13._单侧置信区间 - 概率论与数理统计

单侧置信区间

在上述讨论中，对于未知参数 $\theta$ ，我们给出的置信区间 $\left[\hat{\theta}_1, \hat{\theta}_2\right]$ 都是既有置信下限又有置信上限的，通常称为双侧置信区间．因为双侧置信区间是最短的，所以是精度最高的，应用最为广泛．但在某些实际问题中，例如，对机器设备零部件来说，平均寿命越长越好，我们关心的是平均寿命的＂下限＂；又如，在购买家具用品时，其中甲醛含量越小越好，我们关心的是甲醛含量均值的＂上限＂．这就引出了单侧置信区间的概念．

定义设 $\theta$ 为总体的未知参数，对于给定的 $\alpha(0<\alpha<1)$ ，若存在统计量 $\hat{\theta}_L=\hat{\theta}_L\left(X_1, X_2\right.$ ， $\left.\cdots, X_n\right)$ ，使

P\left\{\hat{\theta}_L \leqslant \theta<+\infty\right\}=1-\alpha,

则称随机区间 $\left[\hat{\theta}_L,+\infty\right)$ 为参数 $\theta$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的单侧置信区间， $\hat{\theta}_L$ 称为单侧置信下限；若存在统计量 $\hat{\theta}_U=\hat{\theta}_U\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ ，使

P\left\{-\infty<\theta \leqslant \hat{\theta}_U\right\}=1-\alpha,

则称随机区间 $\left(-\infty, \hat{\theta}_U\right]$ 为参数 $\theta$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的单侧置信区间， $\hat{\theta}_U$ 称为单侧置信上限．单侧置信区间的求法与双侧置信区间相同，例如，设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自正态总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的样本，其中 $\sigma^2$ 已知， $\mu$ 未知，利用枢轴量

U=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1),

如图 6.2 所示，构造 $P\left\{U \leqslant u_\alpha\right\}=1-\alpha$ ，即

P\left\{\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}} \leqslant u_\alpha\right\}=1-\alpha

进行恒等变形得

P\left\{\mu \geqslant \bar{X}-u_\alpha \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right\}=1-\alpha

从而可得 $\mu$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的单侧置信下限为 $\hat{\mu}_L=\bar{X}-u_\alpha \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ ．

在附录的讨论中，我们已经给出了正态总体参数的双侧置信区间公式，实际上，只要取相应的上侧或下侧，将其中的 $\frac{\alpha}{2}$ 换成 $\alpha$ ，就可以得到单侧置信上限或下限。

例 已知某种建筑材料的剪力强度 $X$ 服从正态分布，我们对该种材料做了 46 次剪力测试，测得样本均值 $\bar{x}=17.17 N / mm ^2$ ，样本标准差 $s=3.28 N / mm ^2$ ，求剪力强度平均值 $\mu$ 的置信度为 0.95 的单侧置信下限。

解因为 $\sigma^2$ 未知，故 $\mu$ 的双侧置信区间公式经过变换，可得单侧置信下限为

\hat{\mu}_L=\bar{X}-t_\alpha(n-1) \frac{S}{\sqrt{n}}

因为 $1-\alpha=0.95$ ，所以 $\alpha=0.05, t_\alpha(n-1)=t_{0.05}(45)=1.6794$ ．故 $\mu$ 的置信度为 0.95 的单侧置信下限为

$\hat{\mu}_L=\bar{x}-t_{0.05}(45) \frac{s}{\sqrt{n}}=16.36$