10._分位数和中位数

中位数与分位数的基本理解（高中版）

中位数：一组数据按从小到大排序后，位于正中间的那个数值。

（1）如果数据的个数 n 是奇数，中位数就是排序后第 (n+1)/2 个位置上的数值。

例如：数据 [1, 3, 5, 7, 9] (n=5，奇数)。排序后就是 [1, 3, 5, 7, 9]。中位数是第 (5+1)/2 = 第 3 个位置的数，即 5。

（2）如果数据的个数 n 是偶数，中位数是排序后第 n/2 个位置和第 (n/2)+1 个位置上两个数值的平均数。

例如：数据 [1, 3, 5, 7] (n=4，偶数)。排序后是 [1, 3, 5, 7]。中位数是第 4/2=2 个位置（3）和第 (4/2)+1=3 个位置（5）的平均数，即 (3+5)/2 = 4。

中位数把数据分成了两半。一半的数据比中位数小，另一半的数据比中位数大。

分位数：分位数是将一组数据按照从小到大排序后，然后把排列的数据分割成相等部分的点。 比如“班级里 20%的学生考试成绩在90分以上”

如何理解分位数（以四分位数为例）： 想象你把所有数据从小到大排成一条线： Q1 是把这条线切成 1/4 和 3/4 的点。最前面的 25% 的数据在 Q1 左边。 Q2 (中位数) 是把这条线切成两半的点。 Q3 是把这条线切成 3/4 和 1/4 的点。最后的 25% 的数据在 Q3 右边。 中间 50% 的数据位于 Q1 和 Q3 之间，这个范围称为四分位距，是衡量数据离散程度的重要指标。

定义

设 连续型随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，密度函数为 $f(x)$ ，

则称 $v_p=F^{-1}(p)$ 是随机变量 $X$ 的 $p$ 分位数。 特别地，当 $p=\frac{1}{2}$ 时，称 $v_{\frac{1}{2}}$ 为中位数

例 已知随机变量 $X \sim N(3,4)$ ，求 $X$ 的分位数 $v_{\frac{1}{4}}, ~ v_{\frac{3}{4}}$ ，和中位数 $\frac{v_1}{2}$ 。

因为 $P\left(X \leq v_{\frac{1}{4}}\right)=\frac{1}{4}$ 得 $P\left(\frac{X-\mu}{\sigma} \leq \frac{v_{\frac{1}{4}}-\mu}{\sigma}\right)=\frac{1}{4}$ ，所以 $\frac{v_{\frac{1}{4}}-\mu}{\sigma}=u_{\frac{1}{4}}$ 其中 $u_{\frac{1}{4}}$ 为标准正态分布的 $\frac{1}{4}$ 分位数。查表得 $u_{\frac{3}{4}}=0.6745$ ，

因此，$u_{\frac{1}{4}}=-0.6745$ ，那么

同理 $\frac{v_3}{4}=4.349$ 。由密度函数的轴对称性，知 $v_{\frac{1}{2}}=3$ 。

定义

设 $X$ 为离散型随机变量，其分布律为 $P\left(X=a_i\right)=p_i, i=1,2, \cdots ，$ ， 如果存在实数 $a^*$ ，使得 $P\left(X=a^*\right) \geq P\left(X=a_i\right)$, 对一切 $i=1,2, \cdots$ 成立，那么称 $a^*$ 为 $X$ (或 $X$ 所服从的分布) 的众数。