3._矩阵的加减与数乘

矩阵的加法

定义 设 $A=\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$ 和 $B=\left(b_{i j}\right)_{m \times n}$ 是两个同型矩阵，则矩阵 $A$ 与 $B$ 的和记为 $A+B$ ，规定：

矩阵的加法满足如下的运算规律: 设 $A, B, C$ 是任意三个 $m \times n$ 矩阵，则 1 交换律: $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}+\boldsymbol{A}$ ； 2 结合律: $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})+\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}+(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C})$ ； 3 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{O}_{m \times n}=\boldsymbol{O}_{m \times n}+\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}$.

矩阵的减法

对于矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$ ，称矩阵 $\left(-a_{i j}\right)_{m \times n}$ 为矩阵 $A$ 的负矩阵，记为 $-\boldsymbol{A}$. 显然， $A+(-A)=O_{m \times n}$. 定义矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$ 和 $\boldsymbol{B}=\left(b_{i j}\right)_{m \times n}$ 的减法为:

矩阵的加减就是对应数字的加减。

矩阵的数乘

定义 用一个数 $k$ 乘矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$ 的所有元素得到的矩阵 $\left(k a_{i j}\right)_{m \times n}$ 称为矩阵的数乘，记为 $k \boldsymbol{A}$ 或者 $\boldsymbol{A} k$ ， 即 $k \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A} k=\left(k a_{i j}\right)_{m \times n}$.

上述定义告诉我们: 矩阵乘以一个数等于矩阵里所有元素都乘以这个数。例如

请把矩阵数乘和行列式的数乘区分出来，行列式乘以一个k，等于行列式里的一行乘以k。而矩阵乘以一个k等于矩阵里每行乘以k

矩阵的数乘运算满足如下的运算规律：设 $k, l$ 是任意两个数， $A, B$ 是任意两个 $m \times n$ 矩阵，

$1. k(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})=k \boldsymbol{A}+k \boldsymbol{B}$ $2. (k+l) \boldsymbol{A}=k \boldsymbol{A}+l \boldsymbol{A}$ $3. (k l) \boldsymbol{A}=k(l \boldsymbol{A})=l(k \boldsymbol{A})$ $4. 1 \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}$ $5. (-1) \boldsymbol{A}=-\boldsymbol{A}$ $6. 0 \boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}_{n \times n}$ 矩阵的加法和矩阵的数乘统称为矩阵的线性运算.

例矩阵的加减法就是对应数字相加减,例如

例 设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}3 & 0 & 2 \\ 1 & 3 & 4\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 3\end{array}\right)$ ，求 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ 和 $2 \boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}$.

解: