14._线性空间及其子空间

向量空间

在集合论与向量空间 里说过，向量就像一个个箭头，这些箭头组成了一个集合，成为向量空间。本节先给出向量空间以及子空间的定义，后面再来进一步解释其是什么意思。

线性空间/向量空间

设 VV 是一个非空集合， R\mathbf{R} 为实数域. 对于任意两个元素 α,β∈V\alpha, \beta \in V ，在 VV 中总有唯一确定 的一个元素 γ\gamma 与之对应，称为 α\alpha 与 β\beta 的和，记作 γ=α+β\gamma=\alpha+\beta. 对于 R\mathbf{R} 中任一数 λ\lambda 与 VV 中任 一元素 α\alpha ，在 VV 中总有唯一确定的一个元素 δ\delta 与之对应， 称为 λ\lambda 与 α\alpha 的数量乘积，记作 δ=λα\delta=\lambda \alpha. 如果这两种运算满足以下八条运算规律 (设 α,β,γ∈V;λ,μ∈R\alpha, \beta, \gamma \in V ; \lambda, \mu \in \mathbf{R} ):

图片

那么， VV 就称为实数域 R\mathbf{R} 上的线性空间. 线性空间有时也被称为向量空间， 线性空间中的元素不论其本来的性质如何，统称为向量. 线性空间中满足上述八条规律的加法及数乘运算，统称为线性运算.

注：数域 FF 上的全体 nn 维向量的集合依照向量的加法和向量与数的纯量乘法构成数域 FF 上的线性空间，记作 FnF^n ．

注： 数域 FF 上的全体 m×nm \times n 阶矩阵的集合，关于矩阵的加法和矩阵的纯量乘法构成数域 FF 上的线性空间，记为 Fm×nF^{m \times n} ．

注： 区间 [a,b][a, b] 上的全体连续函数，关于函数的加法和数与函数的乘法，构成实线性空间，记为 C[a,b]C[a, b] ．

注： 复数域 C\mathbb{C} ，依照复数的加法和实数与复数的乘法构成实数域 R\mathbb{R} 上的线性空间．

注： 数域 FF 上的全体一元多项式，依照多项式的加法和数与多项式的乘法构成数域 FF 上的线性空间，记为 F[x]F[x] ．特别地，所有的实系数一元多项式，依照多项式的加法和多项式与数的乘法构成实线性空间，记为 R[x]\mathbb{R}[x] 。

注： 区间 [a,b][a, b] 上的全体 nn 次可微函数，依照函数的加法和函数与数的乘法，构成实线性空间，记为 D(n)[a,b]D^{(n)}[a, b] ．

除了线性空间还有什么空间？数学上还有很多空间，包括希尔伯特空间、线性赋范空间、内积空间、内积空间和欧几里得空间等，详见此处

定义1 设 VV 是 nn 维向量的集合，如果对于任意 α∈V，β∈V\boldsymbol{\alpha} \in V ， \boldsymbol{\beta} \in V ，都有 α+β∈V\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta} \in V ， 则称 VV 对向量的加法封闭； 如果对任意 α∈V\boldsymbol{\alpha} \in V 及任意 k∈Rk \in \mathbf{R} ，都有 kα∈Vk \boldsymbol{\alpha} \in V ，则称 VV 对向量的数乘封闭.

例 集合 V1={(0a2⋮an)∣ a2,⋯ ,an∈R},V_1=\left\{\left.\left(\begin{array}{c}0 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right) \right\rvert\, a_2, \cdots, a_n \in R \right\}, \quad 对任意 α=(0a2⋮an)∈V,β=(0b2⋮bn)∈V\alpha =\left(\begin{array}{c}0 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right) \in V, \quad \beta =\left(\begin{array}{c}0 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{array}\right) \in V ，任意 k∈Rk \in R ，有

α+β=(0a2⋮an)+(0b2⋮bn)=(0a2+b2⋮an+bn)∈V,kα=k(0a2⋮an)=(0ka2⋮kan)∈V,\begin{aligned} &\alpha + \beta =\left(\begin{array}{c} 0 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 0 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ a_2+b_2 \\ \vdots \\ a_n+b_n \end{array}\right) \in V, \quad k \alpha =k\left(\begin{array}{c} 0 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ k a_2 \\ \vdots \\ k a_n \end{array}\right) \in V,\\ \end{aligned}

所以 V1V_1 对向量的加法和数乘运算封闭.

