何形状：
(x - a) 是一次（单因式）
图像在 x = a 处穿过 x 轴。线条是倾斜的。
(想象一条斜线穿过x轴)
(x - a)² 是二次（二重因式）
图像在 x = a 处接触 x 轴，并与 x 轴相切 。线条在这里变得平坦。
例子：y = (x-1)² 是一个抛物线，顶点在 (1，0)。
(想象一个U型抛物线，底部刚好贴在x轴上)
(x - a)³ 是三次（三重因式）
图像在 x = a 处穿过 x 轴，但同时也会有一个拐点 （像一条蛇一样扭动着穿过x轴）。
例子：y = (x-1)³，它在 (1，0) 处穿过 x 轴，但不像斜线那样直接，而是像一个“S”形的中心点。
(想象一条曲线，在接触x轴时变得水平，然后继续延伸，像一个平缓的S)
对于这些的研究导致了群的产生，群是近世代数(抽象代数)的重要内容，详见 群论入门