2._向量的概念及运算

有了行列式和矩阵这两个话题的铺垫, 可以让线性代数的主人翁---向量出场了. 向量作为现代数学的基础，深深的渗透数学的各种学科，要了解平面向量，可以参考高中平面向量教程

向量的基本概念

我们在物理学中已经学过速度的有关知识, 知道表征速度需要两个参数：（1）速度的大小。（2）速度的方向。 既有大小又有方向的量我们称为向量 （也称为矢量），与此相对，只有大小没有方向的量叫做“标量”。 物理中，速度，力，位移都是向量，而质量，长度，电阻都是标量。 对应向量的大小也称为向量的模 （也可以叫向量长度）；

对于同一个意义的名词，数学和物理有时候会采用不同的叫法。在数学里，把向量叫做向量，但是在物理里，叫做矢量，虽然名称不同，但是意义一样。

下图下述了一个简单的向量$\vec{OA}$. {width=250px}

我们知道, 位移可以用带箭头的线段 (即有向线段) 来直观地表示. 类似地, 我们也用有向线段来直观地表示向量, 其中有向线段的长度表示向量的大小简称模，（我们知道长度总是大于等于零的，所以向量的模总是大于等于零，他不会是负数）, 有向线段箭头所指的方向表示向量的方向. 而且, 通常将有向线段不带箭头的端点称为向量的始点 (或起点), 带箭头的端点称为向量的终点.

向量的表示

有向线段始点和终点的相对位置确定向量的大小与方向. 始点为 $A$ 终点为 $B$ 的有向线段表示的向量, 可以用符号简记为 $\overrightarrow{A B}$, 此时向量的模用 $|\overrightarrow{A B}|$ 表示.

除了用始点和终点的两个大写字母来表示向量外, 还可用一个小写字母来表示向量: 在印刷时, 通常用加粗的斜体小写字母如 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 等来表示向量 ; 在书写时, 用带箭头的小写字母如 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 等来表示向量. 此时, 向量 $\boldsymbol{a}$ 的模也用 $|\boldsymbol{a}|$ 或 $|\vec{a}|$ 来表示.

相反向量

向量$\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{B A}$ 虽然长度相等, 但方向相反, 因此 $\overrightarrow{A B} \neq \overrightarrow{B A}$. 类似于相反数的定义，我们把长度相等、方向相反的向量 $a , b$ 称为相反向量,记作 $b =- a$ 。如果 $b =- a$, 则同样也有 $a =- b$.

零向量

始点和终点相同的向量称为零向量. 零向量在印刷时, 通常用加粗的阿拉伯数字零表示, 即 $\mathbf{0}$ ; 书写时, 通常用带箭头的阿拉伯数字零表示, 即 $\overrightarrow{0}$. 不难看出, 零向量的模为 0 , 即

零向量本质上是一个点, 因此可以认为零向量的方向是不确定的. 模不为 0 的向量通常称为非零向量.

单位向量

我们定义：模等于 1 的向量称为单位向量. 这就是说, 如果 $\boldsymbol{e}$ 是单位向量, 则

反之也成立. 因此, $e$ 是单位向量的充要条件是 $|e|=1$.

与非零向量 $\vec{a}$ 同方向的单位向量叫做向量 $\vec{a}$ 的单位向量, 记作 $\vec{e}$. 根据实数与向量的乘法的定义, 可知 $\vec{a}=|\vec{a}| \vec{e}$, 即

这是一个重要的公式，在《线性代数》里，会用到

例三维向量 $a=(1,1,1)$ ，求其单位向量。 解：该其模长为 $D=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}$

所以，单位化后单位向量为

$\vec{e}= (\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})$

如果我们把向量$\boldsymbol{a}$ 放在三维空间里（参考下图），为了方便理解，这里加了一个立方体，你就可以看到，所谓$\boldsymbol{a}$的模，就是向量$OP$的长度。 自$P$点往$xoy$平面进行投影，投影点为$H$，连接$OH$，所以$\triangle OPH$ 是直角三角形。 在$Rt \triangle OPH$ 里，可以得到 $OP$与$xoy$的夹角余弦值，即 $\cos\angle POH= \dfrac{OH}{OP}$ {width=400px}