例 集合 V2={(1a2⋮an)a2,⋯ ,an∈R} {V_2}=\left\{\left(\begin{array}{c}1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right) a_2, \cdots, a_n \in R \right\} ，对任意 α=(1a2⋮an)∈V,β=(1b2⋮bn)∈V\alpha =\left(\begin{array}{c}1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right) \in V, \quad \beta =\left(\begin{array}{c}1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{array}\right) \in V ，任意 k∈Rk \in R ，有

α+β=(1a2⋮an)+(1b2⋮bn)=(2a2+b2⋮an+bn)∉V,kα=k(1a2⋮an)=(kka2⋮kan)∉V(k≠0),\begin{aligned} &\alpha + \beta =\left(\begin{array}{c} 1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 2 \\ a_2+b_2 \\ \vdots \\ a_n+b_n \end{array}\right) \notin V, \quad k \alpha =k\left(\begin{array}{c} 1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} k \\ k a_2 \\ \vdots \\ k a_n \end{array}\right) \notin V(k \neq 0),\\ \end{aligned}

所以 V2V_2 对向量的加法和数乘运算均不封闭.

向量空间

设 VV 是 nn 维向量的集合，且 VV 非空，如果 VV 对向量的加法和数乘两种运算都封闭， 则称集合 vv 为向量空间. 例如， 例 1、例 2 中的集合均为非空的， 因为 0=(00⋮0)∈V1,e1=(10⋮0)∈V20=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right) \in V_1, e_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right) \in V_2. 但是 V1V_1 对向量的加法和数乘运算封闭，所以 V1V_1 是向量空间， 但是 V2V_2 对向量的加法和数乘运算均不封闭，所以 V2V_2 不是向量空间.

例 nn 维向量的全体组成的集合 Rn={(x1x2⋮xn)∣ x1,x2,⋯ ,xn∈R}\quad R ^n=\left\{\left.\left(\begin{array}{c}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{array}\right) \right\rvert\, x_1, x_2, \cdots, x_n \in R \right\} 对向量的加法和数乘运算均封闭，所以是一个向量空间.

例nn 元齐次线性方程组的解集 S={x∣Ax=0}S=\{x \mid A x=0\} 对向量的加法和数乘运算封闭， 所以是一个向量空间. 这个向量空间我们称为齐次线性方程组的解空间.

例 设α1,α2,⋯ ,αs∈Rn\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s \in \mathbf{R}^n ，我们将向量组 α1,α2,⋯ ,αs\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s 所有可能的线性组合 k1α1+k2α2+⋯+ksαsk_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_s \boldsymbol{\alpha}_s 构成的集合记为 L(α1,α2,⋯ ,αs)={α=k1α1+k2α2+⋯+ksαs∣k1,k2,⋯ ,ks∈R}\mathrm{L}\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s\right)=\left\{\boldsymbol{\alpha}=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_s \boldsymbol{\alpha}_s \mid k_1, k_2, \cdots, k_s \in \mathbf{R}\right\}, 容易验证， (α1,α2,⋯ ,αs)\left(\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s\right) 是一个向量空间， 我们称之为由向量组 α1,α2,⋯ ,αs\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s 所张成的向量空间.

多项式是线性空间

例nn 次多项式的全体

Q[x]n={p=anxn+⋯+a1x+a0∣an,⋯ ,a1,a0∈R, 且 an≠0},Q[x]_n=\left\{p=a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0 \mid a_n, \cdots, a_1, a_0 \in \mathbf{R} \text {, 且 } a_n \neq 0\right\},

对于通常的多项式加法和乘数运算不构成线性空间. 这是因为 0p=0xn+⋯+0x+0∉Q[x]n0 p=0 x^n+\cdots+0 x+0 \notin Q[x]_n, 即 Q[x]nQ[x]_n 对运算不封闭.

例次数不超过 nn 的多项式的全体，记作 P[x]n′P[x]_{n^{\prime}} 即

P[x]n={p(x)=anxn+⋯+a1x+a0∣an,⋯ ,a1,a0∈R},P[x]_n=\left\{p(x)=a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0 \mid a_n, \cdots, a_1, a_0 \in R\right\},

可以发现，对于通常的多项式满足上面的加法与数乘运算，所以多项式的乘法构成线性空间.

这是因为：通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律， 故只要验证 P[x]nP[x]_n 对运算封闭.

