16._连续型_标准正态分布与3σ原则-Part2

标准正态分布

称 $\mu=0, \sigma=1$ 时的正态分布 $N(0,1)$ 为标准正态分布.也称为高斯分布。

标准正态分布的密度函数为 $\varphi(u)$ ，其图像如下

\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}, \quad-\infty<x<\infty,

$图片$ {width=600px}

从标准正态分布的密度函数可以看到：（1）因为密度函数是偶函数，所以函数图像关于 $y$ 轴对称（2）密度函数定义域为 $(-\infty,+\infty)$ 在 $-3 \sigma - 3 \sigma$ 之间占据了几乎所有面积，所以， $-3 \sigma - 3 \sigma$ 被称为 $3 \sigma$ 原则

分布函数

正态分布的分布函数 $\Phi(u)$

\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^x \mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2}} \mathrm{~d} t, \quad-\infty<x<\infty .

这个函数是积不出来的，所以只能使用积分符号写着。他的函数图像如下：函数在 $x=u$ 时取到0.5. $图片$ {width=300px}

由于标准正态分布的分布函数不含任何未知参数, 故其值 $\Phi(X)=P(X \leqslant x)$ 完全可以算出,

性质1 当 $x>0$ 时， $\Phi(x)$ 的值可以查概率函数值表得到，且 $P(a<X \leq b)=\Phi(b)-\Phi(a)$

性质2 当 $x<0$ 时，由密度函数对称性可得 $\Phi(x)=1-\Phi(-x)$ ，特别地，有 $\Phi(0)=\frac{1}{2}$ ；

性质3 若 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，则 $P(a<X \leq b)=\Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$ 特别地 $P(X \leq b)=\Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) \quad P(X>a)=1-\Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$

这些等式都不难推得.

这里请务必牢记，分布函数是一个累加值，例如 $\Phi(90)=80$ 表示分数 $X$ 小于90分的有80人， $\Phi(60)=20$ 表示分数 $X$ 小于60分的有20人，现在要求分数介于60~90分之间的人数，其计算方法就是 $P(60 \le X \le 90)=\Phi(90)-\Phi(60)$ , 这就是上面性质1的意思。

如何理解正态分布的密度函数

假设某校的初中生身高服从 $X \sim N\left(170,6^2\right)$ （单位cm）的正态分布，这里的 $\mu$ 相当于平均身高， $\sigma$ 相当于身高误差。这句话转换为通俗语言就是：某城市初中生平均身高在170cm，其中大部分身高分布在 $164cm-176cm$ 。

因为正态分布是连续性分布，总概率为1，这意味问某一点身高的概率始终为零，身高从 $-\infty$ 到 $+\infty$ 的总概率为1. 从数学计算可以的都如下结论

\begin{aligned} & P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)=2 \Phi(1)-1=0.6826, \\ & P(\mu-2 \sigma<X<\mu+2 \sigma)=2 \Phi(2)-1=0.9545, \\ & P(\mu-3 \sigma<X<\mu+3 \sigma)=2 \Phi(3)-1=0.9973 . \end{aligned}

第一个等式表明，身高在 $164cm-176cm$ 的占比 68.26% 第二个等式表明，身高在 $158cm-182cm$ 的占比 95.45% 第三个等式表明，身高在 $152cm-188cm$ 的占比 99.73%

标准正态分布的数学期望与方差

正态分布的数学期望 $E(X)=0$ , 方差为 $D(X)=1$

正态分布的 $3 \sigma$ 原则

若 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ , 则随机变量 $X$ 在 $\mu$ 的附近取值的概率较大, 在离 $\mu$ 较远处取值的概率较小.

设随机变量 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ , 则

P(\mu-k \sigma<X<\mu+k \sigma)=P\left(\left|\frac{X-\mu}{\sigma}\right|<k\right)=\Phi(k)-\Phi(-k)=2 \Phi(k)-1

当 $k=1,2,3$ 时,有

\begin{aligned} & P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)=2 \Phi(1)-1=0.6826, \\ & P(\mu-2 \sigma<X<\mu+2 \sigma)=2 \Phi(2)-1=0.9545, \\ & P(\mu-3 \sigma<X<\mu+3 \sigma)=2 \Phi(3)-1=0.9973 . \end{aligned}

具体地, 如图所示, 随机变量 $X$ 取值落在区间 $(\mu-\sigma, \mu+\sigma)$ 内的概率约为 $68.27 \%$ ，落在区间 $(\mu-2 \sigma, \mu+2 \sigma)$ 内的概率约为 $95.45 \%$ , 落在区间 $(\mu-3 \sigma, \mu+3 \sigma)$ 内的概率约为 $99.73 \%$ .

$图片$ {width=380px}

这是正态分布的重要性质被称为正态分布的 $3 \sigma$ 原则.

假如某随机变量取值的概率近似满足上面的值, 则可认为这个随机变量近似服从正态分布; 假如三式中有一个偏差较大, 则可以认为这个随机变量不服从正态分布. 这就是正态分布的 $3 \sigma$ 原则, 这个原则在 $X$ 的观察值较多 (成百上千个) 时, 常用于判断 $X$ 的分布是否近似服从正态分布.