假设$P(x,y,z)$ ，那么 $OP=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$。 而$OH$又在$xoy$平面，所以，$OH=\sqrt{x^2+y^2}$ 因此， $P$与$xoy$平面 的夹角余弦为

同理， $P$与$yoz$平面 的夹角余弦为

$P$与$xoz$平面 的夹角余弦为

这就是向量和平面的夹角余弦公式，换句话说，任给一个向量$a$,都可以求出他与三个坐标平面的夹角。

方向角与方向角余弦

通常我们使用向量和坐标轴的夹角，这个角度被称作方向角，参考下图

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其计算方法参考 高等数学里 方向角与方向余弦

向量的相等与平行

向量相等

我们定义：把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量. 向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 相等, 记作

向量平行

如果两个非零向量的方向相同或者相反,则称这两个向量平行. {width=250px}

零向量

因为零向量的方向不确定, 所以通常规定零向量与任意向量平行. 我们约定，所有的零向量相等。

向量共线

两个向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 平行, 记作 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$. 两个向量平行也称为两个向量共线.

向量的加法

向量的加法最初来源于物理学中的 “速度" 或者 "力" 的合成。 如下图 $\overrightarrow{v_1}$ 和 $\overrightarrow{v_2}$ 最终合成了 $\overrightarrow{v_{合}}$ ， 即: $\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}=\overrightarrow{v_{合}}$ ， 这种计算方法也被叫做平行四边形法则。 {width=250px} 另外一种是三角形法则，如下图，小明从 $A$ 点走到 $B$ 点，然后转弯走到 $C$ 点 则，小明最终走的距离是 $A C$ ，因此

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事实上，平行四边形法则和三角形法则并没有本质的区别，在上一节已经说过，两个向量只要大小相等，方向相同就是相同的向量，参考上图，在三角形法则里，把 $\overrightarrow{B C}$ 向左平移，让 $B$ 点和 $A$ 点重合，你就会发现三角形法则其实就是平行四边形法则。

向量加法满足交换律和结合律，即：

(1) 数乘 $x(y\boldsymbol{a})=xy\boldsymbol{a}$ (后述) (1) 加法交换律: $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}$ 对任意两个向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 成立. (2) 加法结合律: $(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$ 对任意三个向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 成立.

向量的减法

在数学里，我们知道减去一个数其实等于加上这个数的相反数。同样，在向量里，规定与 $\boldsymbol{a}$ 大小相等，方向相反的向量，叫做 $\boldsymbol{a}$ 的相反向量，因此

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向量加减的区别

在使用三角形法则时，容易搞混向量是加法还是减法，这里给出一个小技巧。当给你一个向量三角形时，如何迅速判断他是向量加法还是减法呢？请看下面介绍。

向量加法

下图 $\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}$ 里，三个向量以a的起点为起点，以b的终点为终点，最终是由a指向 $\mathrm{b}$ 。 记忆方法：小明从家到北京，再从北京到上海，那么最终小明走的结果就是从家到上海（也就是从起点指向终点，与中间环节无关）。

向量减法

下图 $\vec{a}-\vec{b}=\vec{c}$ 里，理解为以 ${b}$ 的终点为始点，以 ${a}$ 的终点为终点的向量，方向由b指向 $\mathrm{a}$

记忆技巧

海曼 • 格拉斯曼是德国的几何学家，他 1844 年发表的《延拓论》创立了现今的 $n$ 维几何学。格拉斯曼在构建 $n$ 维几何代数理论时是以一个非常简单的公式 $A B+B C=A C$ (见图 2-15（a））作为研究起点的。他发现，上面介绍的三角形法则，如果不考虑线段点 $A 、 B 、 C$ 的顺序, 只要不把 $A B$ 、 $B C$ 这样的因子仅仅理解为长度, 并且赋予它们 "方向" (例如 $B A=-A B$ ), 公式依然正确。举个例子: 如果 $C$ 位于 $A$ 和 $B$ 之间（见图 2-15 (b)），那么 $A B=A C+C B$ ，但是由于 $C B=-B C$ ，我们将发现 $A B=A C-B C$ 。此时只要在这个公式两边简单地加上 $B C$ 就能得到最初的公式 $A B+B C=A C$ 。