对 P[x]nP[x]_n 中任意两个多项式 p(x)=anxn+⋯+a1x+a0,q(x)=bnxn+⋯+b1x+b0p(x)=a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0, q(x)=b_n x^n+\cdots+b_1 x+b_0 ，及任意的实数 λ\lambda ，有

p(x)+q(x)=(anxn+⋯+a1x+a0)+(bnxn+⋯+b1x+b0)=(an+bn)xn+⋯+(a1+b1)x+(a0+b0)∈P[x]n,λp(x)=λ(anxn+⋯+a1x+a0)=(λan)xn+⋯+(λa1)x+(λa0)∈P[x]n\begin{aligned} & p(x)+q(x)=\left(a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0\right)+\left(b_n x^n+\cdots+b_1 x+b_0\right)=\left(a_n+b_n\right) x^n+\cdots+\left(a_1+b_1\right) x+\left(a_0+b_0\right) \in P[x]_n, \\ & \lambda p(x)=\lambda\left(a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0\right)=\left(\lambda a_n\right) x^n+\cdots+\left(\lambda a_1\right) x+\left(\lambda a_0\right) \in P[x]_n \end{aligned}

所以 P[x]nP[x]_n 是一个线性空间.

例 设集合C[a,b]={f(x)∣f(x) 为 [a,b]}C[a, b]=\{f(x) \mid f(x) \text { 为 }[a, b] \}上的连续函数 是定义在区间 [a,b][a, b] 上的连续实函数全体所成的集合，关于通常的函数加法和数乘函 数的乘法构成线性空间. 这是因为: 通常的函数加法及乘数运算显然满足线性运算规律，并且根据连续函数的 运算性质可知， C[a,b]C[a, b] 对通常的函数加法和数乘函数的乘法封闭.

线性空间和线性函数还是有点区别的，比如 f(x)=3x+2f(x)=3x+2, 令xx分别取x1=1x_1=1与x2=2x_2=2，那么f(1)=5f(1)=5和f(2)=8f(2)=8,但是f(3)=11f(3)=11，即f(1)+f(2)≠f(3)f(1)+f(2) \ne f(3) , 这是因为函数f(x)f(x)未经过原点，如果f(x)f(x)去掉常说项f(x)=3xf(x)=3x 就会发现 f(1)+f(2)=f(3)f(1)+f(2) = f(3)

例设 Mm×n(R)={A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮am1am2⋯amn)∣ aij(1≤i≤m;1≤j≤n)∈R}M_{m \times n}( R )=\left\{\left. A =\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}\end{array}\right) \right\rvert\, a_{i j}(1 \leq i \leq m ; 1 \leq j \leq n) \in R \right\} 是实数域上的矩阵全体所成的集合. 显然 Mm×n(R)M_{m \times n}( R ) 是非空的， Mm×n(R)M_{m \times n}( R ) 对通常的矩阵加法和数乘构成线性空间. 这是因为：通常的矩阵加法和数乘运算显然满足线性运算规律，并且 Mm×n(R)M_{m \times n}( R ) 对通常的矩阵加法和数乘运算封闭.

特别地，当 m=n m=n 时，nn 阶方阵的全体所成的集合

Mn(R)={A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮an1am2⋯ann)∣ aij(1≤i,j≤n)∈R}\begin{aligned} &M_n( R )=\left\{\left. A =\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right) \right\rvert\, a_{i j}(1 \leq i, j \leq n) \in R \right\} \end{aligned}

也是实数域上的线性空间.

例 nn 个有序实数组成的数组的全体

Sn={x=(x1,x1,⋯ ,xn)T∣x1,x1,⋯ ,xn∈R}S^n=\left\{\boldsymbol{x}=\left(x_1, x_1, \cdots, x_n\right)^{\mathrm{T}} \mid x_1, x_1, \cdots, x_n \in \mathbf{R}\right\}

对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法

λ∘(x1,⋯ ,xn)T=(0,⋯ ,0)T 不构成线性空间. \lambda \circ\left(x_1, \cdots, x_n\right)^T=(0, \cdots, 0)^T \text { 不构成线性空间. }

可以验证 SnS^n 对运算封闭，但是 1∘x=01 \circ x=0 ，不满足第五条运算规律，即所定义的运算 不是线性运算，所以不是线性空间.