在生产中某产品的质量要求常规定其上、下控制限, 若上、下控制限能覆盖区间 $(\mu-3 \sigma, \mu+3 \sigma)$ , 则称该生产过程受控制, 并称其比值

C_p=\frac{\text { 上控制限一下控制限 }}{6 \sigma}

为过程能力指数. 当 $C_p<1$ 时, 认为生产过程不足; 当 $C_p \geqslant 1.33$ 时, 认为生产过程正常;当 $C_p$ 为其他值时, 常认为生产过程不稳定, 需要改进.

一般地，有下列结论:

设随机变量 $X \sim N(0,1), c>0$ 则

\begin{aligned} & P(|X|<c)=\Phi(c)-\Phi(-c)=2 \Phi(c)-1 \\ & P(|X|>c)=1-P(|X| \leq c)=2-2 \Phi(c) \end{aligned}

若 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，则

P(a<X \leq c)=\Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)

特别地 $\quad P(X \leq b)=\Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) ; P(X>a)=1-\Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$

关于上面的结论，请点击此处理解

例设 $X \sim N(0,4)$ ，试求概率 $P(X \leq 3), P(X \leq-3)$ 解查表并计算可得

P(X \leq 3)=\Phi\left(\frac{3-1}{2}\right)=\Phi(1)=0.8413

P(X \leq-3)=\Phi\left(\frac{-3-1}{2}\right)=1-\Phi(2)=0.0228

例设随机变量 $X$ 服从标准正态分布 $N(0,1) ， c$ 为何值时才能满足

P(X \leq c)=0.95

解由 $P(X \leq c)=\Phi(c)=0.95$ ，查附录知

\Phi(1.645)=0.95 \Rightarrow c=1.645

典型例题

例 设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N\left(108,3^2\right)$ , 试求: (1) $P(102<X<117)$ ; (2) 常数 $a$ , 使得 $P(X<a)=0.95$ .

解：由题意知 $\mu=108, \sigma=3$ , 利用上面公式及下面附表得 (1)

\begin{aligned} P(102<X<117) & =\Phi\left(\frac{117-108}{3}\right)-\Phi\left(\frac{102-108}{3}\right) \\ & =\Phi(3)-\Phi(-2)=\Phi(3)+\Phi(2)-1 \\ & =0.9987+0.9772-1=0.9759 . \end{aligned}

上面计算利用了 $F(-x)=1-F(x)$ 这个性质。

(2) 由

P(X<a)=\Phi\left(\frac{a-108}{3}\right)=0.95 \text {, 或 } \quad \Phi^{-1}(0.95)=\frac{a-108}{3} \text {, }

其中 $\Phi^{-1}$ 为 $\Phi$ 的反函数. 从附表由里向外反查得

\Phi(1.64)=0.9495, \quad \Phi(1.65)=0.9505,

再用线性内插法可得 $\Phi(1.645)=0.95$ , 即 $\Phi^{-1}(0.95)=1.645$ , 故

\frac{a-108}{3}=1.645,

从中解得 $a=112.935$ .

从上例我们可以看出, 有些场合下给定 $\Phi(x)$ 的值 $p$ , 可以从附表 2 中由里向外反查表来得到 $x_p$ , 使 $\Phi\left(x_p\right)=p$ 或 $\Phi^{-1}(p)=x_p$ , 这时 $x_p$ 称为标准正态分布的 $p$ 分位数. 在上例中就是标准正态分布的 0.95 分位数, 更一般叙述见分位数在统计中被大量使用.

例 在考试中, 如果考生的成绩 $X$ 近似地服从正态分布, 则通常认为这次考试（就合理地划分考生成绩的等级而言）是正常的。教师经常把分数超过 $\mu+\sigma$ 的评为 A等, 分数在 $\mu$ 到 $\mu+\sigma$ 之间的评为 B 等, 分数在 $\mu-\sigma$ 到 $\mu$ 之间的评为 C 等, 分数在 $\mu-2 \sigma$ 到 $\mu-\sigma$ 之间的评为 D 等, 分数在 $\mu-2 \sigma$ 以下的评为 F 等. 由此可计算得:

\begin{aligned} & P(X \geqslant \mu+\sigma)=P\left(\frac{X-\mu}{\sigma} \geqslant 1\right)=1-\Phi(1) \approx 0.1587, \\ & P(\mu \leqslant X<\mu+\sigma)=P\left(0 \leqslant \frac{X-\mu}{\sigma}<1\right)=\Phi(1)-\Phi(0) \approx 0.3413, \\ & P(\mu-\sigma \leqslant X<\mu)=P\left(-1 \leqslant \frac{X-\mu}{\sigma}<0\right)=\Phi(0)-\Phi(-1) \approx 0.3413, \\ & P(\mu-2 \sigma \leqslant X<\mu-\sigma)=P\left(-2 \leqslant \frac{X-\mu}{\sigma}<-1\right)=\Phi(-1)-\Phi(-2) \approx 0.1359, \\ & P(X<\mu-2 \sigma)=P\left(\frac{X-\mu}{\sigma}<-2\right)=\Phi(-2) \approx 0.0228 . \end{aligned}

这说明：用这种方法划分成绩的等级，获得 A 等的约占 $16 \%, B$ 等的约占 $34 \%, C$ 等的约占 $34 \%, D$ 等的约占 $14 \%, F$ 等的约占 $2 \%$ .