也就是说图 2-15 的两个图例都有 $A B+B C=A C$ 成立。 把图 2-15 的两根直线中间的 $B$ 点和 $C$ 点各自向上拉伸一些距离, 等式 $A B+B C=A C$ 依然成立 (见图 2-16), 我们刚刚知道这就是向量的三角形加法法则。

继续向空间中拉伸就是三维向量乃至 $n$ 维向量的加法了, 等式同样成立。 这是一个非常有价值的发现。但格拉斯曼对向量的延伸和拓展更加让人吃惊, 他拓展到向量的外积运算。比如, 如图 2-17 所示的正方形或平行四边形 $A B C D$, 如果正方形或平行四边形的面积 $S_{A B C D}=A B \cdot A D$, 那么就有 $A B \cdot D A=-S_{A B C D}$ 成立。这正是后面将要介绍的向量的外积（叉积）运算及其几何意义。格拉斯曼由此最终发明了一种全新的被称之为外积代数的几何理论。

因此，对于向量减法的三角形法则，可以考虑特殊情况：即 $a,b$ 共线的情况：如下图 黑色$a$减去红色$b$，等于黄色 $a-b$ ,箭头指向$a$的方向

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向量的数乘

一般地, 给定一个实数 $\lambda$ 与任意一个向量 $a$, 规定它们的乘积是一个向量, 记作 $\lambda a$, 其中: (1) 当 $\lambda \neq 0$ 且 $\boldsymbol{a} \neq \mathbf{0}$ 时, $\lambda \boldsymbol{a}$ 的模为 $|\lambda||\boldsymbol{a}|$, 而且 $\lambda \boldsymbol{a}$ 的方向如下:

(2) 当 $\lambda=0$ 或 $\boldsymbol{a}=\mathbf{0}$ 时, $\lambda \boldsymbol{a}=\mathbf{0}$. 上述实数 $\lambda$ 与向量 $\boldsymbol{a}$ 相乘的运算简称为数乘向量. 由定义不难看出, 数乘向量的结果是一个向量, 而且这个向量与原来的向量共线 (平行), 即 $\lambda a / /$ $a$; 数乘向量的几何意义是, 把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小. 特别地, 一个向量的相反向量可以看成 -1 与这个向量的乘积, 即 $-\boldsymbol{a}=(-1) \boldsymbol{a}$.

当 $\lambda$ 和 $\mu$ 都是实数, 且 $a$ 是向量时: $\mu a$ 是向量, $\lambda(\mu a)$ 也是向量; $\lambda \mu$是实数, 但 $(\lambda \mu) a$ 是向量. 可以看出

另外，也可以证明

和

我们把向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算。

二维向量(平面向量)

我们已经在高中平面向量里学过. 在一个平面上, 给点一个坐标点$(a,b)$ 连接原点和坐标点，形成一个又向箭头，这样就形成二维平面向量。

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三维向量(空间向量)

我们在高中空间向量 也学过, 给定空间一个坐标点$(a,b,c)$，如下图，用一个又向箭头连接坐标原点和空间坐标点，将形成一个空间向量。 {width=300px}

n维向量

由二维和三维的概念，我们自然可以推广到$n$维，即 $n$ 个数 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 组成的有序数组称为 $n$ 维向量.

若 $n$ 维向量写成 $\left(\begin{array}{l}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right)$ 的形式，称为 $n$ 维列向量；

若 $n$ 维向量写成 $(a_1, a_2, \cdots, a_n)$ 的形式，称为 $n$ 维行向量.

这 $n$ 个数称为该向量的 $n$ 个分量，其中 $a_i$ 称为第 $i$ 个分量.