例 正实数的全体，记作 R+\mathbf{R}^{+}，在其中定义加法及乘数运算为

a⊕b=ab(a,b∈R+),λ∘a=aλ(λ∈R,a∈R+),a \oplus b=a b\left(a, b \in \mathbf{R}^{+}\right), \lambda \circ a=a^\lambda\left(\lambda \in \mathbf{R}, a \in \mathbf{R}^{+}\right),

验证对上述加法与乘数运算构成线性空间.

证明： 首先验证对定义的加法和数乘运算封闭. 对加法封闭: 对任意的 a,b∈R+a, b \in \mathbf{R}^{+}，有 a⊕b=ab∈R+a \oplus b=a b \in \mathbf{R}^{+}; 对数乘封闭: 对任意的 λ∈R,a∈R+\lambda \in \mathbf{R}, a \in \mathbf{R}^{+}，有 λ∘a=aλ∈R+\lambda \circ a=a^\lambda \in \mathbf{R}^{+}.

性质3

设 VV 是实数域 RR 上线性空间， WW 是 VV 的一个非空子集. 如果 WW 关于 VV 的加法和数乘运算也构成线性空间，则称 WW 是 VV 的一个子空间. 例如， nn 元齐次线性方程组 Ax=0\boldsymbol{A x}=\mathbf{0} 的解空间

S={x∈Rn∣Ax=0}S=\left\{\boldsymbol{x} \in R^n \mid \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}\right\}

就是线性空间 RnR^n 的子空间.

线性空间的性质

性质1 零元素是唯一的. 证明 设 01,020_1, 0_2 是线性空间 VV 中的两个零元素，即对任何 α∈V\alpha \in V ，有 α+01=α,α+02=α\alpha+0_1=\alpha, \alpha+0_2=\alpha ， 于是有

02+01=02,01+02=01\mathbf{0}_2+\mathbf{0}_1=\mathbf{0}_2, \mathbf{0}_1+\mathbf{0}_2=\mathbf{0}_1

所以

01=01+02=02+01=02\mathbf{0}_1=\mathbf{0}_1+\mathbf{0}_2=\mathbf{0}_2+\mathbf{0}_1=\mathbf{0}_2

性质2 任一元素的负元素是唯一的 (以后将 α\boldsymbol{\alpha} 的负元素记作 −α-\boldsymbol{\alpha} ) . 证明 设 α\boldsymbol{\alpha} 有两个负元素 β,γ\beta, \gamma ，即 α+β=0,α+γ=0\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\mathbf{0}, \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\gamma}=\mathbf{0}. 于是

β=β+0=β+(α+γ)=(β+α)+γ=0+γ=γ.\beta=\beta+0=\beta+(\alpha+\gamma)=(\beta+\alpha)+\gamma=0+\gamma=\gamma .

性质3 0α=0;(−1)α=−α;λ0=00 \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0} ;(-1) \boldsymbol{\alpha}=-\boldsymbol{\alpha} ; \lambda \mathbf{0}=\mathbf{0}. 证明 α+0α=1α+0α=(1+0)α=1α=α\boldsymbol{\alpha}+0 \boldsymbol{\alpha}=1 \boldsymbol{\alpha}+0 \boldsymbol{\alpha}=(1+0) \boldsymbol{\alpha}=1 \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha} ，所以 0α=0，α+(−1)α=1α+(−1)α=[1+(−1)]α=0α=00 \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0} ， \boldsymbol{\alpha}+(-1) \boldsymbol{\alpha}=1 \boldsymbol{\alpha}+(-1) \boldsymbol{\alpha}=[1+(-1)] \boldsymbol{\alpha}=0 \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}, 所以 (−1)α=−α(-1) \boldsymbol{\alpha}=-\boldsymbol{\alpha} ；

λ0=λ[α+(−1)α]=λα+(−λ)α=[λ+(−λ)]α=0α=0. \lambda \mathbf{0}=\lambda[\boldsymbol{\alpha}+(-1) \boldsymbol{\alpha}]=\lambda \boldsymbol{\alpha}+(-\lambda) \boldsymbol{\alpha}=[\lambda+(-\lambda)] \boldsymbol{\alpha}=0 \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0} \text {. }

性质4 如果 λα=0\lambda \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0} ，则 λ=0\lambda=0 或 α=0\boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}. 证明 若 λ≠0\lambda \neq 0 ，在 λα=0\lambda \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0} 两边乘 1λ\frac{1}{\lambda}, 得 而

1λ(λα)=1λ0=0,1λ(λα)=(1λλ)α=1α=α,\begin{gathered} \frac{1}{\lambda}(\lambda \boldsymbol{\alpha})=\frac{1}{\lambda} \boldsymbol{0}=\mathbf{0}, \\ \frac{1}{\lambda}(\lambda \boldsymbol{\alpha})=\left(\frac{1}{\lambda} \lambda\right) \boldsymbol{\alpha}=1 \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}, \end{gathered}

所以 α=0\boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}.

