22._正态分布与伽玛函数 - 概率论与数理统计

正态分布与伽玛函数

①伽玛分布的密度函数是

p(x)= \dfrac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} \mathrm{e}^{-\lambda x}, x \geqslant 0

② $\chi^2$ 卡方分布的密度函数是

p(x)= \dfrac{1}{2^{n / 2} \Gamma(n / 2)} x^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{1}{2} x}

③正态分布的密度函数是：

\varphi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \mathrm{e}^{-\dfrac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}, \quad-\infty<x<\infty,

如果 $\alpha=\frac{n}{2}, \lambda=\frac{1}{2}$ 时的伽马分布是自由度为 $n$ 的 $\chi^2$ (卡方) 分布, 因此，卡方分布可以说是伽玛分布的特殊情况。

若干个标准正态分布之和是卡方分布。自由度为1的卡方分布是单个标准正态变量的平方：当自由度 $n$ 趋于无穷大时，卡方分布近似呈现正态分布。