3._正态检验-均值检验_Z检验_U检验_t检验

正态检验主要检验$\mu$ 和 $\sigma^2$ 他们共有四种情况： （1） $\sigma^2$ 已知，对 $\mu$ 的检验(称做Z检验法或U检验法) （2） $\sigma^2$ 未知，对 $\mu$ 的检验(称做T检验法) （3） $\mu$ 已知，对$\sigma^2$的检验 （这种情况极少使用） （4）$\mu$ 未知，对$\sigma^2$的检验（称作$\chi^2$ 开方检验）

本节介绍均值，下一节介绍方差。

正态检验

由于实际问题中大多数随机变量服从或近似服从正态分布，所以正态检验与正态分布基本上是等价的，且计算分位数或查相应的分布表比较方便。我们把这种利用服从标准正态分布统计量的检验方法称为正态检验。

正态检验功能强大，内容繁多下表列出主要公式，并介绍常见的几种检验方法。

双边检验与单边检验

在假设检验中，$H_0: \mu=\mu_0$ ，备择假设 $H_1: \mu \neq \mu_0$ 的意思是 $\mu$ 可能大于 $\mu_0$ ，也可能小于 $\mu_0$ ，称为双边备择假设，并称形如$H_0: \mu=\mu_0, H_1: \mu \neq \mu_0$ 的假设检验为双边检验．但有时我们只关心总体均值是否增大，例如，试验新工艺以提高材料的强度，这时所考虑的总体均值应该越大越好，如果我们能判断在新工艺下总体均值较以往正常生产的总体均值大，则可考虑采用新工艺。此时，我们需要检验假设：

形如（8．5）式的假设检验，称为右边检验。 类似地，有时我们需要检验假设：

形如（8．6）式的假设检验，称为左边检验．右边检验与左边检验统称为单边检验．

本章内容一定要配合例题来理解

1.$\sigma^2$ 已知，关于 $\mu$ 的检验 （U检验或Z检验）

首先考虑以下假设检验．

（1）双侧检验-检验假设

当 $H_0$ 为真时，由定理可知

故选取 $Z$ 作为检验统计量，记其观察值为 $z$ ，相应的检验法称为 $Z$ 检验法或 $U$检验法． 因为 $\bar{X}$ 是 $\mu$ 的无偏估计量，当 $H_0$ 成立时， $\bar{x}$ 应接近 $\mu_0$ ，即 $|z|$ 不应太大，当 $H_1$ 成立时， $\bar{x}$ 与 $\mu_0$ 有较大的偏差，即 $|z|$ 有偏大的趋势，故拒绝域形式为

对于给定的显著性水平 $\alpha$ ，有

如图所示，拒绝域为

即

根据一次抽样后得到的样本观察值 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 计算出 $Z$ 的观察值 $z$ ，若 $|z| \geqslant z_{\alpha / 2}$ ，则拒绝原假设 $H_0$ ，即认为总体均值与 $\mu_0$ 有显著差异；若 $|z|<z_{\alpha / 2}$ ，则接受原假设 $H_0$ ，即认为总体均值与 $\mu_0$ 无显著差异。

类似地推导，对单侧检验有：

（2）单侧检验-检验假设

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对应的拒绝域为

（3）单侧检验-检验假设

对应的拒绝域为

下面的例题对上面进行了解释。

例某车间生产钢丝，用 $X$ 表示钢丝的折断力，由经验判断 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，其中 $\mu=570, \sigma^2=8^2$ ；今换了一批材料，从性能上看估计折断力的方差 $\sigma^2$ 不会有什么变化（仍有 $\sigma^2=8^2$ ），但不知折断力的均值 $\mu$ 和原先有无差别。现抽得样本，测得其折断力为

取 $\alpha=0.05$ ，试检验折断力均值有无变化． 解：

题目已经知道了方差，要判断钢丝断裂里的均值$\mu$是否等于570，此时就做两个假设：假设钢丝断裂的力为570和不是570，然后根据断裂力为570构建正态分布，推导看有没有矛盾。

（1）建立假设 $H_0: \mu=\mu_0=570, H_1: \mu \neq 570$ ． （2）根据正态抽样, 选择统计量 $Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$ ． （3）对于给定的显著性水平 $\alpha$ ，确定 $k$ ，使 $P\{|Z|>k\}=\alpha$ ．

显著性水平$\alpha$，在 枢轴变量 曾经说过，我们总是把$\alpha$一分为二进行处理，所以左侧阴影面积为 0.025

但是，这个面积直接查找正态分布表里是没有的，根据对称性我们其实是查找的0.975的面积，他对应的值为 1.96，详见 置信区间与上a分位数

现在切换到正态分布视图，查正态分布表得 $k=z_{\alpha / 2}=z_{0.025}=1.96$ ，从而拒绝域为 $|z|>1.96$ ．

（4）由于 $\bar{x}=\frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} x_i=575.20, \sigma^2=64$ ，所以

故应拒绝 $H_0$ ，即认为折断力的均值发生了变化．

例 已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布 $N\left(4.5,0.1^2\right)$ ．今年采用一种新工艺，现测定了 9 炉铁水，其平均含碳量为 4．56．若估计方差没有变化，则现在生产的铁水平均含碳量较上年有无显著性变化（显著性水平 $\alpha=0.05$ ）？

解 提出假设：

选取统计量 $Z=\frac{X-\mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$ ，若 $H_0$ 为真，则 $Z \sim N(0,1)$ 。 一方面，对于 $\alpha=0.05$ ，查表，得 $z_{\frac{\alpha}{2}}=z_{0,025}=1.96$ ．另一方面，计算统计量 $Z$ 的观察值，有