子空间的性质

定义 设 VV 是数域 FF 上的线性空间，WW 是 VV 的非空子集合，若对于 VV 上的加法和乘法运算，WW 也是 FF 上的线性空间，则称 WW 为 VV 的一个线性子空间，简称为子空间．

定理 设 VV 是数域 FF 上的线性空间，则 VV 的非空子集合 WW为 VV 的一个子空间的充分必要条件为 WW 对于 VV 的加法和纯量乘法运算封闭．

例 线性空间 VV 的仅含零向量的子集合是 VV 的一个子空间，常称为零子空间；VV 本身也是 VV 的一个子空间，常称为全子空间．这两种子空间统称为 VV 的平凡子空间．

例 设 VV 是数域 FF 上的线性空间， α1,α2,⋯ ,αm∈V\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m \in V ，集合

L={β∣β=k1α1+k2α2+⋯+kmαm,k1,k2,⋯ ,km∈F}L=\left\{\boldsymbol{\beta} \mid \boldsymbol{\beta}=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_m \boldsymbol{\alpha}_m, k_1, k_2, \cdots, k_m \in F\right\}

构成线性空间 VV 的子空间，称该子空间为 α1,α2,⋯ ,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m 生成的子空间，记为

L(α1,α2,⋯ ,αm).L\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m\right) .

例 实数域上的齐次线性方程组 Am×nx=0\boldsymbol{A}_{m \times n} \boldsymbol{x}=\mathbf{0} ，当 r(A)=r<nr(\boldsymbol{A})=r<n时，它所有的解向量构成 Rn\mathbb{R}^n 的子空间，称之为齐次线性方程组的解空间，它可看作是由其基础解系生成的子空间．

例 设 R3\mathbb{R}^3 中不过原点的一个集合 W1={(x,y,z)∣x,y∈RW_1=\{(x, y, z) \mid x, y \in \mathbb{R} ， z≠0}z \neq 0\} ，则 W1W_1 不是 R3\mathbb{R}^3 的子空间．这是因为它对于 R3\mathbb{R}^3 中的加法与数乘都不封闭．例如，

(x,y,z)−(x,y,z)∉W1;0=0⋅(x,y,z)∉W1.(x, y, z)-(x, y, z) \notin W_1 ; \mathbf{0}=0 \cdot(x, y, z) \notin W_1 .

但是，起点为点 O′(0,0,z)O^{\prime}(0,0, z) 且 zz 为任意实数的三维向量的集合 W1′W_1^{\prime} 关于向量的加法与纯量乘法构成 R3\mathbb{R}^3 的一个子空间．

此例说明，VV 的子空间 WW 的两种运算必须与 VV 的两种运算相一致．一般地，把 WW 看成一个子空间比把 WW 自身看成一个线性空间更有用．因为验证 WW 是某个线性空间的一个子空间，要比验证 WW 是一个线性空间简单得多．

例 4.11 连续函数集合

M={f(x)∈C[a,b]∣f(a)=0}M=\{f(x) \in C[a, b] \mid f(a)=0\}

是线性空间 C[a,b]C[a, b] 的子空间． 例 4.12 连续函数集合 M={f(x)∈C[a,b]∣f(a)=1}M=\{f(x) \in C[a, b] \mid f(a)=1\} 不是线性空间 C[a,b]C[a, b] 的子空间．

例4．13 nn 阶上三角形实矩阵集合、下三角形实矩阵集合和实对角矩阵集合都是由所有 nn 阶方阵构成的线性空间 Rn×n\mathbb{R}^{n \times n} 的子空间．

例4．14 数域 FF 上的次数小于 nn 的一元多项式全体和零多项式组成的集合 F[x]nF[x]_n 构成线性空间 F[x]F[x] 的子空间．

例4．15 数域 FF 上的 nn 次一元多项式全体构成的集合，不能构成线性空间 F[x]F[x] 的子空间．

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