分量都是零的向量称为零向量，记为$\boldsymbol{0}$ 。

我们常用 $\alpha, \beta, \gamma, \ldots$ 来表示 $n$ 维列向量，而用 $\alpha^{\top}, \beta^{\top}, \gamma^{\top}, \ldots$ 来表示 $n$ 维行向量.

向量 $\left(\begin{array}{c}-a_1 \\ -a_2 \\ \vdots \\ -a_n\end{array}\right)$ 称为向量 $\boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{c}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right)$ 的负向量，记为 $-\boldsymbol{\alpha}$.

如下图 $OA$是由$(2,2)^T$组成的2维向量，而$OB$则是由$(1,4)^T$组成的另一个2维向量。

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再如下图$OP$是由$(2,2,3)^T$组成的3维向量。

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注意：《线性代数》里说到向量默认都是列向量。因此上面的记法 $(2,2,3)^T$ 其实是 $\left(\begin{array}{lll}2\\2 \\ 3 \\ \end{array}\right)$ ，虽然线性代数里，很多行向量的性质可以无缝移动到列向量上，而列向量的性质也可以无缝移动到行向量上，但是还是不建议把列向量和行向量混完一谈。

矩阵分解为列向量或行向量

有了向量以后，我们就可以从向量的角度看待矩阵。下面是一个$3 \times 4$得矩阵：

可以把他看成是4个列向量组成的矩阵（当然也可以看成3个行向量），即

如果仔细看上面4个列向量，可以发现他们之间存在某种联系。 比如, 上面列向量里 $\alpha_3=2 \alpha_1$, 这个$\alpha_3$向量可以由 $\alpha_1$ 这个向量的 2 倍来表示,于是 $\alpha_3$ 这个向量就是 “多余”的,不是独立的信息. 如果用$G$表示$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 组成的集合，这个集合被称为向量组，在这个向量组$G$里，$\alpha_1$ 和 $\alpha_3$ 只要一个就可以了。比如要$\alpha_1$，那么向量组里的$\alpha_3$就可以用$2 \alpha_1$来代替。

这种联系说到底就是线性无关的向量个数的问题,也就是若干个向量组成的向量组中,其中某几个就足够代表这个向量组了,其他的向量都可以由这几个向量线性表示出来(后面会详细叙述).

极大线性无关组

在一个向量组中, 能够代表该向量组中所有成员的一组向量被称为极大线性无关组,比如上面这个向量组$G$可以用

这$3$个向量组表示。把它们组成的向量组叫作原向量组的极大线性无关组, 这个组就是原向量组的“代表”.

当然如果你使用

作为极大线性无关组也是可以的。最主要的是，虽然他们形式不同，但是他们数量不变，都是$3$个。这个数字被称为向量组的秩。

极大线性无关组是向量组的“代表”, 而矩阵就是由向量组拼成的, 所以矩阵的秩、向量组的秩都反映了“代表”中向量的个数, 本质完全相同.

读者研读完这一部分就会得出下面这个重要结论:

我们要搞清楚向量与向量之间的关系---这种关系要么线性无关 (“独立”), 要么线性相关 (“多余”). 在充斥着诸多抽象理论和方法的向量组问题上, 只有把握住上述重要结论, 才不会迷失方向.

向量的运算

向量的运算性质

设 $\boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{c}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{c}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{array}\right), \boldsymbol{k} \in \mathbf{R}$ ，则有

向量运算举例

例 向量加法

对应分量分别相加。

向量相加符合平行四边形法则。 {width=300px}

例向量数乘

向量数乘反映向量的放大或者缩小。 {width=300px}

为什么我们默认使用列向量组

使用列向量组表示有很多好处，我们认为最主要的一个好处是和人类大脑的思维一直。（行向量更适合计算机思考模式），请看下面方程

设线性方程组

记

我们就能立刻写出他的方差是 $AX=B$ 这种写法和初中学过的代数式写法 $ax=b$ 一致。

如果我们再把矩阵A的每一列看成一个向量，则有

从而线性方程组 可表成如下形式：