由于 $\left|z_0\right|<z_{\frac{\alpha}{2}}$ ，因此，不能拒绝原假设 $H_0$ ，即不能认为铁水平均含碳量较上年有显著性变化．

方差 $\sigma^2$ 末知，关于 $\mu$ 的假设检验（ $T$ 检验，$T$－test）

（1）双侧检验-检验假设

由统计分布知，当 $H_0$ 为真时，

故选取 $T$ 作为检验统计量，记其观察值为 $t$ ．相应的检验法称为 $T$ 检验法． 由于 $\bar{X}$ 是 $\mu$ 的无偏估计量，$S^2$ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计量，当 $H_0$ 成立时，$|t|$ 不应太大，当 $H_1$成立时，$|t|$ 有偏大的趋势，故拒绝域形式为

对于给定的显著性水平 $\alpha$ ，有

如图所示，拒绝域为

即

根据一次抽样后得到的样本观察值 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 计算出 $T$ 的观察值 $t$ ，若 $|t| \geqslant t_{\alpha / 2}(n-1)$ ，则拒绝原假设 $H_0$ ，即认为总体均值与 $\mu_0$ 有显著差异；若 $|t|<t_{\alpha / 2}(n-1)$ ，则接受原假设 $H_0$ ，即认为总体均值与 $\mu_0$ 无显著差异。

类似地推导，对单侧检验有：

（2）单侧检验-检验假设

对应的拒绝域为

###（3）单侧检验-检验假设

对应的拒绝域为

例水泥厂用自动包装机包装水泥，每袋额定质量是 50 kg ，某日开工后随机抽查了 9 袋，称得质量如下

设每袋质量服从正态分布，问包装机工作是否正常 $(\alpha=0.05)$ ？ 解（1）建立假设 $H_0: \mu=50, H_1: \mu \neq 50$ ． （2）选择统计量 $T=\frac{\bar{X}-\mu_0}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1)$ ． （3）对于给定的显著性水平 $\alpha$ ，确定 $k$ ，使 $P\{|T|>k\}=\alpha$ ． 查附录 D 得 $k=t_{\alpha / 2}=t_{0.025}(8)=2.306$ ，从而拒绝域为 $|t|>2.306$ ． （4）由于 $\bar{x}=49.9, s^2=0.29$ ，所以

故应接受$H_0$，即认为包装机工作正常

例设某工厂生产的电灯泡的使用寿命用 $X$ 表示，假定 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，其中 $\mu$ 与 $\sigma^2$ 都是未知参数。现抽取 20 个灯泡，测得其使用寿命分别为 $x_1, x_2, \cdots, x_{20}$ ，并由此算得 $\bar{x}=1880, s=197$ 。＂该厂电灯泡的平均使用寿命为 $\mu=2000$＂这一结论是否成立（显著性水平 $\alpha=0.05$ ）？

解 考虑检验假设：

选取统计量

当 $H_0$ 为真时，$T \sim t(n-1)$ ．$T$ 的观察值为

对于给定的显著性水平 $\alpha=0.05$ ，查表，得 $t_{0.025}(19)=2.093$ ． 由于 $\left|t_0\right| \approx 2.72>t_{0.025}(19)$ ，因此，应拒绝 $H_0$ 即不能认为 $\mu=2000$ ．

例题

例 某仪器厂生产的仪表圆盘，其标准直径应为 $20(\mathrm{~mm})$ ，在正常情况下，仪表圆盘直径服从正态分布 $N(20,1)$ ．为了检查该厂某天生产是否正常，对生产过程中的仪表圆盘随机地抽查了 5 个，测得直径分别为

若显著性水平 $\alpha=0.05$ ，问：该天生产是否正常？ 解 由题意，要检查生产是否正常，实际上就是检验直径均值是否为 20 ． 因此，建立假设 $H_0: \mu=20, H_1: \mu \neq 20$ 。 当 $H_0$ 成立时，检验的统计量

当显著性水平 $\alpha=0.05$ 时，拒绝域为 $|U|>u_{0.025}$ ，查正态分布表可得 $|U|>1.96$ ．

由样本值算得 $\bar{x}=19.6$ ，代入检验统计量中可得

因为 $|u|<u_{0.025}=1.96$ ，这表明统计量的观测值没有落入拒绝域内，故应接受 $H_0$ ，从而认为该天生产的仪表圆盘的直径均值是 20 ，亦即认为该天的生产是正常的．

例葡萄酒中除了水和酒精外，占比最多的就是甘油．甘油是酵母发酵的副产品，它有助于提升葡萄酒的口感和质地，因而经常需要对葡萄酒中的甘油含量进行检测。假设某品牌葡萄酒的甘油含量 $X(\mathrm{mg} / \mathrm{mL})$ 服从正态分布，现随机抽查了 5 个样品，测得它们的甘油含量分别为

若显著性水平 $\alpha=0.05$ ，问：是否有理由认为该品牌葡萄酒的平均甘油含量为 $4 \mathrm{mg} / \mathrm{mL}$ ？ 解 由题意建立假设 $H_0: \mu=4, H_1: \mu \neq 4$ 。 因方差 $\sigma^2$ 未知，故用 $T$ 检验法，检验统计量为

当 $\alpha=0.05, n=5$ 时，拒绝域

由样本值算得 $\bar{x}=3.814, s=0.718$ ，代入检验统计量中可得

因为 $|t|=0.58<2.776$ ，故接受 $H_0$ ，即可以认为该品牌葡萄酒的平均甘油含量为 $4 \mathrm{mg} / \mathrm{mL}$ ．

附表